《机器学习实战》学习笔记（八）：预测数值型数据 - 回归
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目录
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- 本章内容
- 1、回归
- 2、用线性回归找到最佳拟合直线
- 3、局部加权线性回归
- 4、示例：预测鲍鱼的年龄
- 5、缩减系数来“理解”数据
- 1）岭回归
- 2）lasso
- 3）前向逐步回归
- 6、示例：预测乐高玩具套装的价格
- 1）收集数据
- 2）训练算法：建立模型
- 7、Sklearn构建岭回归
- 8、sklearn.linear_model.Ridge
- 9、总结
- 参考文章
本章内容
- 线性回归
- 局部加权线性回归
- 岭回归和逐步线性回归
- 预测鲍鱼年龄和玩具售价
1、回归
前面的章节介绍了分类（前七章其实都是分类，不知道你看出来了没有），分类 的目标变量是 标称型数据，而这一次我们将会对 连续型数据 做出预测，也就是回归。
很多人的第一想法很可能是：“回归能用来做些什么呢？”。我的观点是，回归可以做任何事情。然而大多数公司常常使用回归法做一些比较沉闷的事情，例如销售量预测或者制造缺陷预测。比如：
我最近看到一个比较有新意的应用，就是预测名人的离婚率（我不会被律师函警告吧…）。
2、用线性回归找到最佳拟合直线
线性回归
优点：结果易于理解，计算上不复杂。
缺点：对非线性的数据拟合不好。
适用数据类型：数值型和标称型数据。
回归的目的是预测数值型的目标值。最直接的办法是依据输入写出一个目标值的计算公式。比如假设你想要预测姐姐男友汽车的功率大小，可能会这么计算：
这就是所谓的 回归方程（regression equation），其中的 0.0015和 -0.99称作 回归系数（regressionweights），求这些回归系数的过程就是 回归。一旦有了这些回归系数，方程就确定了，如果再给定输入变量，则做预测就非常容易了。具体的做法是用回归系数乘以输入值，再将结果全部加在一起，就得到了预测值。
说到 回归，一般都是指 线性回归（linear regression），所以这里的回归和线性回归代表同一个意思。线性回归意味着可以将输入项分别乘以一些常量，再将结果加起来得到输出。
需要说明的是，存在另一种称为 非线性回归 的回归模型，该模型不认同上面的做法，比如认为输出可能是输入的乘积。这样，上面的功率计算公式也可以写做：
这就是一个非线性回归的例子，不过我们这里不做深入讨论。
回归的一般方法
(1) 收集数据：采用任意方法收集数据。
(2) 准备数据：回归需要数值型数据，标称型数据将被转成二值型数据。
(3) 分析数据：绘出数据的可视化二维图将有助于对数据做出理解和分析，在采用缩减法求得新回归系数之后，可以将新拟合线绘在图上作为对比。
(4) 训练算法：找到回归系数。
(5) 测试算法：使用R2或者预测值和数据的拟合度，来分析模型的效果。
(6) 使用算法：使用回归，可以在给定输入的时候预测出一个数值，这是对分类方法的提升，因为这样可以预测连续型数据而不仅仅是离散的类别标签。
那么应当怎样从一大堆数据里求出回归方程呢？假定输入数据存放在矩阵X中，而回归系数存放在向量 www 中。那么对于给定的数据 X1X_1X1，预测结果将会通过 Y1=X1TwY_1=X^T_1wY1=X1Tw 给出。现在的问题是，手里有一些 XXX 和对应的 YYY，怎样才能找到 www 呢？
一个常用的方法就是找出使误差最小的 www。这里的误差是指预测 YYY 值和真实 YYY 值之间的差值，使用该误差的简单累加将使得正差值和负差值相互抵消，所以采用平方误差。
平方误差可以写做：
用矩阵表示还可以写做：
如果对 www 求导，得到
令其等于零，解出 www 如下：
值得注意的是，上述公式中包含逆矩阵，也就是需要对矩阵求逆，因此这个方程只在逆矩阵存在的时候适用。然而，矩阵的逆可能并不存在，因此必须要在代码中对此作出判断。
w上方的小标记表示，这是当前可以估计出的w的最优解。从现有数据上估计出的w可能并不是数据中的真实w值，所以这里使用了一个“帽”符号来表示它仅是w的一个最佳估计。这是统计学中的常见问题，除了矩阵方法外还有很多其他方法可以解决。通过调用NumPy库里的矩阵方法，仅使用几行代码就完成所需功能。该方法也称作OLS，意思是 “普通最小二乘法”（ordinary least squares）。
下面可视化一下数据：
第一列都为1.0，即x0。第二列为x1，即x轴数据。第三列为x2，即y轴数据。
先绘制下数据，看下数据分布。编写代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 加载数据
def loadDataSet(fileName):"""Parameters:fileName - 文件名Returns:xArr - x数据集yArr - y数据集"""numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1xArr = []; yArr = []fr = open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr =[]curLine = line.strip().split('\t')for i in range(numFeat):lineArr.append(float(curLine[i]))xArr.append(lineArr)yArr.append(float(curLine[-1]))return xArr, yArr# 绘制数据集
def plotDataSet():xArr, yArr = loadDataSet('ex0.txt') #加载数据集n = len(xArr) #数据个数xcord = []; ycord = [] #样本点for i in range(n): xcord.append(xArr[i][1]); ycord.append(yArr[i]) #样本点fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111) #添加subplotax.scatter(xcord, ycord, s = 20, c = 'blue',alpha = .5) #绘制样本点plt.title('DataSet') #绘制titleplt.xlabel('X')plt.ylabel('Y')plt.show()if __name__ == '__main__':plotDataSet()
通过可视化数据，加上推导的回归系数计算方法，求出回归系数向量，并根据回归系数向量绘制回归曲线，编写代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 加载数据
def loadDataSet(fileName):"""Parameters:fileName - 文件名Returns:xArr - x数据集yArr - y数据集"""numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1xArr = []; yArr = []fr = open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr =[]curLine = line.strip().split('\t')for i in range(numFeat):lineArr.append(float(curLine[i]))xArr.append(lineArr)yArr.append(float(curLine[-1]))return xArr, yArr# 计算回归系数w
def standRegres(xArr,yArr):"""Parameters:xArr - x数据集yArr - y数据集Returns:ws - 回归系数"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).TxTx = xMat.T * xMat #根据文中推导的公示计算回归系数if np.linalg.det(xTx) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")returnws = xTx.I * (xMat.T*yMat)return ws# 绘制回归曲线和数据点
def plotRegression():xArr, yArr = loadDataSet('ex0.txt') #加载数据集ws = standRegres(xArr, yArr) #计算回归系数xMat = np.mat(xArr) #创建xMat矩阵yMat = np.mat(yArr) #创建yMat矩阵xCopy = xMat.copy() #深拷贝xMat矩阵xCopy.sort(0) #排序yHat = xCopy * ws #计算对应的y值fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111) #添加subplotax.plot(xCopy[:, 1], yHat, c = 'red') #绘制回归曲线ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.flatten().A[0], s = 20, c = 'blue',alpha = .5) #绘制样本点plt.title('DataSet') #绘制titleplt.xlabel('X')plt.ylabel('Y')plt.show()if __name__ == '__main__':plotRegression()
几乎任一数据集都可以用上述方法建立模型，那么，如何判断这些模型的好坏呢？
比较一下上图的两个子图，如果在两个数据集上分别作线性回归，将得到完全一样的模型（拟合直线）。显然两个数据是不一样的，那么模型分别在二者上的效果如何？我们当如何比较这些效果的好坏呢？
有种方法可以计算预测值yHat序列和真实值y序列的匹配程度，那就是计算这两个序列的相关系数。在Python中，NumPy库提供了相关系数的计算方法：可以通过命令 corrcoef(yEstimate, yActual) 来计算预测值和真实值的相关性。
import numpy as np# 加载数据
def loadDataSet(fileName):"""Parameters:fileName - 文件名Returns:xArr - x数据集yArr - y数据集"""numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1xArr = []; yArr = []fr = open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr =[]curLine = line.strip().split('\t')for i in range(numFeat):lineArr.append(float(curLine[i]))xArr.append(lineArr)yArr.append(float(curLine[-1]))return xArr, yArr# 计算回归系数w
def standRegres(xArr,yArr):"""Parameters:xArr - x数据集yArr - y数据集Returns:ws - 回归系数"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).TxTx = xMat.T * xMat #根据文中推导的公示计算回归系数if np.linalg.det(xTx) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")returnws = xTx.I * (xMat.T*yMat)return wsif __name__ == '__main__':xArr, yArr = loadDataSet('ex0.txt') #加载数据集ws = standRegres(xArr, yArr) #计算回归系数xMat = np.mat(xArr) #创建xMat矩阵yMat = np.mat(yArr) #创建yMat矩阵yHat = xMat * wsprint(np.corrcoef(yHat.T, yMat))
该矩阵包含所有两两组合的相关系数。可以看到，对角线上的数据是1.0，因为yMat和自己的匹配是最完美的，而YHat和yMat的相关系数为0.98。
最佳拟合直线方法将数据视为直线进行建模，具有十分不错的表现。但是拟合图像的数据当中似乎还存在其他的潜在模式。那么如何才能利用这些模式呢？我们可以根据数据来局部调整预测，下面就会介绍这种方法。
3、局部加权线性回归
线性回归的一个问题是有可能出现欠拟合现象，因为它求的是 具有最小均方误差的无偏估计。显而易见，如果模型欠拟合将不能取得最好的预测效果。所以有些方法允许在估计中引入一些偏差，从而降低预测的均方误差。
其中的一个方法是 局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression，LWLR）。在该算法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重；然后在这个子集上基于最小均方差来进行普通的回归。与kNN一样，这种算法每次预测均需要事先选取出对应的数据子集。该算法解出回归系数w的形式如下：
其中w是一个矩阵，用来给每个数据点赋予权重。
LWLR 使用“核”（与支持向量机中的“核”类似）来对附近的点赋予更高的权重。核的类型可以自由选择，最常用的核就是高斯核，高斯核对应的权重如下：
这样就构建了一个只含对角元素的权重矩阵w，并且点x与x(i)越近，w(i,i)将会越大。上述公式包含一个需要用户指定的参数k，它决定了对附近的点赋予多大的权重，这也是使用LWLR时唯一需要考虑的参数，代码如下：
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 加载数据
def loadDataSet(fileName):"""Parameters:fileName - 文件名Returns:xArr - x数据集yArr - y数据集"""numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1xArr = []; yArr = []fr = open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr =[]curLine = line.strip().split('\t')for i in range(numFeat):lineArr.append(float(curLine[i]))xArr.append(lineArr)yArr.append(float(curLine[-1]))return xArr, yArr# 绘制多条局部加权回归曲线
def plotlwlrRegression():font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)xArr, yArr = loadDataSet('ex0.txt') #加载数据集yHat_1 = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 1.0) #根据局部加权线性回归计算yHatyHat_2 = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.01) #根据局部加权线性回归计算yHatyHat_3 = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.003) #根据局部加权线性回归计算yHatxMat = np.mat(xArr) #创建xMat矩阵yMat = np.mat(yArr) #创建yMat矩阵srtInd = xMat[:, 1].argsort(0) #排序，返回索引值xSort = xMat[srtInd][:,0,:]fig, axs = plt.subplots(nrows=3, ncols=1,sharex=False, sharey=False, figsize=(10,8)) axs[0].plot(xSort[:, 1], yHat_1[srtInd], c = 'red') #绘制回归曲线axs[1].plot(xSort[:, 1], yHat_2[srtInd], c = 'red') #绘制回归曲线axs[2].plot(xSort[:, 1], yHat_3[srtInd], c = 'red') #绘制回归曲线axs[0].scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.flatten().A[0], s = 20, c = 'blue', alpha = .5) #绘制样本点axs[1].scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.flatten().A[0], s = 20, c = 'blue', alpha = .5) #绘制样本点axs[2].scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.flatten().A[0], s = 20, c = 'blue', alpha = .5) #绘制样本点#设置标题,x轴label,y轴labelaxs0_title_text = axs[0].set_title(u'局部加权回归曲线,k=1.0',FontProperties=font)axs1_title_text = axs[1].set_title(u'局部加权回归曲线,k=0.01',FontProperties=font)axs2_title_text = axs[2].set_title(u'局部加权回归曲线,k=0.003',FontProperties=font)plt.setp(axs0_title_text, size=8, weight='bold', color='red') plt.setp(axs1_title_text, size=8, weight='bold', color='red') plt.setp(axs2_title_text, size=8, weight='bold', color='red') plt.xlabel('X')plt.show()# 使用局部加权线性回归计算回归系数w
def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k = 1.0):"""Parameters:testPoint - 测试样本点xArr - x数据集yArr - y数据集k - 高斯核的k,自定义参数Returns:ws - 回归系数"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).Tm = np.shape(xMat)[0]weights = np.mat(np.eye((m))) #创建权重对角矩阵for j in range(m): #遍历数据集计算每个样本的权重diffMat = testPoint - xMat[j, :] weights[j, j] = np.exp(diffMat * diffMat.T/(-2.0 * k**2))xTx = xMat.T * (weights * xMat) if np.linalg.det(xTx) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")returnws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat)) #计算回归系数return testPoint * ws# 局部加权线性回归测试
def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k=1.0): """Parameters:testArr - 测试数据集xArr - x数据集yArr - y数据集k - 高斯核的k,自定义参数Returns:ws - 回归系数"""m = np.shape(testArr)[0] #计算测试数据集大小yHat = np.zeros(m) for i in range(m): #对每个样本点进行预测yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)return yHatif __name__ == '__main__':plotlwlrRegression()
使用3种不同平滑值绘出的局部加权线性回归结果。上图中的平滑参数k =1.0，中图k = 0.01，下图k = 0.003。可以看到，k = 1.0时的模型效果与最小二乘法差不多，k = 0.01时该模型可以挖出数据的潜在规律，而k = 0.003时则考虑了太多的噪声，进而导致了过拟合现象。
局部加权线性回归也存在一个问题，即增加了计算量，因为它对每个点做预测时都必须使用整个数据集。如果避免这些计算将可以减少程序运行时间，从而缓解因计算量增加带来的问题。
4、示例：预测鲍鱼的年龄
在abalone.txt文件中记录了鲍鱼（一种介壳类水生动物）的年龄，鲍鱼年龄可以从鲍鱼壳的层数推算得到。可以看一下数据。
可以看到，数据集是多维的，所以很难画出它的分布情况，而且每个维度数据的代表的含义没有给出，不过最后一列是y值。
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 加载数据
def loadDataSet(fileName):"""Parameters:fileName - 文件名Returns:xArr - x数据集yArr - y数据集"""numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1xArr = []; yArr = []fr = open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr =[]curLine = line.strip().split('\t')for i in range(numFeat):lineArr.append(float(curLine[i]))xArr.append(lineArr)yArr.append(float(curLine[-1]))return xArr, yArr# 使用局部加权线性回归计算回归系数w
def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k = 1.0):"""Parameters:testPoint - 测试样本点xArr - x数据集yArr - y数据集k - 高斯核的k,自定义参数Returns:ws - 回归系数"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).Tm = np.shape(xMat)[0]weights = np.mat(np.eye((m))) #创建权重对角矩阵for j in range(m): #遍历数据集计算每个样本的权重diffMat = testPoint - xMat[j, :] weights[j, j] = np.exp(diffMat * diffMat.T/(-2.0 * k**2))xTx = xMat.T * (weights * xMat) if np.linalg.det(xTx) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")returnws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat)) #计算回归系数return testPoint * ws# 局部加权线性回归测试
def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k=1.0): """Parameters:testArr - 测试数据集,测试集xArr - x数据集,训练集yArr - y数据集,训练集k - 高斯核的k,自定义参数Returns:ws - 回归系数"""m = np.shape(testArr)[0] #计算测试数据集大小yHat = np.zeros(m) for i in range(m): #对每个样本点进行预测yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)return yHat# 计算回归系数w
def standRegres(xArr,yArr):"""Parameters:xArr - x数据集yArr - y数据集Returns:ws - 回归系数"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).TxTx = xMat.T * xMat #根据文中推导的公示计算回归系数if np.linalg.det(xTx) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")returnws = xTx.I * (xMat.T*yMat)return wsdef rssError(yArr, yHatArr):"""误差大小评价函数Parameters:yArr - 真实数据yHatArr - 预测数据Returns:误差大小"""return ((yArr - yHatArr) **2).sum()if __name__ == '__main__':abX, abY = loadDataSet('abalone.txt')print('训练集与测试集相同:局部加权线性回归,核k的大小对预测的影响:')yHat01 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 0.1)yHat1 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 1)yHat10 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 10)print('k=0.1时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat01.T))print('k=1 时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat1.T))print('k=10 时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat10.T))print('')print('训练集与测试集不同:局部加权线性回归,核k的大小是越小越好吗？更换数据集,测试结果如下:')yHat01 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 0.1)yHat1 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 1)yHat10 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 10)print('k=0.1时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat01.T))print('k=1 时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat1.T))print('k=10 时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat10.T))print('')print('训练集与测试集不同:简单的线性归回与k=1时的局部加权线性回归对比:')print('k=1时,误差大小为:', rssError(abY[100:199], yHat1.T))ws = standRegres(abX[0:99], abY[0:99])yHat = np.mat(abX[100:199]) * wsprint('简单的线性回归误差大小:', rssError(abY[100:199], yHat.T.A))
>>>
训练集与测试集相同:局部加权线性回归,核k的大小对预测的影响:
k=0.1时,误差大小为: 56.78868743050092
k=1 时,误差大小为: 429.89056187038
k=10 时,误差大小为: 549.1181708827924训练集与测试集不同:局部加权线性回归,核k的大小是越小越好吗？更换数据集,测试结果如下:
k=0.1时,误差大小为: 57913.51550155911
k=1 时,误差大小为: 573.5261441895982
k=10 时,误差大小为: 517.5711905381903训练集与测试集不同:简单的线性归回与k=1时的局部加权线性回归对比:
k=1时,误差大小为: 573.5261441895982
简单的线性回归误差大小: 518.6363153245542
可以看到，当k=0.1时，训练集误差小，但是应用于新的数据集之后，误差反而变大了。这就是经常说道的 过拟合现象。我们训练的模型，我们要保证测试集准确率高，这样训练出的模型才可以应用于新的数据，也就是要加强模型的普适性。可以看到，当k=1时，局部加权线性回归和简单的线性回归得到的效果差不多。这也表明一点，必须在未知数据上比较效果才能选取到最佳模型。那么最佳的核大小是10吗？或许是，但如果想得到更好的效果，应该用10个不同的样本集做10次测试来比较结果。
本示例展示了如何使用局部加权线性回归来构建模型，可以得到比普通线性回归更好的效果。局部加权线性回归的问题在于，每次必须在整个数据集上运行。也就是说为了做出预测，必须保存所有的训练数据。
5、缩减系数来“理解”数据
如果数据的特征比样本点还多应该怎么办？是否还可以使用线性回归和之前的方法来做预测？答案是否定的，即不能再使用前面介绍的方法。这是因为在计算 (XTX)−1(X^TX)^{-1}(XTX)−1 的时候会出错。如果特征比样本点还多（n > m），也就是说输入数据的矩阵X不是满秩矩阵，非满秩矩阵在求逆时会出现问题。
为了解决这个问题，统计学家引入了 岭回归（ridge regression） 的概念，这就是我们准备介绍的第一种缩减方法。接着是 lasso法，该方法效果很好但计算复杂。最后介绍了第二种缩减方法，称为 前向逐步回归，可以得到与lasso差不多的效果，且更容易实现。
1）岭回归
简单说来，岭回归就是在矩阵 XTXX^TXXTX上加一个 λIλIλI 从而使得矩阵非奇异，进而能对 XTXX^TXXTX+ λI求逆。其中矩阵I是一个m×m的单位矩阵，对角线上元素全为1，其他元素全为0。而λ是一个用户定义的数值，后面会做介绍。在这种情况下，回归系数的计算公式将变成：
岭回归最先用来处理特征数多于样本数的情况，现在也用于在估计中加入偏差，从而得到更好的估计。这里通过引入λ来限制了所有w之和，通过引入该惩罚项，能够减少不重要的参数，这个技术在统计学中也叫做 缩减（shrinkage）。
岭回归中的岭是什么？
岭回归使用了单位矩阵乘以常量λ，观察其中的单位矩阵 I，可以看到值1贯穿整个对角线，其余元素全是0。形象地，在0构成的平面上有一条1组成的“岭”，这就是岭回归中的“岭”的由来。
缩减方法可以去掉不重要的参数，因此能更好地理解数据。此外，与简单的线性回归相比，缩减法能取得更好的预测效果。
这里通过预测误差最小化得到λ：数据获取之后，首先抽一部分数据用于测试，剩余的作为训练集用于训练参数w。训练完毕后在测试集上测试预测性能。通过选取不同的λ来重复上述测试过程，最终得到一个使预测误差最小的λ。
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 加载数据
def loadDataSet(fileName):"""Parameters:fileName - 文件名Returns:xArr - x数据集yArr - y数据集"""numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1xArr = []; yArr = []fr = open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr =[]curLine = line.strip().split('\t')for i in range(numFeat):lineArr.append(float(curLine[i]))xArr.append(lineArr)yArr.append(float(curLine[-1]))return xArr, yArr# 岭回归
def ridgeRegres(xMat, yMat, lam = 0.2):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集lam - 缩减系数Returns:ws - 回归系数"""xTx = xMat.T * xMatdenom = xTx + np.eye(np.shape(xMat)[1]) * lamif np.linalg.det(denom) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")returnws = denom.I * (xMat.T * yMat)return ws# 岭回归测试
def ridgeTest(xArr, yArr):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集Returns:wMat - 回归系数矩阵"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T#数据标准化yMean = np.mean(yMat, axis = 0) #行与行操作，求均值yMat = yMat - yMean #数据减去均值xMeans = np.mean(xMat, axis = 0) #行与行操作，求均值xVar = np.var(xMat, axis = 0) #行与行操作，求方差xMat = (xMat - xMeans) / xVar #数据减去均值除以方差实现标准化numTestPts = 30 #30个不同的lambda测试wMat = np.zeros((numTestPts, np.shape(xMat)[1])) #初始回归系数矩阵for i in range(numTestPts): #改变lambda计算回归系数ws = ridgeRegres(xMat, yMat, np.exp(i - 10)) #lambda以e的指数变化，最初是一个非常小的数，wMat[i, :] = ws.T #计算回归系数矩阵return wMat# 绘制岭回归系数矩阵
def plotwMat():font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)abX, abY = loadDataSet('abalone.txt')redgeWeights = ridgeTest(abX, abY)fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111)ax.plot(redgeWeights) ax_title_text = ax.set_title(u'log(lambada)与回归系数的关系', FontProperties = font)ax_xlabel_text = ax.set_xlabel(u'log(lambada)', FontProperties = font)ax_ylabel_text = ax.set_ylabel(u'回归系数', FontProperties = font)plt.setp(ax_title_text, size = 20, weight = 'bold', color = 'red')plt.setp(ax_xlabel_text, size = 10, weight = 'bold', color = 'black')plt.setp(ax_ylabel_text, size = 10, weight = 'bold', color = 'black')plt.show()if __name__ == '__main__':plotwMat()
运行之后应该看到一个类似上图的结果图，该图绘出了回归系数与log(λ)的关系。在最左边，即λ最小时，可以得到所有系数的原始值（与线性回归一致）；而在右边，系数全部缩减成0；在中间部分的某值将可以取得最好的预测效果。为了定量地找到最佳参数值，还需要进行交叉验证。另外，要判断哪些变量对结果预测最具有影响力，在图中观察它们对应的系数大小就可以。
2）lasso
不难证明，在增加如下约束时，普通的最小二乘法回归会得到与岭回归的一样的公式：
上式限定了所有回归系数的平方和不能大于λ。使用普通的最小二乘法回归在当两个或更多的特征相关时，可能会得出一个很大的正系数和一个很大的负系数。正是因为上述限制条件的存在，使用岭回归可以避免这个问题。
与岭回归类似，另一个缩减方法lasso也对回归系数做了限定，对应的约束条件如下：
唯一的不同点在于，这个约束条件使用绝对值取代了平方和。虽然约束形式只是稍作变化，结果却大相径庭：在λ足够小的时候，一些系数会因此被迫缩减到0，这个特性可以帮助我们更好地理解数据。这两个约束条件在公式上看起来相差无几，但细微的变化却极大地增加了计算复杂度（为了在这个新的约束条件下解出回归系数，需要使用二次规划算法）。
3）前向逐步回归
前向逐步回归算法可以得到与lasso差不多的效果，但更加简单。它属于一种贪心算法，即每一步都尽可能减少误差。一开始，所有的权重都设为1，然后每一步所做的决策是对某个权重增加或减少一个很小的值。
该算法的伪代码如下所示：
数据标准化，使其分布满足0均值和单位方差
在每轮迭代过程中：设置当前最小误差lowestError为正无穷对每个特征：增大或缩小：改变一个系数得到一个新的W计算新W下的误差如果误差Error小于当前最小误差lowestError：设置Wbest等于当前的W将W设置为新的Wbest
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 加载数据
def loadDataSet(fileName):"""Parameters:fileName - 文件名Returns:xArr - x数据集yArr - y数据集"""numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1xArr = []; yArr = []fr = open(fileName)for line in fr.readlines():lineArr =[]curLine = line.strip().split('\t')for i in range(numFeat):lineArr.append(float(curLine[i]))xArr.append(lineArr)yArr.append(float(curLine[-1]))return xArr, yArr# 数据标准化
def regularize(xMat, yMat):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集Returns:inxMat - 标准化后的x数据集inyMat - 标准化后的y数据集""" inxMat = xMat.copy() #数据拷贝inyMat = yMat.copy()yMean = np.mean(yMat, 0) #行与行操作，求均值inyMat = yMat - yMean #数据减去均值inMeans = np.mean(inxMat, 0) #行与行操作，求均值inVar = np.var(inxMat, 0) #行与行操作，求方差inxMat = (inxMat - inMeans) / inVar #数据减去均值除以方差实现标准化return inxMat, inyMat# 计算平方误差
def rssError(yArr,yHatArr):"""Parameters:yArr - 预测值yHatArr - 真实值Returns:"""return ((yArr-yHatArr)**2).sum()# 前向逐步线性回归
def stageWise(xArr, yArr, eps = 0.01, numIt = 100):"""Parameters:xArr - x输入数据yArr - y预测数据eps - 每次迭代需要调整的步长numIt - 迭代次数Returns:returnMat - numIt次迭代的回归系数矩阵"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T #数据集xMat, yMat = regularize(xMat, yMat) #数据标准化m, n = np.shape(xMat)returnMat = np.zeros((numIt, n)) #初始化numIt次迭代的回归系数矩阵ws = np.zeros((n, 1)) #初始化回归系数矩阵wsTest = ws.copy()wsMax = ws.copy()for i in range(numIt): #迭代numIt次# print(ws.T) #打印当前回归系数矩阵lowestError = float('inf'); #正无穷for j in range(n): #遍历每个特征的回归系数for sign in [-1, 1]:wsTest = ws.copy()wsTest[j] += eps * sign #微调回归系数yTest = xMat * wsTest #计算预测值rssE = rssError(yMat.A, yTest.A) #计算平方误差if rssE < lowestError: #如果误差更小，则更新当前的最佳回归系数lowestError = rssEwsMax = wsTestws = wsMax.copy()returnMat[i,:] = ws.T #记录numIt次迭代的回归系数矩阵return returnMat# 绘制岭回归系数矩阵
def plotstageWiseMat():font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)xArr, yArr = loadDataSet('abalone.txt')returnMat = stageWise(xArr, yArr, 0.005, 1000)fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111)ax.plot(returnMat) ax_title_text = ax.set_title(u'前向逐步回归:迭代次数与回归系数的关系', FontProperties = font)ax_xlabel_text = ax.set_xlabel(u'迭代次数', FontProperties = font)ax_ylabel_text = ax.set_ylabel(u'回归系数', FontProperties = font)plt.setp(ax_title_text, size = 15, weight = 'bold', color = 'red')plt.setp(ax_xlabel_text, size = 10, weight = 'bold', color = 'black')plt.setp(ax_ylabel_text, size = 10, weight = 'bold', color = 'black')plt.show()if __name__ == '__main__':plotstageWiseMat()
逐步线性回归算法的实际好处并不在于能绘出这样漂亮的图，主要的优点在于它可以帮助人们理解现有的模型并做出改进。当构建了一个模型后，可以运行该算法找出重要的特征，这样就有可能及时停止对那些不重要特征的收集。最后，如果用于测试，该算法每100次迭代后就可以构建出一个模型，可以使用类似于10折交叉验证的方法比较这些模型，最终选择使误差最小的模型。
当应用缩减方法（如逐步线性回归或岭回归）时，模型也就增加了偏差（bias），与此同时却减小了模型的方差。下一节将揭示这些概念之间的关系并分析它们对结果的影响。
6、示例：预测乐高玩具套装的价格
你对乐高（LEGO）品牌的玩具了解吗？乐高公司生产拼装类玩具，由很多大小不同的塑料插块组成。这些塑料插块的设计非常出色，不需要任何粘合剂就可以随意拼装起来。除了简单玩具之外，乐高玩具在一些成人中也很流行。一般来说，这些插块都成套出售，它们可以拼装成很多不同的东西，如船、城堡、一些著名建筑，等等。乐高公司每个套装包含的部件数目从10件到5000件不等。一种乐高套装基本上在几年后就会停产，但乐高的收藏者之间仍会在停产后彼此交易。Dangler喜欢为乐高套装估价，下面将用本章的回归技术帮助他建立一个预测模型。
示例：用回归法预测乐高套装的价格
(1) 收集数据：用Google Shopping的API收集数据。
(2) 准备数据：从返回的JSON数据中抽取价格。
(3) 分析数据：可视化并观察数据。
(4) 训练算法：构建不同的模型，采用逐步线性回归和直接的线性回归模型。
(5) 测试算法：使用交叉验证来测试不同的模型，分析哪个效果最好。
(6) 使用算法：这次练习的目标就是生成数据模型。
1）收集数据
from bs4 import BeautifulSoup# 从页面读取数据，生成retX和retY列表
def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc):"""Parameters:retX - 数据XretY - 数据YinFile - HTML文件yr - 年份numPce - 乐高部件数目origPrc - 原价Returns:无"""# 打开并读取HTML文件with open(inFile, encoding='utf-8') as f:html = f.read()soup = BeautifulSoup(html)i = 1# 根据HTML页面结构进行解析currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)while (len(currentRow) != 0):currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)title = currentRow[0].find_all('a')[1].textlwrTitle = title.lower()# 查找是否有全新标签if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):newFlag = 1.0else:newFlag = 0.0# 查找是否已经标志出售，我们只收集已出售的数据soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span')if len(soldUnicde) == 0:print("商品 #%d 没有出售" % i)else:# 解析页面获取当前价格soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4]priceStr = soldPrice.textpriceStr = priceStr.replace('$', '')priceStr = priceStr.replace(',', '')if len(soldPrice) > 1:priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '')sellingPrice = float(priceStr)# 去掉不完整的套装价格if sellingPrice > origPrc * 0.5:print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice))retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])retY.append(sellingPrice)i += 1currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)# 依次读取六种乐高套装的数据，并生成数据矩阵
def setDataCollect(retX, retY):# 2006年的乐高8288,部件数目800,原价49.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego8288.html', 2006, 800, 49.99)# 2002年的乐高10030,部件数目3096,原价269.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99)# 2007年的乐高10179,部件数目5195,原价499.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99)# 2007年的乐高10181,部件数目3428,原价199.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99)# 2008年的乐高10189,部件数目5922,原价299.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99)# 2009年的乐高10196,部件数目3263,原价249.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99)if __name__ == '__main__':lgX = []lgY = []setDataCollect(lgX, lgY)
部分结果如下：
我们对没有的商品做了处理。这些特征分别为：出品年份、部件数目、是否为全新、原价、售价（二手交易）。
2）训练算法：建立模型
上一节从网上收集到了一些真实的数据，下面将为这些数据构建一个模型。构建出的模型可以对售价做出预测，并帮助我们理解现有数据。
import numpy as np
from bs4 import BeautifulSoup# 页面读取数据，生成retX和retY列表
def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc):"""Parameters:retX - 数据XretY - 数据YinFile - HTML文件yr - 年份numPce - 乐高部件数目origPrc - 原价Returns:无"""# 打开并读取HTML文件with open(inFile, encoding='utf-8') as f:html = f.read()soup = BeautifulSoup(html)i = 1# 根据HTML页面结构进行解析currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)while(len(currentRow) != 0):currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)title = currentRow[0].find_all('a')[1].textlwrTitle = title.lower()# 查找是否有全新标签if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):newFlag = 1.0else:newFlag = 0.0# 查找是否已经标志出售，我们只收集已出售的数据soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span')if len(soldUnicde) == 0:print("商品 #%d 没有出售" % i)else:# 解析页面获取当前价格soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4]priceStr = soldPrice.textpriceStr = priceStr.replace('$','')priceStr = priceStr.replace(',','')if len(soldPrice) > 1:priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '')sellingPrice = float(priceStr)# 去掉不完整的套装价格if sellingPrice > origPrc * 0.5:print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice))retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])retY.append(sellingPrice)i += 1currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)# 依次读取六种乐高套装的数据，并生成数据矩阵
def setDataCollect(retX, retY):# 2006年的乐高8288,部件数目800,原价49.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego8288.html', 2006, 800, 49.99)# 2002年的乐高10030,部件数目3096,原价269.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99)# 2007年的乐高10179,部件数目5195,原价499.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99)# 2007年的乐高10181,部件数目3428,原价199.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99)# 2008年的乐高10189,部件数目5922,原价299.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99)# 2009年的乐高10196,部件数目3263,原价249.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99)# 数据标准化
def regularize(xMat, yMat):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集Returns:inxMat - 标准化后的x数据集inyMat - 标准化后的y数据集""" inxMat = xMat.copy() #数据拷贝inyMat = yMat.copy()yMean = np.mean(yMat, 0) #行与行操作，求均值inyMat = yMat - yMean #数据减去均值inMeans = np.mean(inxMat, 0) #行与行操作，求均值inVar = np.var(inxMat, 0) #行与行操作，求方差# print(inxMat)print(inMeans)# print(inVar)inxMat = (inxMat - inMeans) / inVar #数据减去均值除以方差实现标准化return inxMat, inyMat# 计算平方误差
def rssError(yArr,yHatArr):"""Parameters:yArr - 预测值yHatArr - 真实值Returns:"""return ((yArr-yHatArr)**2).sum()# 计算回归系数w
def standRegres(xArr,yArr):"""Parameters:xArr - x数据集yArr - y数据集Returns:ws - 回归系数"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).TxTx = xMat.T * xMat #根据文中推导的公示计算回归系数if np.linalg.det(xTx) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")returnws = xTx.I * (xMat.T*yMat)return ws# 使用简单的线性回归
def useStandRegres():lgX = []lgY = []setDataCollect(lgX, lgY)data_num, features_num = np.shape(lgX)lgX1 = np.mat(np.ones((data_num, features_num + 1)))lgX1[:, 1:5] = np.mat(lgX)ws = standRegres(lgX1, lgY)print('%f%+f*年份%+f*部件数量%+f*是否为全新%+f*原价' % (ws[0],ws[1],ws[2],ws[3],ws[4])) if __name__ == '__main__':useStandRegres()
这个模型的预测效果非常好，但模型本身并不能令人满意。它对于数据拟合得很好，但看上去没有什么道理。从公式看，套装里零部件越多售价反而会越低。另外，该公式对新套装也有一定的惩罚。
下面使用缩减法中一种，即岭回归再进行一次实验，通过交叉验证，找到使误差最小的λ对应的回归系数。
import numpy as np
from bs4 import BeautifulSoup
import random# 从页面读取数据，生成retX和retY列表
def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc):"""Parameters:retX - 数据XretY - 数据YinFile - HTML文件yr - 年份numPce - 乐高部件数目origPrc - 原价Returns:无"""# 打开并读取HTML文件with open(inFile, encoding='utf-8') as f:html = f.read()soup = BeautifulSoup(html)i = 1# 根据HTML页面结构进行解析currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)while(len(currentRow) != 0):currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)title = currentRow[0].find_all('a')[1].textlwrTitle = title.lower()# 查找是否有全新标签if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):newFlag = 1.0else:newFlag = 0.0# 查找是否已经标志出售，我们只收集已出售的数据soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span')if len(soldUnicde) == 0:print("商品 #%d 没有出售" % i)else:# 解析页面获取当前价格soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4]priceStr = soldPrice.textpriceStr = priceStr.replace('$','')priceStr = priceStr.replace(',','')if len(soldPrice) > 1:priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '')sellingPrice = float(priceStr)# 去掉不完整的套装价格if sellingPrice > origPrc * 0.5:print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice))retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])retY.append(sellingPrice)i += 1currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)# 岭回归
def ridgeRegres(xMat, yMat, lam = 0.2):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集lam - 缩减系数Returns:ws - 回归系数"""xTx = xMat.T * xMatdenom = xTx + np.eye(np.shape(xMat)[1]) * lamif np.linalg.det(denom) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")returnws = denom.I * (xMat.T * yMat)return ws# 依次读取六种乐高套装的数据，并生成数据矩阵
def setDataCollect(retX, retY):# 2006年的乐高8288,部件数目800,原价49.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego8288.html', 2006, 800, 49.99)# 2002年的乐高10030,部件数目3096,原价269.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99)# 2007年的乐高10179,部件数目5195,原价499.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99)# 2007年的乐高10181,部件数目3428,原价199.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99)# 2008年的乐高10189,部件数目5922,原价299.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99)# 2009年的乐高10196,部件数目3263,原价249.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99)# 数据标准化
def regularize(xMat, yMat):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集Returns:inxMat - 标准化后的x数据集inyMat - 标准化后的y数据集""" inxMat = xMat.copy() #数据拷贝inyMat = yMat.copy()yMean = np.mean(yMat, 0) #行与行操作，求均值inyMat = yMat - yMean #数据减去均值inMeans = np.mean(inxMat, 0) #行与行操作，求均值inVar = np.var(inxMat, 0) #行与行操作，求方差# print(inxMat)print(inMeans)# print(inVar)inxMat = (inxMat - inMeans) / inVar #数据减去均值除以方差实现标准化return inxMat, inyMat# 计算平方误差
def rssError(yArr,yHatArr):"""Parameters:yArr - 预测值yHatArr - 真实值Returns:"""return ((yArr-yHatArr)**2).sum()# 计算回归系数w
def standRegres(xArr,yArr):"""Parameters:xArr - x数据集yArr - y数据集Returns:ws - 回归系数"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).TxTx = xMat.T * xMat #根据文中推导的公示计算回归系数if np.linalg.det(xTx) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")returnws = xTx.I * (xMat.T*yMat)return ws# 交叉验证岭回归
def crossValidation(xArr, yArr, numVal = 10):"""Parameters:xArr - x数据集yArr - y数据集numVal - 交叉验证次数Returns:wMat - 回归系数矩阵"""m = len(yArr) #统计样本个数 indexList = list(range(m)) #生成索引值列表errorMat = np.zeros((numVal,30)) #create error mat 30columns numVal rowsfor i in range(numVal): #交叉验证numVal次trainX = []; trainY = [] #训练集testX = []; testY = [] #测试集random.shuffle(indexList) #打乱次序for j in range(m): #划分数据集:90%训练集，10%测试集if j < m * 0.9:trainX.append(xArr[indexList[j]])trainY.append(yArr[indexList[j]])else:testX.append(xArr[indexList[j]])testY.append(yArr[indexList[j]])wMat = ridgeTest(trainX, trainY) #获得30个不同lambda下的岭回归系数for k in range(30): #遍历所有的岭回归系数matTestX = np.mat(testX); matTrainX = np.mat(trainX) #测试集meanTrain = np.mean(matTrainX,0) #测试集均值varTrain = np.var(matTrainX,0) #测试集方差matTestX = (matTestX - meanTrain) / varTrain #测试集标准化yEst = matTestX * np.mat(wMat[k,:]).T + np.mean(trainY) #根据ws预测y值errorMat[i, k] = rssError(yEst.T.A, np.array(testY)) #统计误差meanErrors = np.mean(errorMat,0) #计算每次交叉验证的平均误差minMean = float(min(meanErrors)) #找到最小误差bestWeights = wMat[np.nonzero(meanErrors == minMean)] #找到最佳回归系数xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).TmeanX = np.mean(xMat,0); varX = np.var(xMat,0)unReg = bestWeights / varX #数据经过标准化，因此需要还原print('%f%+f*年份%+f*部件数量%+f*是否为全新%+f*原价' % ((-1 * np.sum(np.multiply(meanX,unReg)) + np.mean(yMat)), unReg[0,0], unReg[0,1], unReg[0,2], unReg[0,3])) # 岭回归测试
def ridgeTest(xArr, yArr):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集Returns:wMat - 回归系数矩阵"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T#数据标准化yMean = np.mean(yMat, axis = 0) #行与行操作，求均值yMat = yMat - yMean #数据减去均值xMeans = np.mean(xMat, axis = 0) #行与行操作，求均值xVar = np.var(xMat, axis = 0) #行与行操作，求方差xMat = (xMat - xMeans) / xVar #数据减去均值除以方差实现标准化numTestPts = 30 #30个不同的lambda测试wMat = np.zeros((numTestPts, np.shape(xMat)[1])) #初始回归系数矩阵for i in range(numTestPts): #改变lambda计算回归系数ws = ridgeRegres(xMat, yMat, np.exp(i - 10)) #lambda以e的指数变化，最初是一个非常小的数，wMat[i, :] = ws.T #计算回归系数矩阵return wMatif __name__ == '__main__':lgX = []lgY = []setDataCollect(lgX, lgY)crossValidation(lgX, lgY)
这里随机选取样本，因为其随机性，所以每次运行的结果可能略有不同。不过整体如上图所示，可以看出，它与常规的最小二乘法，即普通的线性回归没有太大差异。我们本期望找到一个更易于理解的模型，显然没有达到预期效果。
现在，我们看一下在缩减过程中回归系数是如何变化的。编写代码如下：
import numpy as np
from bs4 import BeautifulSoup
import random# 从页面读取数据，生成retX和retY列表
def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc):"""Parameters:retX - 数据XretY - 数据YinFile - HTML文件yr - 年份numPce - 乐高部件数目origPrc - 原价Returns:无"""# 打开并读取HTML文件with open(inFile, encoding='utf-8') as f:html = f.read()soup = BeautifulSoup(html)i = 1# 根据HTML页面结构进行解析currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)while(len(currentRow) != 0):currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)title = currentRow[0].find_all('a')[1].textlwrTitle = title.lower()# 查找是否有全新标签if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):newFlag = 1.0else:newFlag = 0.0# 查找是否已经标志出售，我们只收集已出售的数据soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span')if len(soldUnicde) == 0:print("商品 #%d 没有出售" % i)else:# 解析页面获取当前价格soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4]priceStr = soldPrice.textpriceStr = priceStr.replace('$','')priceStr = priceStr.replace(',','')if len(soldPrice) > 1:priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '')sellingPrice = float(priceStr)# 去掉不完整的套装价格if sellingPrice > origPrc * 0.5:print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice))retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])retY.append(sellingPrice)i += 1currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)# 岭回归
def ridgeRegres(xMat, yMat, lam = 0.2):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集lam - 缩减系数Returns:ws - 回归系数"""xTx = xMat.T * xMatdenom = xTx + np.eye(np.shape(xMat)[1]) * lamif np.linalg.det(denom) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")returnws = denom.I * (xMat.T * yMat)return ws# 依次读取六种乐高套装的数据，并生成数据矩阵
def setDataCollect(retX, retY):# 2006年的乐高8288,部件数目800,原价49.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego8288.html', 2006, 800, 49.99)# 2002年的乐高10030,部件数目3096,原价269.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99)# 2007年的乐高10179,部件数目5195,原价499.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99)# 2007年的乐高10181,部件数目3428,原价199.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99)# 2008年的乐高10189,部件数目5922,原价299.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99)# 2009年的乐高10196,部件数目3263,原价249.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99)# 数据标准化
def regularize(xMat, yMat):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集Returns:inxMat - 标准化后的x数据集inyMat - 标准化后的y数据集""" inxMat = xMat.copy() #数据拷贝inyMat = yMat.copy()yMean = np.mean(yMat, 0) #行与行操作，求均值inyMat = yMat - yMean #数据减去均值inMeans = np.mean(inxMat, 0) #行与行操作，求均值inVar = np.var(inxMat, 0) #行与行操作，求方差# print(inxMat)print(inMeans)# print(inVar)inxMat = (inxMat - inMeans) / inVar #数据减去均值除以方差实现标准化return inxMat, inyMat# 计算平方误差
def rssError(yArr,yHatArr):"""Parameters:yArr - 预测值yHatArr - 真实值Returns:"""return ((yArr-yHatArr)**2).sum()# 计算回归系数w
def standRegres(xArr,yArr):"""Parameters:xArr - x数据集yArr - y数据集Returns:ws - 回归系数"""xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).TxTx = xMat.T * xMat #根据文中推导的公示计算回归系数if np.linalg.det(xTx) == 0.0:print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")returnws = xTx.I * (xMat.T*yMat)return ws# 岭回归测试
def ridgeTest(xArr, yArr):"""Parameters:xMat - x数据集yMat - y数据集Returns:wMat - 回归系数矩阵"""xMat = np.mat(xArr);yMat = np.mat(yArr).T# 数据标准化yMean = np.mean(yMat, axis=0) # 行与行操作，求均值yMat = yMat - yMean # 数据减去均值xMeans = np.mean(xMat, axis=0) # 行与行操作，求均值xVar = np.var(xMat, axis=0) # 行与行操作，求方差xMat = (xMat - xMeans) / xVar # 数据减去均值除以方差实现标准化numTestPts = 30 # 30个不同的lambda测试wMat = np.zeros((numTestPts, np.shape(xMat)[1])) # 初始回归系数矩阵for i in range(numTestPts): # 改变lambda计算回归系数ws = ridgeRegres(xMat, yMat, np.exp(i - 10)) # lambda以e的指数变化，最初是一个非常小的数，wMat[i, :] = ws.T # 计算回归系数矩阵return wMatif __name__ == '__main__':lgX = []lgY = []setDataCollect(lgX, lgY)print(ridgeTest(lgX, lgY))
这些系数是经过不同程度的缩减得到的。首先看第1行，第4项比第2项的系数大5倍，比第1项大57倍。这样看来，如果只能选择一个特征来做预测的话，我们应该选择第4个特征，也就是原始价格。如果可以选择2个特征的话，应该选择第4个和第2个特征。
这种分析方法使得我们可以挖掘大量数据的内在规律。在仅有4个特征时，该方法的效果也许并不明显；但如果有100个以上的特征，该方法就会变得十分有效：它可以指出哪个特征是关键的，而哪些特征是不重要的。
7、Sklearn构建岭回归
import numpy as np
from bs4 import BeautifulSoup
import random# 从页面读取数据，生成retX和retY列表
def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc):"""Parameters:retX - 数据XretY - 数据YinFile - HTML文件yr - 年份numPce - 乐高部件数目origPrc - 原价Returns:无"""# 打开并读取HTML文件with open(inFile, encoding='utf-8') as f:html = f.read()soup = BeautifulSoup(html)i = 1# 根据HTML页面结构进行解析currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)while(len(currentRow) != 0):currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)title = currentRow[0].find_all('a')[1].textlwrTitle = title.lower()# 查找是否有全新标签if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):newFlag = 1.0else:newFlag = 0.0# 查找是否已经标志出售，我们只收集已出售的数据soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span')if len(soldUnicde) == 0:print("商品 #%d 没有出售" % i)else:# 解析页面获取当前价格soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4]priceStr = soldPrice.textpriceStr = priceStr.replace('$','')priceStr = priceStr.replace(',','')if len(soldPrice) > 1:priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '')sellingPrice = float(priceStr)# 去掉不完整的套装价格if sellingPrice > origPrc * 0.5:print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice))retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])retY.append(sellingPrice)i += 1currentRow = soup.find_all('table', r = "%d" % i)# 依次读取六种乐高套装的数据，并生成数据矩阵
def setDataCollect(retX, retY):# 2006年的乐高8288,部件数目800,原价49.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego8288.html', 2006, 800, 49.99)# 2002年的乐高10030,部件数目3096,原价269.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99)# 2007年的乐高10179,部件数目5195,原价499.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99)# 2007年的乐高10181,部件数目3428,原价199.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99)# 2008年的乐高10189,部件数目5922,原价299.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99)# 2009年的乐高10196,部件数目3263,原价249.99scrapePage(retX, retY, './setHtml/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99)# 使用sklearn
def usesklearn():from sklearn import linear_modelreg = linear_model.Ridge(alpha = .5)lgX = []lgY = []setDataCollect(lgX, lgY)reg.fit(lgX, lgY)print('%f%+f*年份%+f*部件数量%+f*是否为全新%+f*原价' % (reg.intercept_, reg.coef_[0], reg.coef_[1], reg.coef_[2], reg.coef_[3])) if __name__ == '__main__':usesklearn()
还是那个部件问题，，，
8、sklearn.linear_model.Ridge
sklearn.linear_model.Ridge是一个很好的模型，决策树算法就是通过它实现的，详细的看这个博客——sklearn.linear_model.Ridge()函数解析（最清晰的解释）
9、总结
与分类一样，回归也是预测目标值的过程。回归与分类的不同点在于，前者预测连续型变量,而后者预测离散型变量。回归是统计学中最有力的工具之一。在回归方程里，求得特征对应的最佳回归系数的方法是最小化误差的平方和。给定输入矩阵X，如果 XTXX^TXXTX 的逆存在并可以求得的话，回归法都可以直接使用。数据集上计算出的回归方程并不一定意味着它是最佳的，可以使用预测值yHat和原始值y的相关性来度量回归方程的好坏。
当数据的样本数比特征数还少时候，矩阵 XTXX^TXXTX 的逆不能直接计算。即便当样本数比特征数多时， XTXX^TXXTX 的逆仍有可能无法直接计算，这是因为特征有可能高度相关。这时可以考虑使用岭回归，因为当 XTXX^TXXTX 的逆不能计算时，它仍保证能求得回归参数。
岭回归是缩减法的一种，相当于对回归系数的大小施加了限制。另一种很好的缩减法是lasso。Lasso难以求解，但可以使用计算简便的逐步线性回归方法来求得近似结果。缩减法还可以看做是对一个模型增加偏差的同时减少方差。偏差方差折中是一个重要的概念，可以帮助我们理解现有模型并做出改进，从而得到更好的模型。
本章介绍的方法很有用。但有些时候数据间的关系可能会更加复杂，如预测值与特征之间是非线性关系，这种情况下使用线性的模型就难以拟合。下一章将介绍几种使用树结构来预测数据的方法。
参考文章
- 《机器学习实战》
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