二分图最大匹配-匈牙利算法

今天介绍 匈牙利算法： 匈牙利算法，是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。

先介绍一下增广路径：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。文字难以理解，看图：

首先假设图G中已经两两匹配了4个点即 M 中又（1，A）（4，C）两条边；

然后路径p是一条连接未匹配点2和D的一条路径其中属于M的边和不属于M的边交错：（2-A-1-C-4-D）,这样就称p为M的一条增广路径；

增广路径的性质：

1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2－不断寻找增广路可以得到一个更大的匹配M’，直到找不到更多的增广路。

3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

4－最大匹配数M+最大独立数N=总的结点数。

我们将P中不属于M的路径加入M，将原来属于M的路径去除。M的匹配数增加到了 3，如果我们一只找M的增广路径然后取反，直到M没有增广路，这时我们就找到了M的最大匹配数，这也时匈牙利算法的核心所在；

匈牙利算法：首先向M中增加一条路径，然后一只寻找M的增广路径直到M中不存在增广路径为止，这时我们就完成了最大匹配的寻找。

用一个问题来展现匈牙利算法：

假设有一群人生了不同的病（一个人只能生一种病），这里有多种可以治病的药丸，并且一种药丸只能治一种病且仅有一个，问最多能救治多少人；

输入：在第一行中给出 n ，m, k 其中 n是人数，m 是药的种类数，k是人和药共有多少种匹配，然后跟着 k 行，每行一个整数：人的标号，一个字符：药的种类。

输出：在一行中输出最多可以救治多少人。

代码：

//二分图最大匹配-匈牙利算法
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 100       //定义最大人数
#define TYPE 6        //定义药的种类数
int map[MAXN][MAXN]; //用来储存人和药的关系
int vis[MAXN];      //用来标记药的被使用人
int used[MAXN];    //用在递归的时候标记修改的药的种类
char array[6] = {'a','b','c','d','e','f'};
int GetPos(char x){ //获取药的索引 int i, position;for (i=0;i<TYPE;i++){if (array[i] == x)return i; // 找到的话就返回索引 }return -1; // 找不到就返回-1
}
void init(){ // 初始化函数 memset(map,-1,sizeof(map));memset(vis,-1,sizeof(vis));memset(used,-1,sizeof(used));
}
int MaxMatch(int n){ // n是人的代号 int i;for (i=0;i<TYPE;i++){if ( used[i]==-1 && map[n][i]==1) //寻找增广路 {used[i] = 1;   if (vis[i] == -1||MaxMatch(vis[i])==1){vis[i] = n;return 1;}}}return -1;
}
int main (){int n, m, i, k, cnt = 0, b, index;//n是患病的人数，m是药的种类数，i是循环变量，k是人和药对应关系的数量，cnt记录最大匹配数，b是某人的代号,index记录药的位置 char a; //a是药的品种 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);init();for (i=0;i<k;i++){scanf("%d %c",&b,&a);index = GetPos(a);map[b][index] = 1;}for (i=1;i<=n;i++){memset(used,-1,sizeof(used));//每次都要初始化一遍 每次寻找增广路都与之前无关 if (MaxMatch(i)==1)cnt++;}printf("%d\n",cnt);
}

二分图最大匹配-匈牙利算法相关推荐

二分图最大匹配—匈牙利算法
二分图:又叫二部图,图G中顶点集V可以分成互不相交的子集(X,Y),并且图中的每一条边所关联的点分别属于两个不同的顶点集,则图G叫二分图.(不含奇环) 二分图的匹配:给定一个二分图G的子图M,M的边集 ...
二分图最大匹配 - 匈牙利算法
问题描述: X集合(编号1~m),Y集合(编号m+1~n).n,m<100. 给出若干组合(x, y)(相当于映射x->y),问最都能同时有几个组合(分配). 分析: 题目可能简化描述得不 ...
二分图最大匹配——匈牙利算法
二分图最大匹配 (一).二分图的介绍 1.定义 2.充要条件 (二).二分图的匹配 1.二分图的最大匹配 2.增广路径 3.匈牙利算法 (1).复杂度 (2).算法思路 (3).代码实现 (一).二分 ...
二分图最大匹配(匈牙利算法Dinic算法)
二分图最大匹配: 给出一个二分图,左边有若干个节点,右边有若干个节点,左边的节点想到匹配右边的节点,每个左边的节点每个都有若干个可以选择的对象,每个左边节点只能选择一个右边节点,每个右边节点也只能被选 ...
二分图最大匹配(匈牙利算法) POJ 3020 Antenna Placement
题目传送门 1 /* 2 题意:*的点占据后能顺带占据四个方向的一个*,问最少要占据多少个 3 匈牙利算法:按坐标奇偶性把*分为两个集合,那么除了匹配的其中一方是顺带占据外,其他都要占据 4 */ 5 ...
NYOJ 题目239 月老的难题（二分图最大匹配-匈牙利算法模板）
月老的难题时间限制:1000 ms | 内存限制:65535 KB 难度:4 描述月老准备给n个女孩与n个男孩牵红线,成就一对对美好的姻缘. 现在,由于一些原因,部分男孩与女孩可能结成幸福的一 ...
NYOJ - 239 - 月老的难题 ( 二分图最大匹配匈牙利算法 )
描述月老准备给n个女孩与n个男孩牵红线,成就一对对美好的姻缘. 现在,由于一些原因,部分男孩与女孩可能结成幸福的一家,部分可能不会结成幸福的家庭. 现在已知哪些男孩与哪些女孩如果结婚的话,可以结成幸 ...
二分图最大匹配 -- 匈牙利算法
Algorithm.( Augmenting Path Algorithm ) Input: An X-Y bigraph G, a matching M in G, and the ...
[HDOJ2819]Swap（二分图最大匹配, 匈牙利算法）
题目链接:http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2819 题意:给一张n*n的01矩阵,可以任意交换其中的行或者列,问是否可以交换出来一个对角 ...

二分图最大匹配-匈牙利算法

二分图最大匹配-匈牙利算法相关推荐

最新文章

热门文章