2019年国赛高教杯数学建模

E题薄利多销分析

原题再现

“薄利多销”是通过降低单位商品的利润来增加销售数量，从而使商家获得更多盈利的一种扩大销售的策略。对于需求富有弹性的商品来说，当该商品的价格下降时，如果需求量（从而销售量）增加的幅度大于价格下降的幅度，将导致总收益增加。在实际经营管理中，“ 薄利多销 ” 原则被广泛应用。(https://baike.baidu.com/item/薄利多销)
附件 1 和附件 2 是某商场自 2016 年 11 月 30 日起至 2019 年 1 月 2 日的销售流水记录，附件 3 是折扣信息表，附件 4 是商品信息表，附件 5 是数据说明表。
请根据这批数据，建立数学模型解决下列问题：
1. 计算该商场从 2016 年 11 月 30 日到 2019 年 1 月 2 日每天的营业额和利润率（注意：由于未知原因，数据中非打折商品的成本价缺失。一般情况下，零售商的利润率在 20%-40%之间)。
2. 建立适当的指标衡量商场每天的打折力度，并计算该商场从 2016 年 11 月 30日到 2019 年 1 月 2 日每天的打折力度。
3. 分析打折力度与商品销售额以及利润率的关系。
4. 如果进一步考虑商品的大类区分，打折力度与商品销售额以及利润率的关系有何变化？

附件 1、附件 2：销售流水记录
附件 3：折扣信息表
附件 4：商品信息表
附件 5：数据说明表

整体求解过程概述(摘要)

“薄利多销”原则被广泛运用于现代商场的促销中，研究商品的折扣力度与销量的关系对扩大商品的销量与提高商场的获益有实际意义。本文围绕薄利多销的分析问题，基于对附件中数据挖掘分析并借助于 SPSS 等软件，给出了商场每天的营业额、利润率以及打折力度，并运用回归分析建立了打折力度与商品销售额以及利润率的统计模型。
针对问题一，要求给出商场每天的营业额与利润率。首先，利用 SPSS 对附件 1、2中的异常数据、缺失数据进行处理并根据售价受成本价影响原则利用 MATLAB 补齐缺失成本价；其次，给出营业额与利润率的相关定义与计算公式并利用 SPSS 计算出每天的营业额与利润率，具体计算结果见参见下文；然后，绘制营业额与利润率年分布折线图，并挖掘其隐含信息，得出在商场应在节假日或者双休加强打折的力度，从而实现薄利多销。
销售额针对问题二，要求建立适当的指标衡量商场每天的打折力度，并计算所有天数的打折力度。首先，根据销售流水账信息，挖掘出商品的门店价、销售价，并根据此建立一个折扣率来衡量打折力度；其次，给出折扣率的定义以及建立了求解模型，并利用 SPSS 计算出每天的打折力度；然后，对得出的每天打折力度进行可视化处理，绘制打折力度的年分布折线图，挖掘其包含的有效信息，得出商场应在适时的设定打折力度，以更好的适应市场，以在施利消费者同时扩大销量。
针对问题三，要求分析打折力度与商品销售额以及利润率的关系。首先给出销售额的定义与合理的计算公式，并利用 SPSS 求解出每天的销售额；其次，分别绘制了以月平均折扣率为x轴，以销售额与利润率为y轴的关系散点图，通过观察其特征发现商品平均折扣率处于 0%-25%之间，商场想要获得较高的利润是存在困难的，只能维持商场的正常经营；商场的平均折扣率在 25%-27.5%之间，其利润率与销售额都是较高的，若商场要进行“薄利多销”的经营策略，折扣率可以取在 25%-27.5%之间是较为合适的；最后，运用多元回归分析法给出了打折力度与商品销售额以及利润的关系。
针对问题四，要求在考虑对商品分类的情况下，分析打折力度与销售额与利润率的变化关系。首先，根据商品类目对商品进行类别区分并根据级别名称分为 29 种商品类别；其次，根据附件 1、附件 2 中的数据利用 MATLAB 软件计算选取以日配冷藏类别的商品数据分析得出，在考虑商品类型后，折扣率与销售额以及利润率存正相关关系。

模型假设：

1. 假设补齐的成本价全部符合常理；
2. 假设数据真实可靠，具有代表性。

问题分析：

数据预处理的分析

本题所提供的数据的特点是数据量大包含上百万条销售流水记录且多条流水记录存在异常值、缺失值，因此在数据预处理阶段，应针对不同的情况相应的应用异常值处理办法，缺失值插补方法、数据合理性检验等方法来解决以上问题。首先，考虑到顾客在商场购买的sku cnt _ （商品数量）可能由于工作人员的疏忽造成录入的错误，为检验其合理性，可将商品数量为负的数据（由生活经验可知，购买数量只能为正）视为异常值，并将其进行剔除；其次，考虑到海量的原始数据中存在的缺失数据，会影响到数据挖建模的执行效率，因此需对缺失数据进行缺失值处理，利用 SPSS对数据进行处理并找出数据中的缺失部分，发现部分商品名称与 UPC 码存在缺失，考虑到商品名称对后文的研究影响较大，因而选用相应的方法对其进行补齐，UPC 码的缺失并不会造成太大的影响，因而直接做剔除处理；最后，可通过一定的方法对清理后数据进行有效性检验。

问题一的分析

问题一要求在众多商品销售信息已知的情况下，给出商场的营业额和利润率，首先，应给出营业额与利润率的定义以及算计公式，以便于后续的计算与描述；其次，考虑到题目提供的原始数据可能存在异常值、缺失值、以及题目所述的由于未知原因缺失的未打折商品的成本价，因而可利用 SPSS 先将异常数据找出，再寻找合理的方式将其处理。针对大量商品成本价的缺失，可根据商品的门店价与零售商的利润率范围，分年份对缺失数据补齐，例如，利用 SPSS 将 2016 年成本价缺失的商品与成本价未缺失商品进行分开并把缺失成本价的商品数据导入 Excel 中，并根据商品的门店价格进行降序排序，之后将排序后的数据导入 MATLAB 中，并以门店价最高的商品利润为 40%，根据其他商品的价格向下取步长，从而得出商品相应的利润率。最后依照利润率计算公式对缺失成本单价的商品进行补齐处理。
数据进行预处理后，可根据所给营业额与利润率计算公式并综合利用 SPSS 与MATLAB 计算该商场每天的营业额与利润率；其次，可对得出数据进行充分挖掘与分析，找出隐含的有价值信息以及数据之间内部的关联，最后给出相应的提高商场利润与促销方式的建议。

问题二的分析

问题二要求建立适当的指标衡量商场每天的打折力度，并计算每天的打折力度。首先，若需建立体现打折力度的相关指标，可对打折商品数据进行挖掘研究，利用SPSS 对未打折的商品进行剔除处理，留下打折商品数据；其次，商场的折扣率越大，表明商场将以更低的价格出售商品，折扣率越小，说明商场并为对消费者让利太多，因此选取了折扣率作为衡量商场每天的打折力度；然后，对分析商品的销售价格、门店价格，并根据分析结果给出折扣率的相关计算模型，继而使用 Excel 并根据计算模型，对处理后数据进行折扣率的计算；最后，可根据计算得出的每天折扣率与前文计算所得的每天营业额、利润率进行匹配，分析打折力度与营业额、利润率之间的关联，挖掘出更多有价值的信息，对商场的薄利多销促销模式给出更多的合理性建议。

问题三的分析

问题三要求分析打折力度与商品销售额以及利润率的关系，首先，给出销售额的定义以及计算公式，并利用 SPSS 计算计算出每天的销售额；其次，考虑到折扣率的变化影响销售额以及利润率的变化，因此可基于求出的数据，分别绘制以销售额、利润率为自变量，折扣率为因变量的散点图，观察其特征，并假设其函数类型并对假设进行验证，并对其进行检验，最后得出折扣率关于销售额、利润率的回归模型；然后，考虑到销售额与利润率可能与折扣率存在多种共线性关系，因此可作以折扣率关于销售额、利润率的多元线性回归方程，并对其进行显著性检验；然后，根据所得出的回归模型，可以分析折扣率对自变量的影响，处于哪个打折力度，销售额会较大，并对此进行深度探讨，已给决策者建议。

问题四的分析

问题四要求进一步考虑商品的大类区分，并从不同类别的商品分析打折力度与商品销售额以及利润利的变化关系。首先，根据附件 4 中不同商品的数据信息，以一级类目为划分区间对商品进行类别区分，根据级别名称可分为 29 种商品类别，并对各种商品类别进行数量统计，选取数量较大具有代表性商品类别分别进行分析；其次，根据划分的商品类别，对附件 1 和附 2 的商品信息利用 MATLAB 软件进行商品的归类区分；最后，对数量较大的商品类别分析其打折力度与销售额以及利润率的变化关系并与之前的变化关系进行比较，从而得出相关结论，并给出相对应合理性建议。

模型的建立与求解整体论文缩略图

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程序代码：(代码和文档not free)

The actual procedure is shown in the screenshot

clear all
clc
A=[1:1:763];%每一个代表一个具体的时间，例如"1"表示 2016 年 11 月 30 日，"2"表
示 2016 年 12 月 1 日
A=A';
B=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\ 支 撑 材 料 \1\ 关系分析 \ 营 业 额 与 利 润
率.xlsx','Sheet1','B2:B764');%利润率
C=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\ 支 撑 材 料 \1\ 关系分析 \ 营 业 额 与 利 润
率.xlsx','Sheet1','D2:D764');%营业额
plotyy(A,B,A,C);
clear all
clc
%% 2016 利润率
n=0.2/11343;%步长
A=[0.2:n:0.4];
A=A';%以 n 为步长的利润率
xlswrite('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2016\2016 修正后的全部数据无成
本.xlsx',A,'M2:M11345');%写入对应表格
AX=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2016\2016 修正后的全部数据无成
本.xlsx','Sheet1','H2:H11345');%读写销售价格
N=length(AX);%数据个数
A1=ones(N,1)%创建 N 行 1 列的 1 矩阵
AC=(A1-A).*AX;%计算成本,成本=（1-利润率）*售价
xlswrite('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2016\2016 修正后的全部数据无成
本.xlsx',AC,'I2:I11345');%补全缺失成本数据
%% 2017 利润率
n2=0.2/198809;
B=[0.2:n2:0.4];
B=B';
xlswrite('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2017\2017 修正后的全部数据无成
本.xlsx',B,'M2:M198811');
BX=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2017\2017 修正后的全部数据无成
本.xlsx','Sheet1','H2:H198811');
N2=length(BX);
B1=ones(N2,1);
BC=(B1-B).*BX;
xlswrite('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2017\2017 修正后的全部数据无成
本.xlsx',BC,'I2:I198811');%补全缺失成本数据
%% 2018 利润率
n3=0.2/506788;
C=[0.2:n3:0.4];
C=C';
xlswrite('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2018\2018 修正后的全部数据无成
本.xlsx',C,'M2:M506790');
CX=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2018\2018 修正后的全部数据无成
本.xlsx','Sheet1','H2:H506790');
C2=length(CX);
C1=ones(C2,1);
CC=(C1-C).*CX;
xlswrite('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2018\2018 修正后的全部数据无成
本.xlsx',CC,'I2:I506790');
%% 2019 利润率
n4=0.2/2696;
D=[0.2:n4:0.4];
D=D';
xlswrite('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2019\2019 修正后的全部数据无成
本.xlsx',D,'M2:M2698');
DX=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2019\2019 修正后的全部数据无成
本.xlsx','Sheet1','H2:H2698');
D2=length(DX);
D1=ones(D2,1);
DC=(D1-D).*DX;
xlswrite('D:\Users\12142\Desktop\检查利润率\2019\2019 修正后的全部数据无成
本.xlsx',DC,'I2:I2698');

clear all;clc
A=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\支撑材料\3\月平均值.xlsx','Sheet1','B2:B28');%月
平均利润率
B=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\支撑材料\3\月平均值.xlsx','Sheet1','D2:D28');%月
平均折扣率
C=xlsread('D:\Users\12142\Desktop\支撑材料\3\月平均值.xlsx','Sheet1','F2:F28');%月
平均商品销售额
D=[1:1:27];
D=D';
figure(1)
plotyy(D,B,D,A);%利润率
figure(2)
plotyy(D,B,D,C);
X=[ones(27,1) A C];
[b20,bint20,r20,rint20,stats20] = regress(B,X)%多元线性
rcoplot(r20,rint20);%r 残差,%rint 置信区间;
cftool

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