多维随机变量及其分布(知识点部分01)

1.分布函数

设 ( X , Y ) 是二维随机变量，对于任意实数 x , y , 二元函数 : 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数: 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数:
F ( x , y ) = P { X ⩽ x ) ⋂ ( Y ⩽ y ) } = 记成 P { X ⩽ Y ⩽ y } F(x,y)=P\{X \leqslant x)\bigcap(Y \leqslant y)\}\xlongequal{记成}P\{X \leqslant Y \leqslant y\} F(x,y)=P{X⩽x)⋂(Y⩽y)}记成 P{X⩽Y⩽y}
称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数 . 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数. 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数.

2.离散型随机变量

如果二维随机变量 ( X , Y ) 全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称 ( X , Y ) 是离散型的随机变量，称 P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , … 为二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布律 . 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量，称P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,\dots为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律. 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量，称P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,…为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律.

3.连续型随机变量

对于二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数 F ( x , y ) , 如果存在非负可积函数 f ( x , y ) 使对于任意 x , y 有对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y)使对于任意x,y有对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y)使对于任意x,y有
F ( x , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v , F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)dudv, F(x,y)=∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudv,
则称 ( X , Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f ( x , y ) 称为二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度，或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度 . 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度. 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度.

4.概率密度f(x,y)的性质

∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) . \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y}=f(x,y). ∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y).

5.边缘分布

X 和 Y 的分布函数 F x ( x ) , F y ( y ) 称为二维随机变量 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数 . X 的分布律为 X和Y的分布函数F_x(x),F_y(y)称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.X的分布律为 X和Y的分布函数Fx(x),Fy(y)称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.X的分布律为 p i . = ∑ j = 1 ∞ = P { X = x i } , i = 1 , 2 , … , p_{i.}=\sum_{j=1}^{\infty}=P\{X=x_i\},i=1,2,\dots, pi.=j=1∑∞=P{X=xi},i=1,2,…,
Y 的分布律为 Y的分布律为 Y的分布律为
p . j = ∑ i = 1 ∞ = P { Y = y j } , j = 1 , 2 , … , p_{.j}=\sum_{i=1}^{\infty}=P\{Y=y_j\},j=1,2,\dots, p.j=i=1∑∞=P{Y=yj},j=1,2,…,
分别称 P i . ( i = 1 , 2 , … ) 和 P . j ( j = 1 , 2 , … ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 . 分别称P_{i.}(i=1,2,\dots)和P_{.j}(j=1,2,\dots)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律. 分别称Pi.(i=1,2,…)和P.j(j=1,2,…)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.

6.边缘概率密度

X 的概率密度为 X的概率密度为 X的概率密度为
f x ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y . f_x{(x)}=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy. fx(x)=∫−∞∞f(x,y)dy.
Y 的概率密度为 Y的概率密度为 Y的概率密度为
f Y ( y ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x . f_Y{(y)}=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx. fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx.
分别称 f x ( x ) , f Y ( y ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度 . 分别称f_x{(x)},f_Y{(y)}为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度. 分别称fx(x),fY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度.

7.二维正态分布

设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为设二维随机变量(X,Y)的概率密度为设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 exp ⁡ { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] } f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} \exp \left\{\frac{-1}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{\sigma_{1}^{2}}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_{1}\right)\left(y-\mu_{2}\right)}{\sigma_{1} \sigma_{2}}+\frac{\left(y-\mu_{2}\right)^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]\right\} f(x,y)=2πσ1σ21−ρ2 1exp{2(1−ρ2)−1[σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2]}
其中 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ 都是常数，且 σ 1 > 0 , σ 2 > 0 , − 1 < ρ < 1. 我们称 ( X , Y ) 为服从参数为 μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ 的二维正态分布，记为 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 , σ 2 , ρ ) . 其中\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho都是常数，且\sigma_1>0,\sigma_2>0,-1<\rho<1.我们称(X,Y)为服从参数为\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho的二维正态分布，记为(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho). 其中μ1,μ2,σ1,σ2,ρ都是常数，且σ1>0,σ2>0,−1<ρ<1.我们称(X,Y)为服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布，记为(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ).

8.二维正态随机变量的边缘概率密度

f x ( x ) = 1 2 π σ 1 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 , − ∞ < x < ∞ f_x(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}},-\infty<x<\infty fx(x)=2π σ11e−2σ12(x−μ1)2,−∞<x<∞
f Y ( y ) = 1 2 π σ 2 e − ( y − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 , − ∞ < y < ∞ f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_2} \mathrm{e}^{-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}},-\infty<y<\infty fY(y)=2π σ21e−2σ22(y−μ2)2,−∞<y<∞