【LB】稀疏矩阵的快速转置原理及其算法

关于稀疏矩阵的快速转置法，首先得明白其是通过对三元表进行转置。如果误以为是对矩阵进行转置，毫无疑问就算你想破脑袋也想不出个所以然，别陷入死胡同了！

对于一个三元表，行为i，列为j，值为v。需将其i与j的值对调才能得到新的三元表，但是如果直接进行转换，得到的新的三元表的顺序是混乱的，不符合三元表的规则。所以，课本首先介绍了一个用扫描来转置的算法（这个算法比较容易，在这里我就不说了），但是这个转置算法的时间复杂度太高，于是就有了接下来的快速转置算法。

要你对一个三元表进行步骤最少的转置，你可能会想，如果知道三元表中每一项在转置后的新的三元表中的位置，然后直接放进去，岂不是极大的缩小了时间复杂度？没错！快速转置法正是基于这种思想而设计的。

那么如何知道三元表中某一项的位置呢？在课本98页的a.data这个三元表可以看到，j为列号，在转置后即为新的三元表的行号，三元表正是按照行序进行排列的，而j=1有2个、j=2有2个、j=3有2个、j=4有1个、j=6有1个。根据这些数据按照从小到大排列，j=1的项在新的三元表中应占据第1、2位，j=2的项在新的三元表中应占据第3、4位，j=3的项在新的三元表中应占据第5、6位，j=4应占据第7位，j=6应占据第8位。

接下来就轻松多了，转置的时候直接从第一项读起，读取其j值，比如课本中a.data这个三元表的第一项的j值为2,因为j=2占据第3、4位，所以应该从第三位开始放，接下来如果读取的某一项的j值也是2,就放在第4位。因为j=2的项只有两个，所以第5位绝对不会被j=2的项占据，第5、6项本来就是留给j=3的。再比如当读到j=6的那项时，第8位是留给它的，就可以直接放进第8位了。这样，读取每一项，都能在三元表中找到相应的位置，这就是稀疏矩阵快速转置的原理。

当然，上面只是快速转置的原理，要实现它，就要设计算法来实现了。首先，我们需要两个变量。第一个num[col]用于记录原三元表中列数为col的项的数目，例如col=3时，num[col]=2；第二个cpot[col]用于记录原三元表中列数为col的项在新三元表中的首位置,例如col=3时，cpot[col]=5。你可以打开书本第99页，我想你现在应该是能看懂表5.1了吧。

接下来说一说快速转置算法的具体事项，在课本的100页代码如下：

逐句解释：

① 此函数名为FastTransposeSMatrix，形参有原三元表TSMatrix M，作用是传入三元表；三元表TSMatrix &T，采用引用以返回一个三元表。

② 三元表T可能没有初始化，这句的意思是将矩阵M的行数，列数，以及非零元个数传给矩阵T，使其初始化。

③ T.tu为真时，即矩阵M中至少存在一个非零元。

④ 初始化数组num

⑤ 书中的注释是求M中每一列含非零元的个数。具体来说，当原三元表M中某两项或多项的j值相同时，M.data[t].j的值是相等的，因此这个循环完成后，比如说num[3]的值就是原三元表M列数为3的个数。

⑥ 书中的注释标错位置了，应该是第一个for循环的后面。Cpot[1]=1的用处是第一列的在新三元表T的第一个插入位置为1。Cpot[0]是留给储存三元表行列数和非零元个数的。

⑦ 这句话是用来求除第一列外其它每一列的第一个非零元在新三元表T中的位置。第col列第一个非零元的位置为第col-1列第一个非零元的位置加上第col-1列非零元的个数，这是个非常简单的数学问题，没必要多说了。

⑧ M.tu的值是原三元表M的非零元个数，这个循环是用来遍历原三元表M的每一项。

⑨ Col=M.data[p].j的作用是得到循环当前项p的列数值j，赋给col，cpot[col]的值即为第col列的第一个插入位置，如果你问为什么，请看第七句。q=cpot[col]作用是用q来记录当前第col列的插入位置（当然你也可以不用这个赋值，只需把接下来出现的q都改为cpot[col]就行）。

⑩ 将原三元表M的当前第p项的i，j值进行交换后给新三元表T的第q项，这样第p项就转置后正确的插入到新三元表的正确位置。

⑪ 将当前原三元表的第 p 项的非零元的值给新三元表的第 p 项。后一句 ++cpot[col] 这个自增语句是使列数位 col 的项在新三元表的插入位置移动一位，下次再碰到列数位 col 的列时，插入位置即为此次插入位置的下一个。

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