P1667 数列（离散化）

题目

题目描述
给定一个长度是nnn的数列AAA，我们称一个数列是完美的，当且仅当对于其任意连续子序列的和都是正的。现在你有一个操作可以改变数列，选择一个区间[X,Y]满足Ax+Ax+1+⋯+AY,1<X≤Y<nA_x +A_{x+1} + \cdots + A_Y, 1<X \leq Y<nAx+Ax+1+⋯+AY,1<X≤Y<n，令S=Ax+Ax+1+…+AYS=A_x +A_{x+1} +…+ A_YS=Ax+Ax+1+…+AY，对于Ax−1A_{x-1}Ax−1和AY+1A_{Y+1}AY+1分别加上SSS，AxA_xAx和AYA_YAY分别减去SSS（如果X=YX=YX=Y就减两次）。问最少几次这样的操作使得最终数列是完美的。

输入格式
第一行一个数nnn，以下nnn个数。

【数据规模】

对于202020%的数据，满足1≤N≤51 \leq N \leq 51≤N≤5;

对于100100100%的数据，满足1≤N≤105;1≤∣A[i]∣≤231−11≤N≤10^5; 1≤|A[i] |≤2^{31}-11≤N≤105;1≤∣A[i]∣≤231−1。

输出格式
一个数表示最少的操作次数，如果无解输出−1-1−1。

输入输出样例
输入
5
13
-3
-4
-5
62
输出
2
说明/提示
【样例解释】

首先选择区间[2,4][2,4][2,4],之后数列变成1,9，−4,7,501,9，-4,7,501,9，−4,7,50，然后选择[3,3][3,3][3,3]，数列变成1,5,4,3,501,5,4,3,501,5,4,3,50

题解

令S=∑i=xya[i],sum[i]=∑k=1iS=\sum_{i=x}^ya[i], sum[i] =\sum_{k=1}^iS=∑i=xya[i],sum[i]=∑k=1i，我们可以发现每次操作只会影响前缀和，即sum[x−1]+=S,sum[x]+=0,sum[y]−=S,sum[y+1]+=0sum[x-1]+=S, sum[x]+=0,sum[y]-=S,sum[y+1]+=0sum[x−1]+=S,sum[x]+=0,sum[y]−=S,sum[y+1]+=0，实际上最终影响的只有sum[x−1],sum[y]sum[x-1],sum[y]sum[x−1],sum[y]而因为原本的sum[x−1]+S=sum[y]sum[x-1]+S=sum[y]sum[x−1]+S=sum[y]所以其实就相当于交换sum[x−1],sum[y]sum[x-1],sum[y]sum[x−1],sum[y]。
题目转化为给定一个序列每次操作可交换序列中任意两个数，求使得序列单调递增的最小交换次数。
O(n)O(n)O(n) 扫一遍即可，最终复杂度为O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N = 1e5 + 100; int n, m;
int a[N], b[N]; int main() {scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) {int x; scanf("%d", &x); a[i] = a[i - 1] + x; b[i] = a[i]; }sort(b + 1, b + n + 1); m = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1; if (b[1] <= 0) {puts("-1"); return 0; }else {int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) {int t = lower_bound(b + 1, b + m + 1, a[i]) - b; a[i] = t; }for (int i = 1; i < n; ++i) {while (a[i] != i) {++ans; swap(a[i], a[a[i]]); }}printf("%d\n", ans); }return 0;
}

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