题目

题目描述

给出如下定义：
1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第 2、 4 行和第 2、 4、 5 列交叉位置的元素得到一个 2*3 的子矩阵如右图所示。

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个 n 行 m 列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个 r 行 c 列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

输入

输入文件名为 submatrix.in。
第一行包含用空格隔开的四个整数 n， m， r， c，意义如问题中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的 n 行，每行包含 m 个用空格隔开的整数，用来表示问题中那个 n 行 m 列的矩阵。

输出

输出文件名为 submatrix.out。
输出共 1 行，包含 1 个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

样例

样例输入	样例输出
`5 5 2 3 9 3 3 3 9 9 4 8 7 4 1 7 4 6 6 6 8 5 6 9 7 4 5 6 1`	`6`
`7 7 3 3 7 7 7 6 2 10 5 5 8 8 2 1 6 2 2 9 5 5 6 1 7 7 9 3 6 1 7 8 1 9 1 4 7 8 8 10 5 9 1 1 8 10 1 3 1 5 4 8 6`	`16`

数据范围

对于 50%的数据， 1 ≤ m≤ 12 , 1 ≤n ≤ 12 , 矩阵中的每个元素 1 ≤ a [i , j] ≤20；
对于 100%的数据， 1 ≤m ≤ 16 , 1 ≤ n≤ 16 , 矩阵中的每个元素 1 ≤ a [i , j] ≤1000,1 ≤ r<=n ,1<=c<=m

提示

【输入输出样例 1 说明】
该矩阵中分值最小的 2 行 3 列的子矩阵由原矩阵的第 4 行、第 5 行与第 1 列、第 3 列、第 4 列交叉位置的元素组成，为

其分值为 |6 − 5 | + |5 − 6 | + | 7 − 5 | + |5 − 6 | + |6 − 7 |+ | 5 − 5 | + | 6 − 6 | = 6。

【输入输出样例 2 说明】
该矩阵中分值最小的 3 行 3 列的子矩阵由原矩阵的第 4 行、第 5 行、第 6 行与第 2 列、第 6 列、第 7 列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

题目大意

给你一个矩阵，从中选出r行和c列，让这r行和c交叉的元素构成的矩阵的分值最小。

算法

这道题我们使用暴力+动态规划的方法。

我们先用深搜枚举选出r行。

设d[j]表示第j列所有被选中的元素上下作差得到的分值。

for (int j=1; j<=m; j++)
{int p=n+1;for (int i=1; i<=n; i++) if (vis[i]){p=i;break;}for (int i=p+1; i<=n; i++) if (vis[i]){d[j]+=abs(a[i][j]-a[p][j]);p=i;}
}

设sum[i][j]表示第i列和第j列被选中的元素左右作差得到的分值。

for (int i=1; i<=m; i++)for (int j=i+1; j<=m; j++)for (int k=1; k<=n; k++) if (vis[k])sum[i][j]+=abs(a[k][i]-a[k][j]);

设f[i][j]表示前i列，选了j列的最小分值。

是不是很像背包问题？

然后我们发现一列数的分值其实是每两个相邻的数的差的绝对值的和，即d[i]。

经过观察我们可以发现新加进一列，分值就会加上它本身的分值和它与前一列的分值。于是状态转移方程就很容易推出来了：

f[i][j]=min{f[k][j-1]+sum[k][i]}+d[i] (j-1<=k<i)

最后的ans就是

ans=min{f[i][c]} (c<=i<=m);

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int min(int a,int b);const int INF=0x7fffffff/3;
const int N=20;
int a[N][N],f[N][N],sum[N][N],d[N];
bool vis[N];
int n,m,r,c,ans=INF;void dp()
{memset(d,0,sizeof d);memset(sum,0,sizeof sum);for (int j=1; j<=m; j++){int p=n+1;for (int i=1; i<=n; i++) if (vis[i]){p=i;break;}for (int i=p+1; i<=n; i++) if (vis[i]){d[j]+=abs(a[i][j]-a[p][j]);p=i;}}for (int i=1; i<=m; i++)for (int j=i+1; j<=m; j++)for (int k=1; k<=n; k++) if (vis[k])sum[i][j]+=abs(a[k][i]-a[k][j]);for (int i=1; i<=m; i++)for (int j=1; j<=c; j++){f[i][j]=INF;for (int k=j-1; k<i; k++) f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+sum[k][i]);f[i][j]+=d[i];}for (int i=c; i<=m; i++) ans=min(ans,f[i][c]);
}void dfs(int k,int s)
{if (s>r) {dp();return;}if (k>n) return;vis[k]=true;dfs(k+1,s+1);vis[k]=false;dfs(k+1,s);
}int main()
{freopen("submatrix.in","r",stdin);freopen("submatrix.out","w",stdout);scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&r,&c);for (int i=1; i<=n; i++) for (int j=1; j<=m; j++)scanf("%d",&a[i][j]);dfs(1,1);printf("%d",ans);return 0;
}int min(int a,int b)
{if (a<b) return a;else return b;
}

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