二分图最大匹配的算法
令G = (X,*,Y)是一个二分图,其中,X = {x1,x2,...xm}, Y = {y1,y2,...yn}。令M为G中的任一个匹配。
1)讲X的所有不与M的边关联的顶点标上(@),并称所有的顶点为未被扫描的。转到 2)。
2)如果在上一步没有新的标记加到X的顶点上,则停止。否则转到 3)。
3)当存在X被标记但未被扫描的顶点时,选择一个被标记但未被扫描的X的顶点,比如,xi,用(xi)标记Y的所有顶点,这些顶点被不属于M且尚未标记的边连到xi .现在,顶点xi是被扫描的。如果不存在被标记但未被扫描的顶点,则转到 4)。
4)如果在步骤 3)没有新的标记被标到Y的顶点上,则停止。否则,转到 5)。
5)当存在Y被标记但未被扫描的顶点时,选择Y的一个被标记但未被扫描的顶点,比如yi,用(yi)标记X的顶点,这些顶点被属于M且尚未标记的边连到yi.现在,顶点yi是被扫描的。如果不存在被标记但未被扫描的顶点,则转到 2)。
也可以叙述为:
[ZZ]匈牙利算法
关键在于匈牙利算法的递归过程中有很多重复计算的节点,而且这种重复无法避免,他不能
向动态规划一样找到一个“序”将递归改为递推。
算法中的几个术语说明:
1。二部图:
如果图G=(V,E)的顶点集何V可分为两个集合X,Y,且满足 X∪Y = V, X∩Y=Φ,则G称为二
部图;
图G的边集用E(G)表示,点集用V(G)表示。
2。匹配:
设M是E(G)的一个子集,如果M中任意两条边在G中均不邻接,则称M是G的一个匹配。M中的
—条边的两个端点叫做在M是配对的。
3。饱和与非饱和:
若匹配M的某条边与顶点v关联,则称M饱和顶点v,并且称v是M-饱和的,否则称v是M-不
饱和的。
4。交互道:
若M是二分图G=(V,E)的一个匹配。设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路,
这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的,则称这条道路为交互道。
5。可增广道路:
若一交互道的两端点为关于M非饱和顶点时,则称这条交互道是可增广道路。显然,一条
边的两端点非饱和,则这条边也是可增广道路。
6。最大匹配:
如果M是一匹配,而不存在其它匹配M',使得|M'|>|M|,则称M是最大匹配。其中|M|表示
匹配M的边数。
7。对称差:
A,B是两个集合,定义
A⊕B = (A∪B)/(A∩B)
则A⊕B称为A和B的对称差。
定理:M为G的最大匹配的充要条件是G中不存在可增广道路。
Hall定理:对于二部图G,存在一个匹配M,使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是:对于
X的任意一个子集A,和A邻接的点集为T(A),恒有: |T(A)| >= |A|
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,其基本步骤为:
1。任给初始匹配M;
2。若X已饱和则结束,否则进行第3步;
3。在X中找到一个非饱和顶点x0,作
V1 ← {x0}, V2 ← Φ
4。若T(V1) = V2则因为无法匹配而停止,否则任选一点y ∈T(V1)/V2;
5。若y已饱和则转6,否则做一条从x0 →y的可增广道路P,M←M⊕E(P),转2;
6。由于y已饱和,所以M中有一条边(y,z),作 V1 ← V1 ∪{z}, V2 ← V2 ∪ {y}, 转4;
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