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洛谷P4735 最大异或和

题目描述

给定一个非负整数序列 a{a}a，初始长度为nnn。

有 mmm 个操作，有以下两种操作类型：

A x：添加操作，表示在序列末尾添加一个数 xxx，序列的长度 n+1n+1n+1。
Q l r x：询问操作，你需要找到一个位置 ppp，满足lll≤\le≤ppp≤\le≤rrr，使得：a[p]a[p]a[p]⊕\oplus⊕a[p+1]a[p+1]a[p+1]⊕\oplus⊕………⊕\oplus⊕a[N]a[N]a[N]⊕\oplus⊕xxx最大，输出最大是多少。

数据范围

N,M≤300000N,M\le300000N,M≤300000 , 0≤a[i]≤1070\le a[i]\le 10^70≤a[i]≤107

解题思路

要求：
res=res=res=maxmaxmax(a[p]⊕(a[p]\oplus(a[p]⊕a[p+1]⊕a[p+1]\oplusa[p+1]⊕.........⊕a[N]\oplus a[N]⊕a[N]⊕x)\oplus x)⊕x)(l≤p≤r)(l\le p\le r)(l≤p≤r)
所以我们令数组sss：
s[i]=a[1]⊕a[2]⊕...⊕a[i]s[i]=a[1]\oplus a[2] \oplus ... \oplus a[i]s[i]=a[1]⊕a[2]⊕...⊕a[i]
根据异或的运算，我们可知(i<j)(i<j)(i<j)
s[i]⊕s[j]=a[i+1]⊕a[i+2]⊕...⊕a[j]s[i]\oplus s[j]=a[i+1]\oplus a[i+2]\oplus...\oplus a[j]s[i]⊕s[j]=a[i+1]⊕a[i+2]⊕...⊕a[j]
所以我们可以等价替换为：
res=res=res=maxmaxmax(a[p−1]⊕a[N](a[p-1]\oplus a[N](a[p−1]⊕a[N]⊕x)\oplus x)⊕x)(l≤p≤r)(l\le p\le r)(l≤p≤r)
所以我们只需保存每个点的异或前缀和
然后在使用数据结构来储存的时候，只需要在区间l−1≤p≤r−1l-1\le p\le r-1l−1≤p≤r−1内即可

这就是我们用到的可持久化字典树

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 600010, M = N * 25; //30w数据和30w新增，2e7小于2^24，算上根节点，每个数需要25位int n, m, x;
int s[N];                   //记录异或前缀和
int tr[M][2], max_id[M];    //max_id 当前点对应要存的数的在前缀和数组s的位置
int root[N], idx;           //根节点//使用递归处理
//i为下标，k为当前处理的位数，p为上一个节点，q为当前节点
void insert(int i, int k, int p, int q)
{if (k < 0)              //处理完最后一位，q为叶节点{max_id[q] = i;      //记录当前节点所能达到的最大范围return;}int v = s[i] >> k & 1;  //取出第k位的v//如果前一个节点存在当前节点没有的分支，那就把当前节点指向前一个节点if (p) tr[q][v ^ 1] = tr[p][v ^ 1];//tire树的插入tr[q][v] = ++idx;//递归插入下一位的二进制，insert(i, k - 1, tr[p][v], tr[q][v]);//递归结束后进行，把最大的max_id传回来，所以先递归子节点，再修改父节点max_id[q] = max(max_id[tr[q][0]], max_id[tr[q][1]]);
}int query(int l, int r, int C)             //C为插入的值
{int p = root[r];for (int i = 23; ~i; i--){//C = s[n] ^ x，从高到低逐位检索每一位上能与C异或最大的数int v = C >> i & 1;//max_id限制当前节点在[l, r]内//如果没有初始化max_id[0] = -1,当l = 0的时候就会跳到空节点if (max_id[tr[p][v ^ 1]] >= l) p = tr[p][v ^ 1];else p = tr[p][v];}return C ^ s[max_id[p]];
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);//初始化max_id[0] = -1;root[0] = ++idx;insert(0, 23, 0, root[0]);for (int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d", &x);s[i] = s[i - 1] ^ x;  //异或前缀和root[i] = ++idx;insert(i, 23, root[i - 1], root[i]);}char op[2];int l, r;while(m--){scanf("%s", op);if (*op == 'A')     //插入{scanf("%d", &x);n++; s[n] = s[n - 1] ^ x;root[n] = ++idx;insert(n, 23, root[n - 1], root[n]);} else{scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);printf("%d\n", query(l - 1, r - 1, s[n] ^ x));}}return 0;
}

插入函数也可以使用非递归的写法

void insert(int k, int p, int q)
{max_id[q] = k;for(int i = 23; ~i; i --){int v = s[k] >> i & 1;if(p) tr[q][v ^ 1] = tr[p][v ^ 1];tr[q][v] = ++idx;max_id[tr[q][v]] = k;q = tr[q][v], p = tr[p][v];}
}

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