插值问题：Interpolation.

已知函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上 n+1n+1n+1 个相异点 a≤x0<x1<...<xn≤ba≤x_0<x_1<...<x_n≤ba≤x0<x1<...<xn≤b 处的函数值为 f(x0),f(x1),...,f(xn)f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)f(x0),f(x1),...,f(xn)，如果存在一个函数 S(x)S(x)S(x) 满足 S(xi)=f(xi),i=0,1,2,...,nS(x_i)=f(x_i),i=0,1,2,...,nS(xi)=f(xi),i=0,1,2,...,n，则称函数 S(x)S(x)S(x) 为 f(x)f(x)f(x) 在点 xi,i=0,1,2,...,nx_i,i=0,1,2,...,nxi,i=0,1,2,...,n 处的插值函数。
相应地，f(x)f(x)f(x) 为被插值函数，xix_ixi 为插值节点，[a,b][a,b][a,b] 为插值区间，求解插值函数 S(x)S(x)S(x) 的方法统称为插值法。
一般而言，插值函数 S(x)S(x)S(x) 和原函数 f(x)f(x)f(x) 之间总是会存在一定误差的，误差函数 R(x)=f(x)−S(x)R(x)=f(x)-S(x)R(x)=f(x)−S(x) 被称作插值余项。

初次接触余项概念是学习泰勒展开，使用高阶导数组合逼近原函数，熟悉的有皮亚诺余项、拉格朗日余项。泰勒展开的理念表明可以基于多项式来逼近光滑函数。

插值函数可以用于计算原函数 f(x)f(x)f(x) 的函数值、导数值、数值积分和数值微分等一系列近似计算。满足插值条件的插值函数有多种形式，常见的有多项式、有理分式、三角函数和指数函数。多项式(分段多项式)由于其计算简单的优势，在工程应用中备受青睐，例如Bezier曲线和B-样条曲线。
当插值函数是次数不超过 nnn 次的多项式 Pn(x)=∑i=0naixiP_n(x)=\sum^n_{i=0}a_ix^iPn(x)=∑i=0naixi 时，称其为 f(x)f(x)f(x) 的 nnn 次插值多项式。

插值多项式唯一性.

【定理】已知函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上 n+1n+1n+1 个相异点 a≤x0<x1<...<xn≤ba≤x_0<x_1<...<x_n≤ba≤x0<x1<...<xn≤b 处的函数值 f(xi),i=0,1,2,...,nf(x_i),i=0,1,2,...,nf(xi),i=0,1,2,...,n，则存在唯一的不超过 nnn 次的多项式 Pn(x)=∑i=0naixiP_n(x)=\sum^n_{i=0}a_ix^iPn(x)=∑i=0naixi 使得 Pn(xi)=f(xi),i=0,1,2,...,nP_n(x_i)=f(x_i),i=0,1,2,...,nPn(xi)=f(xi),i=0,1,2,...,n.
【证明】由插值函数的定义可知 Pn(xi)=f(xi),i=0,1,2,...,nP_n(x_i)=f(x_i),i=0,1,2,...,nPn(xi)=f(xi),i=0,1,2,...,n 必须成立，即 a0xi0+a1xi1+a2xi2+...+anxin=f(xi),i=0,1,2,...,na_0x_i^0+a_1x_i^1+a_2x_i^2+...+a_nx_i^n=f(x_i),i=0,1,2,...,na0xi0+a1xi1+a2xi2+...+anxin=f(xi),i=0,1,2,...,n.
其系数矩阵的行列式是著名的范德蒙德行列式(注意此处是 n+1n+1n+1 阶)，值为 ∏0≤j<i≤n(xi−xj)\prod_{0≤j<i≤n}(x_i-x_j)0≤j<i≤n∏(xi−xj)
由于插值节点互异，所以系数行列式不为零，该方程组有唯一解，即插值多项式 Pn(x)P_n(x)Pn(x) 存在且唯一。

拉格朗日插值法.

上部分证明过程中使用待定系数法也能够解出插值多项式的系数，但其问题在于计算量过大，并且当插值节点分布密集时，其稀疏矩阵是病态的，数值求解不稳定。

线性(一次)插值.

如果只有一个插值节点 f(x0)f(x_0)f(x0)，那么得到的插值多项式即为常函数 Pn(x)=f(x0)P_n(x)=f(x_0)Pn(x)=f(x0).
【一次插值】已知函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上两点 x0,x1x_0,x_1x0,x1 处的函数值 y0,y1y_0,y_1y0,y1，求插值函数 L1L_1L1 满足 L1(x0)=y0,L1(x1)=y1L_1(x_0)=y_0,L_1(x_1)=y_1L1(x0)=y0,L1(x1)=y1.
实际上此时的插值多项式就是过点 (x0,y0),(x1,y1)(x_0,y_0),(x_1,y_1)(x0,y0),(x1,y1) 的直线，其函数式为 L1(x)=x−x1x0−x1⋅y0+x−x0x1−x0⋅y1L_1(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}·y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}·y_1L1(x)=x0−x1x−x1⋅y0+x1−x0x−x0⋅y1.
记 l0(x)=x−x1x0−x1,l1(x)=x−x0x1−x0l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1},l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}l0(x)=x0−x1x−x1,l1(x)=x1−x0x−x0，那么 L1(x)=l0(x)⋅y0+l1(x)⋅y1L_1(x)=l_0(x)·y_0+l_1(x)·y_1L1(x)=l0(x)⋅y0+l1(x)⋅y1 称为 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上的Lagrange型线性插值函数，其中 l0(x),l1(x)l_0(x),l_1(x)l0(x),l1(x) 分别是点 x0,x1x_0,x_1x0,x1 上的Lagrange插值基函数。
可以发现 l0(x),l1(x)l_0(x),l_1(x)l0(x),l1(x) 都是线性函数，并且具有以下性质：①l0(x)+l1(x)=1①~l_0(x)+l_1(x)=1① l0(x)+l1(x)=1;②lk(xi)=δki②~l_k(x_i)=\delta_{ki}② lk(xi)=δki，其中 δ\deltaδ 是Kronecker符号。
拉格朗日插值函数可以视为节点函数值 yiy_iyi 对节点插值基函数 li(x)l_i(x)li(x) 的线性组合。

二次插值.

已知函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上三点 x0,x1,x2x_0,x_1,x_2x0,x1,x2 处的函数值 y0,y1,y2y_0,y_1,y_2y0,y1,y2，求插值函数 L2L_2L2 满足 L2(xi)=yiL_2(x_i)=y_iL2(xi)=yi.
令 L2(x)=∑i=02li(x)⋅yiL_2(x)=\sum^2_{i=0}l_i(x)·y_iL2(x)=∑i=02li(x)⋅yi，由于 lk(xi)=δkil_k(x_i)=\delta_{ki}lk(xi)=δki，所以对于 l0(x)l_0(x)l0(x) 而言，它是一个以 x1,x2x_1,x_2x1,x2 为零点的二次函数 C(x−x1)(x−x2)C(x-x_1)(x-x_2)C(x−x1)(x−x2)，又 l0(x0)=1l_0(x_0)=1l0(x0)=1，可得 C=[(x0−x1)(x0−x2)]−1C=[(x_0-x_1)(x_0-x_2)]^{-1}C=[(x0−x1)(x0−x2)]−1，同理可以计算出 l1(x),l2(x)l_1(x),l_2(x)l1(x),l2(x).
观察 l0(x)=(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)=∏j=0,j≠02x−xjx0−xjl_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\prod^2_{j=0,j≠0}\frac{x-x_j}{x_0-x_j}l0(x)=(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2)=∏j=0,j=02x0−xjx−xj 以及 l1(x),l2(x)l_1(x),l_2(x)l1(x),l2(x) 的表达式，可以统一写为 lk(x)=∏j=0,j≠k2x−xjxk−xjl_k(x)=\prod^2_{j=0,j≠k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}lk(x)=∏j=0,j=k2xk−xjx−xj，所以: L2(x)=∑k=02(∏j=0,j≠k2x−xjxk−xj)L_2(x)=\sum^2_{k=0}(\prod^2_{j=0,j≠k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j})L2(x)=k=0∑2(j=0,j=k∏2xk−xjx−xj)

nnn 次插值.

回到最一般的情况，已知函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上 n+1n+1n+1 个相异点 a≤x0<x1<...<xn≤ba≤x_0<x_1<...<x_n≤ba≤x0<x1<...<xn≤b 处的函数值为 yi,i=0,1,2,...,ny_i,i=0,1,2,...,nyi,i=0,1,2,...,n.
Ln(x)=∑k=0n(∏j=0,j≠knx−xjxk−xj)L_n(x)=\sum^n_{k=0}(\prod^n_{j=0,j≠k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j})Ln(x)=k=0∑n(j=0,j=k∏nxk−xjx−xj)

插值余项.

【定理】拉格朗日插值法得到的插值多项式 Ln(x)L_n(x)Ln(x) 产生的误差 Rn(x)=f(x)−Ln(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x)R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)Rn(x)=f(x)−Ln(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)ωn+1(x).
其中 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上具有 nnn 阶连续导数，并且在 (a,b)(a,b)(a,b) 内 n+1n+1n+1 阶可导，ξ∈(a,b)\xi∈(a,b)ξ∈(a,b)，ωn+1(x)=∏i=0n(x−xi)\omega_{n+1}(x)=\prod^n_{i=0}(x-x_i)ωn+1(x)=∏i=0n(x−xi).
【证明】根据 Rn(x)=f(x)−Ln(x)R_n(x)=f(x)-L_n(x)Rn(x)=f(x)−Ln(x)，当 x=xi,i=0,1,2,...,nx=x_i,i=0,1,2,...,nx=xi,i=0,1,2,...,n 时 Rn(xi)=0R_n(x_i)=0Rn(xi)=0，所以 Rn(x)R_n(x)Rn(x) 有 n+1n+1n+1 个零点，可以设 Rn(x)=K(x)(x−x0)(x−x1)...(x−xn)R_n(x)=K(x)(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)Rn(x)=K(x)(x−x0)(x−x1)...(x−xn)，其中 K(x)K(x)K(x) 待定。
构造辅助函数 ϕ(t)=Rn(t)−K(x)∏i=0n(t−xi)\phi(t)=R_n(t)-K(x)\prod^n_{i=0}(t-x_i)ϕ(t)=Rn(t)−K(x)∏i=0n(t−xi)，当 t=xt=xt=x 时可以发现 ϕ(x)=0\phi(x)=0ϕ(x)=0，另外 t=xit=x_it=xi 时 ϕ(xi)=0\phi(x_i)=0ϕ(xi)=0，因此 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t) 有 n+2n+2n+2 个零点。

【罗尔定理】函数 f(x)f(x)f(x) 满足在区间 [a,b][a,b][a,b] 连续，(a,b)(a,b)(a,b) 可导并且 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b) 时，一定存在 ξ∈(a,b)\xi∈(a,b)ξ∈(a,b) 使得 f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0.

已知函数 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t) 有 n+2n+2n+2 个零点，将其按从小到大的顺序排列并重新编号为 t0,t1,...,tn+1t_0,t_1,...,t_{n+1}t0,t1,...,tn+1. 考察区间 [t0,t1][t_0,t_1][t0,t1]，根据罗尔定理，存在 ξ0∈(t0,t1)\xi_0∈(t_0,t_1)ξ0∈(t0,t1) 使得 ϕ′(ξ0)=0\phi'(\xi_0)=0ϕ′(ξ0)=0. 同理可以得到另外 nnn 个 ϕ′(t)\phi'(t)ϕ′(t) 的零点。
对 ϕ′(t)\phi'(t)ϕ′(t) 继续使用罗尔定理，可以得到 ϕ′′(t)\phi''(t)ϕ′′(t) 的 n−1n-1n−1 个零点，第 n+1n+1n+1 次迭代后得到以下结论：存在 ξ∈(a,b)\xi∈(a,b)ξ∈(a,b) 使得 ϕ(n+1)(ξ)=0\phi^{(n+1)}(\xi)=0ϕ(n+1)(ξ)=0.
由于 ϕ(t)=Rn(t)−K(x)∏i=0n(t−xi)=f(x)−Ln(x)−K(x)∏i=0n(t−xi)\phi(t)=R_n(t)-K(x)\prod^n_{i=0}(t-x_i)=f(x)-L_n(x)-K(x)\prod^n_{i=0}(t-x_i)ϕ(t)=Rn(t)−K(x)∏i=0n(t−xi)=f(x)−Ln(x)−K(x)∏i=0n(t−xi)，对其三个部分求 n+1n+1n+1 阶导数，f(x)f(x)f(x) 部分求导为 f(n+1)(x)f^{(n+1)}(x)f(n+1)(x)；Ln(x)L_n(x)Ln(x) 为 nnn 次多项式，所以其 n+1n+1n+1 阶导数为 000；第 333 部分为 n+1n+1n+1 次多项式，求导结果为 K(x)⋅(n+1)!K(x)·(n+1)!K(x)⋅(n+1)!.
综上所述，得 ϕ(n+1)(ξ)=f(n+1)(ξ)−(n+1)!⋅K(x)=0\phi^{(n+1)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)-(n+1)!·K(x)=0ϕ(n+1)(ξ)=f(n+1)(ξ)−(n+1)!⋅K(x)=0，解得 K(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!K(x)=\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}K(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)，因此 Rn(x)=K(x)∏i=0n(x−xi)=f(n+1)(ξ)(n+1)!⋅ωn+1(x)R_n(x)=K(x)\prod^n_{i=0}(x-x_i)=\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}·\omega_{n+1}(x)Rn(x)=K(x)∏i=0n(x−xi)=(n+1)!f(n+1)(ξ)⋅ωn+1(x)，拉格朗日插值法余项得证。

碎碎念.

如果将 f(x)f(x)f(x) 和 Ln(x)L_n(x)Ln(x) 分别视为真实模型和假设模型，那么 Rn(x)R_n(x)Rn(x) 可以视为误差。从其表达式可以看出 Rn(x)R_n(x)Rn(x) 并不是随着插值节点数量的增加单调减小。
一般来说对于拉格朗日插值法而言，增加插值节点的个数可以减小余项大小，但回忆前面部分从线性插值、二次插值到 nnn 次插值的推导过程可以发现，每次增加插值节点，插值基函数都需要重新计算，有很多冗余的计算量。

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插值问题：Interpolation.

插值多项式唯一性.

拉格朗日插值法.

线性(一次)插值.

二次插值.

nnn 次插值.

插值余项.

碎碎念.

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