关于线性连续系统转换到离散系统的方法

虽然通常在分析设计控制器时，总是针对连续系统设计的。但是若要将其在实际工程中应用起来，则免不了需要将它转换为离散的形式。本文主要对连续系统转换到离散系统的几种方法进行了汇总，便于之后的翻阅。

参考资料：

状态空间方程的离散化 - 知乎 (zhihu.com)
(55条消息) 如何将连续系统状态空间方程离散化_Let’sCode的博客-CSDN博客_连续状态空间方程离散化
Optimal State Estimation Kalman, H Infinity, and Nonlinear Approaches (Dan Simon)

1.传递函数

线性连续系统的一种重要的表示形式为传递函数。将传递函数进行离散化的方法就是z变换，将传递函数中的"s"变量全部用"z"替换即可。
G(s)⟶G(z)G(s) \longrightarrow G(z) G(s)⟶G(z)
常见的三种"s"与"z"的对应关系分别如下所示，其中TTT表示采样时间。

前项差分变换
z=1+Ts(1)z=1+Ts \tag{1} z=1+Ts(1)
后项差分变换
z=11−Ts(2)z=\frac{1}{1-Ts} \tag{2} z=1−Ts1(2)
双线性变换（Tustin变换）
z=1+Ts/21−Ts/2(3)z=\frac{1+Ts/2}{1-Ts/2} \tag{3} z=1−Ts/21+Ts/2(3)

2.状态空间方程

线性连续系统的另一种重要的表示形式为状态空间方程。一般来说，将状态空间方程进行离散化的方法有两种，分别为欧拉法和零阶保持法。下面分别进行介绍。
{x˙=Ax+Buy=Cx+Du⟶{x(k+1)=Azx(k)+Bzu(k)y(k)=Czx(k)+Dzu(k)\begin{cases} \dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx+Du \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} x(k+1)=A_zx(k)+B_zu(k) \\ y(k)=C_zx(k)+D_zu(k) \end{cases} {x˙=Ax+Buy=Cx+Du⟶{x(k+1)=Azx(k)+Bzu(k)y(k)=Czx(k)+Dzu(k)

2.1.欧拉法

欧拉法利用了泰勒展开式的一阶近似，将状态导数表示为了如下形式
x˙=x(k+1)−x(k)T(4)\dot{x}=\frac{x(k+1)-x(k)}{T} \tag{4} x˙=Tx(k+1)−x(k)(4)
将上式代入状态空间方程，可以得到离散化状态空间方程
{x(k+1)=Azx(k)+Bzu(k)y(k)=Czx(k)+Dzu(k)(5)\begin{cases} x(k+1)=A_zx(k)+B_zu(k) \\ y(k)=C_zx(k)+D_zu(k) \end{cases} \tag{5} {x(k+1)=Azx(k)+Bzu(k)y(k)=Czx(k)+Dzu(k)(5)
上式中，Az=I+TA,Bz=TB,Cz=C,Dz=DA_z=I+TA,B_z=TB,C_z=C,D_z=DAz=I+TA,Bz=TB,Cz=C,Dz=D。

2.2.零阶保持法

我们知道，线性系统的状态空间方程的解可以表示为
x(t)=eA(t−t0)x(t0)+∫t0teA(t−τ)Bu(τ)dτ(6)x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^t{e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau} \tag{6} x(t)=eA(t−t0)x(t0)+∫t0teA(t−τ)Bu(τ)dτ(6)
上式中，eA(t−t0)e^{A(t-t_0)}eA(t−t0)表示系统的状态转移矩阵，eAe^AeA的形式称为矩阵指数。

定义时间间隔为T=tk+1−tkT=t_{k+1}-t_{k}T=tk+1−tk，且假设在时间间隔内A(t),B(t),u(t)A(t),B(t),u(t)A(t),B(t),u(t)保持不变。则式(6)可以写成
x(tk+1)=eATx(tk)+∫0TeA(T−τ)dτBu(tk)=eATx(tk)+eAT∫0Te−AτdτBu(tk)(7)\begin{aligned} x(t_{k+1})&=e^{AT}x(t_k)+\int_{0}^T{e^{A(T-\tau)}d\tau}Bu(t_k) \\ &=e^{AT}x(t_k)+e^{AT}\int_{0}^T{e^{-A\tau}d\tau}Bu(t_k) \end{aligned} \tag{7} x(tk+1)=eATx(tk)+∫0TeA(T−τ)dτBu(tk)=eATx(tk)+eAT∫0Te−AτdτBu(tk)(7)
由式(7)可以确定，Az=eAT,Bz=eAT∫0Te−AτdτBA_z=e^{AT},B_z=e^{AT}\int_{0}^T{e^{-A\tau}d\tau}BAz=eAT,Bz=eAT∫0Te−AτdτB。

在计算矩阵BzB_zBz时，由于存在矩阵指数的积分运算，在实际使用时可能会比较麻烦。当矩阵AAA可逆时，矩阵指数的积分运算可以进行简化，如式(8)所示。具体推导过程详见Optimal State Estimation Kalman, H Infinity, and Nonlinear Approaches。
∫0Te−Aτdτ=[I−e−AT]A−1(8)\int_{0}^T{e^{-A\tau}d\tau}=[I-e^{-AT}]A^{-1} \tag{8} ∫0Te−Aτdτ=[I−e−AT]A−1(8)
以上介绍的两种离散化方法中，零阶保持法在精确度和稳定性方面优于欧拉法。