向量的导数运算和向量叉乘以及点乘的导数运算

目的：最近在写优化代码，需要对函数中的变量求导，以及求得它们的雅克比矩阵。因此用到向量以及矩阵的求导。

一个向量可以表示为如下：Y=[y1,y2,...,ym]TY=[y_1,y_2,...,y_m]^TY=[y1,y2,...,ym]T
向量导数的基本知识。它分为以下几类：
1)向量Y=[y1,y2,...,ym]TY=[y_1,y_2,...,y_m]^TY=[y1,y2,...,ym]T对xxx标量求导:
∂Y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x⋮∂ym∂x]\cfrac{\partial{Y}}{\partial{x}}=\begin{bmatrix} \cfrac{\partial{y_1}}{\partial{x}} \\ \cfrac{\partial{y_2}}{\partial{x}} \\ \vdots \\ \cfrac{\partial{y_m}}{\partial{x}} \end{bmatrix} ∂x∂Y=⎣⎡∂x∂y1∂x∂y2⋮∂x∂ym⎦⎤
如果Y=[y1,y2,...,ym]Y=[y_1,y_2,...,y_m]Y=[y1,y2,...,ym]是行向量，则求导
∂Y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x…∂ym∂x]\cfrac{\partial{Y}}{\partial{x}}=\begin{bmatrix} \cfrac{\partial{y_1}}{\partial{x}} \space \cfrac{\partial{y_2}}{\partial{x}} \ldots \cfrac{\partial{y_m}}{\partial{x}} \end{bmatrix} ∂x∂Y=[∂x∂y1 ∂x∂y2…∂x∂ym]

2)标量yyy对向量X=[x1,x2,...,xm]TX=[x_1,x_2,...,x_m]^TX=[x1,x2,...,xm]T求导
∂y∂X=[∂y∂x1∂y∂x2⋮∂y∂xm]\cfrac{\partial{y}}{\partial{X}}=\begin{bmatrix} \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_1}} \\ \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_2}} \\ \vdots \\ \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_m}} \end{bmatrix} ∂X∂y=⎣⎡∂x1∂y∂x2∂y⋮∂xm∂y⎦⎤
如果X=[x1,x2,...,xm]X=[x_1,x_2,...,x_m]X=[x1,x2,...,xm]为行向量：
∂y∂X=[∂y∂x1∂y∂x2…∂y∂xm]\cfrac{\partial{y}}{\partial{X}}=\begin{bmatrix} \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_1}} \space \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_2}} \ldots \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_m}} \end{bmatrix} ∂X∂y=[∂x1∂y ∂x2∂y…∂xm∂y]

3)向量Y=[y1,y2,...,ym]TY=[y_1,y_2,...,y_m]^TY=[y1,y2,...,ym]T对向量X=[x1,x2,...,xn]X=[x_1,x_2,...,x_n]X=[x1,x2,...,xn]求导
∂Y∂X=[∂y1∂x1∂y1∂x2…∂y1∂xn∂y2∂x1∂y2∂x2…∂y2∂xn⋮∂ym∂x1∂ym∂x2…∂ym∂xn]\cfrac{\partial{Y}}{\partial{X}}=\begin{bmatrix} \cfrac{\partial{y_1}}{\partial{x_1}} \space \space \cfrac{\partial{y_1}}{\partial{x_2}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y_1}}{\partial{x_n}} \\ \cfrac{\partial{y_2}}{\partial{x_1}} \space \space \cfrac{\partial{y_2}}{\partial{x_2}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y_2}}{\partial{x_n}} \\ \vdots \\ \cfrac{\partial{y_m}}{\partial{x_1}} \space \space \cfrac{\partial{y_m}}{\partial{x_2}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y_m}}{\partial{x_n}} \end{bmatrix} ∂X∂Y=⎣⎡∂x1∂y1 ∂x2∂y1 … ∂xn∂y1∂x1∂y2 ∂x2∂y2 … ∂xn∂y2⋮∂x1∂ym ∂x2∂ym … ∂xn∂ym⎦⎤
向量对向量求导也是所谓的雅克比矩阵，它在优化中非常见。

如果是矩阵的话，
如YYY是矩阵的时候，它的表达：
Y=[y11y12…y1ny21y22…y2n⋮ym1ym2…ymn]Y=\begin{bmatrix} y_{11} \space \space y_{12} \space \space \ldots \space \space y_{1n} \\ y_{21} \space \space y_{22} \space \space \ldots \space \space y_{2n} \\ \vdots \\ y_{m1} \space \space y_{m2} \space \space \ldots \space \space y_{mn} \end{bmatrix} Y=⎣⎡y11 y12 … y1ny21 y22 … y2n⋮ym1 ym2 … ymn⎦⎤
如XXX是矩阵的时候，它的表达：
X=[x11x12…x1nx21x22…x2n⋮xm1xm2…xmn]X=\begin{bmatrix} x_{11} \space \space x_{12} \space \space \ldots \space \space x_{1n} \\ x_{21} \space \space x_{22} \space \space \ldots \space \space x_{2n} \\ \vdots \\ x_{m1} \space \space x_{m2} \space \space \ldots \space \space x_{mn} \end{bmatrix} X=⎣⎡x11 x12 … x1nx21 x22 … x2n⋮xm1 xm2 … xmn⎦⎤

矩阵的导数有两种，如下
1)矩阵YYY对标量xxx求导:
∂Y∂x=[∂y11∂x∂y12∂x…∂y1n∂x∂y21∂x∂y22∂x…∂y2n∂x⋮∂ym1∂x∂ym2∂x…∂ymn∂x]\cfrac{\partial{Y}}{\partial{x}}=\begin{bmatrix} \cfrac{\partial{y_{11}}}{\partial{x}} \space \space \cfrac{\partial{y_{12}}}{\partial{x}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y_{1n}}}{\partial{x}} \\ \cfrac{\partial{y_{21}}}{\partial{x}} \space \space \cfrac{\partial{y_{22}}}{\partial{x}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y_{2n}}}{\partial{x}} \\ \vdots \\ \cfrac{\partial{y_{m1}}}{\partial{x}} \space \space \cfrac{\partial{y_{m2}}}{\partial{x}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y_{mn}}}{\partial{x}} \end{bmatrix} ∂x∂Y=⎣⎡∂x∂y11 ∂x∂y12 … ∂x∂y1n∂x∂y21 ∂x∂y22 … ∂x∂y2n⋮∂x∂ym1 ∂x∂ym2 … ∂x∂ymn⎦⎤
2)标量yyy对矩阵XXX求导:
∂y∂X=[∂y∂x11∂y∂x12…∂y∂x1n∂y∂x21∂y∂x22…∂y∂x2n⋮∂y∂xm1∂y∂xm2…∂y∂xmn]\cfrac{\partial{y}}{\partial{X}}=\begin{bmatrix} \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{11}}} \space \space \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{12}}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{1n}}} \\ \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{21}}} \space \space \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{22}}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{2n}}} \\ \vdots \\ \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{m1}}} \space \space \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{m2}}} \space \space \ldots \space \space \cfrac{\partial{y}}{\partial{x_{mn}}} \end{bmatrix} ∂X∂y=⎣⎡∂x11∂y ∂x12∂y … ∂x1n∂y∂x21∂y ∂x22∂y … ∂x2n∂y⋮∂xm1∂y ∂xm2∂y … ∂xmn∂y⎦⎤
这是基本的向量的导数定义。基于这些定义以及一些基本的运算法则，得到一些组合的公式。在几何算法的编程中非常有用。

公式中的向量求导，在一般公式中会多个向量以及向量依赖，因此，在求导数的时候希望它能满足标量求导的链式法则。
假设向量相互依赖的关系为：U−>V−>WU->V->WU−>V−>W
则偏导数为：
∂W∂U=∂W∂V∂V∂U\cfrac{\partial{W}}{\partial{U}}=\cfrac{\partial{W}}{\partial{V}} \space \space \cfrac{\partial{V}}{\partial{U}} ∂U∂W=∂V∂W ∂U∂V

证明：只需要拆开逐一对元素求导得到：
∂wi∂uj=∑k∂wi∂vk∂vk∂uj=∂wi∂V∂V∂uj\cfrac{\partial{w_i}}{\partial{u_j}} = \sum_{k}\cfrac{\partial{w_i}}{\partial{v_k}}\space \cfrac{\partial{v_k}}{\partial{u_j}} =\cfrac{\partial{w_i}}{\partial{V}} \space \cfrac{\partial{V}}{\partial{u_j}} ∂uj∂wi=k∑∂vk∂wi ∂uj∂vk=∂V∂wi ∂uj∂V
由此可见∂wi∂uj\cfrac{\partial{w_i}}{\partial{u_j}}∂uj∂wi是等于矩阵∂W∂V\cfrac{\partial{W}}{\partial{V}}∂V∂W第iii行和矩阵∂V∂U\cfrac{\partial{V}}{\partial{U}}∂U∂V的第jjj列的内积，这是矩阵的乘法定义。
它很容易能推广到多层中间变量的情景。

在变量中遇到的情况是常常公式为FFF为一个实数，中间变量都是向量的时候，它的依赖为：
X−>V−>U−>fX->V->U->fX−>V−>U−>f
根据雅克比矩阵的传递性可以得到如下：
∂F∂X=∂F∂U∂U∂V∂V∂X\cfrac{\partial{F}}{\partial{X}} = \cfrac{\partial{F}}{\partial{U}}\space \cfrac{\partial{U}}{\partial{V}} \space \cfrac{\partial{V}}{\partial{X}} ∂X∂F=∂U∂F ∂V∂U ∂X∂V
因为fff为标量，因此它写成如下形式：
∂f∂XT=∂f∂UT∂U∂V∂V∂X\cfrac{\partial{f}}{\partial{X^T}} = \cfrac{\partial{f}}{\partial{U^T}}\space \cfrac{\partial{U}}{\partial{V}} \space \cfrac{\partial{V}}{\partial{X}} ∂XT∂f=∂UT∂f ∂V∂U ∂X∂V
为了便于计算，上述需要转为行向量UTU^TUT,XTX^TXT计算。这个非常重要。

下面介绍向量求倒数的时候遇到的常用的运算公式，它们有以下两类

1）两向量UUU,VVV（列向量）点积的结果对WWW求导:
∂(UTV)∂W=(∂U∂W)TV+(∂V∂W)TU(4)\cfrac{\partial{(U^T V)}}{\partial{W}} = ( \cfrac{\partial{U}}{\partial{W}})^T V + ( \cfrac{\partial{V}}{\partial{W}})^T U \space (4) ∂W∂(UTV)=(∂W∂U)TV+(∂W∂V)TU (4)
点积的导数公式证明后续补上。
证明：假设U=[u0u1u3]U=\begin{bmatrix} u_0 \\ u_1 \\ u_3 \end{bmatrix}U=⎣⎡u0u1u3⎦⎤ 和V=[v0v1v3]V=\begin{bmatrix} v_0 \\ v_1 \\ v_3 \end{bmatrix}V=⎣⎡v0v1v3⎦⎤ ，它们为三维向量。得到点乘为f=UTVf=U^T Vf=UTV，它是一个标量为：f=u0v0+u1v1+u2v2f=u_0v_0+u_1v_1+u_2v_2f=u0v0+u1v1+u2v2，然后求它对WWW的导数

∂f∂W=∂(u0v0+u1v1+u2v2)∂W=∂u0∂Wv0+∂v0∂Wu0+∂u1∂Wv1+∂v1∂Wu1+∂u2∂Wv2+∂v2∂Wu2=(∂u0∂Wv0+∂u1∂Wv1+∂u2∂Wv2)+(∂v0∂Wu0+∂v1∂Wu1+∂v2∂Wu2)=(∂U∂W)TV+(∂V∂W)TU\cfrac{\partial{f}}{\partial{W}}=\cfrac{\partial{(u_0v_0+u_1v_1+u_2v_2)}}{\partial{W}} \\ =\cfrac{\partial{u_0}}{\partial{W}}v_0 + \cfrac{\partial{v_0}}{\partial{W}}u_0 + \cfrac{\partial{u_1}}{\partial{W}}v_1 + \cfrac{\partial{v_1}}{\partial{W}}u_1 + \cfrac{\partial{u_2}}{\partial{W}}v_2 + \cfrac{\partial{v_2}}{\partial{W}}u_2 \\ =(\cfrac{\partial{u_0}}{\partial{W}}v_0 + \cfrac{\partial{u_1}}{\partial{W}}v_1 + \cfrac{\partial{u_2}}{\partial{W}}v_2) + (\cfrac{\partial{v_0}}{\partial{W}}u_0 + \cfrac{\partial{v_1}}{\partial{W}}u_1 + \cfrac{\partial{v_2}}{\partial{W}}u_2) \\ =( \cfrac{\partial{U}}{\partial{W}})^T V + ( \cfrac{\partial{V}}{\partial{W}})^T U ∂W∂f=∂W∂(u0v0+u1v1+u2v2)=∂W∂u0v0+∂W∂v0u0+∂W∂u1v1+∂W∂v1u1+∂W∂u2v2+∂W∂v2u2=(∂W∂u0v0+∂W∂u1v1+∂W∂u2v2)+(∂W∂v0u0+∂W∂v1u1+∂W∂v2u2)=(∂W∂U)TV+(∂W∂V)TU

它可以推广到其它的维度。证明完毕。

如果WWW是标量其实直接代入(4)(4)(4)即可。但是如果WWW为向量，在计算中，一般都是把WWW变成行向量。因为定义jacobi矩阵是，列向量对行向量就行求导。因此WWW可以表示为WTW^TWT(行向量)，所以(4)(4)(4)，写成：
∂(UTV)∂WT=(∂U∂WT)TV+(∂V∂WT)TU\cfrac{\partial{(U^T V)}}{\partial{W^T}} = ( \cfrac{\partial{U}}{\partial{W^T}})^T V + ( \cfrac{\partial{V}}{\partial{W^T}})^T U ∂WT∂(UTV)=(∂WT∂U)TV+(∂WT∂V)TU

2）两个向量UUU,VVV (列向量)叉积的结果对WWW求导:
∂(U×V)∂W=−Skew(V)(∂U∂W)+Skew(U)(∂V∂W)(5)\cfrac{\partial{(U \times V)}}{\partial{W}} = -Skew(V)( \cfrac{\partial{U}}{\partial{W}}) +Skew(U)( \cfrac{\partial{V}}{\partial{W}}) \space (5) ∂W∂(U×V)=−Skew(V)(∂W∂U)+Skew(U)(∂W∂V) (5)
其中
Skew(U)=[0−U3U2U30−U1−U2U10]Skew(U) = \begin{bmatrix} 0 \space \space -U_3 \space \space U_2 \\ U_3 \space \space 0 \space \space -U_1 \\ -U_2 \space \space U_1 \space \space 0 \end{bmatrix} Skew(U)=⎣⎡0 −U3 U2U3 0 −U1−U2 U1 0⎦⎤
其中Skew(V)Skew(V)Skew(V)是将叉乘转化为点积的矩阵。它非常容易证明，因为它就是矩阵展开即可。
对于多个向量叉乘的时候，需要对公式进行转化。叉乘满足分配率。
∂(U×V)∂W=(∂U∂W)×V+U×(∂V∂W)(6)\cfrac{\partial{(U \times V)}}{\partial{W}} = ( \cfrac{\partial{U}}{\partial{W}}) \times V + U \times ( \cfrac{\partial{V}}{\partial{W}}) \space (6) ∂W∂(U×V)=(∂W∂U)×V+U×(∂W∂V) (6)
证明后续再补上。(5)和(6)两者的公式是想通的。只是表达形式不同。它们的转化后面再补上。

证明：假设U=[u0u1u3]U=\begin{bmatrix} u_0 \\ u_1 \\ u_3 \end{bmatrix}U=⎣⎡u0u1u3⎦⎤ 和V=[v0v1v3]V=\begin{bmatrix} v_0 \\ v_1 \\ v_3 \end{bmatrix}V=⎣⎡v0v1v3⎦⎤ ，它们为三维向量。

U×V=[ijku0u1u2v0v1v2]=(u1v2−u1v2)i+(u2v0−u0v2)j+(u0v1−u1v0)kU \times V = \begin{bmatrix} i \space \space j \space \space k \\ u_0 \space \space u_1 \space \space u_2 \\ v_0 \space \space v_1 \space \space v_2 \end{bmatrix} \\ = (u_1v_2 - u_1v_2)i+ (u_2v_0 - u_0v_2)j+ (u_0v_1 - u_1v_0)k U×V=⎣⎡i j ku0 u1 u2v0 v1 v2⎦⎤=(u1v2−u1v2)i+(u2v0−u0v2)j+(u0v1−u1v0)k

它是一个向量，因此展开后，它的表达为如下：

U×V=[(u1v2−u2v1)(u2v0−u0v2)(u0v1−u1v0)]U \times V = \begin{bmatrix} (u_1v_2 - u_2v_1) \\ (u_2v_0 - u_0v_2) \\ (u_0v_1 - u_1v_0) \end{bmatrix} U×V=⎣⎡(u1v2−u2v1)(u2v0−u0v2)(u0v1−u1v0)⎦⎤

展开后得到如下：

∂(U×V)∂W=[∂(u1v2−u2v1)∂W∂(u2v0−u0v2)∂W∂(u0v1−u1v0)∂W]=∂(u1v2−u2v1)∂WI+∂(u2v0−u0v2)∂WJ+∂(u0v1−u1v0)∂WK=(∂u1∂W∗v2+∂v2∂W∗u1−∂u2∂W∗v1−∂v1∂W∗u2)I+(∂u2∂W∗v0+∂v0∂W∗u2−∂u0∂W∗v2−∂v2∂W∗u0)J+(∂u0∂W∗v1+∂v1∂W∗u0−∂u1∂W∗v0−∂v0∂W∗u1)K=[(∂u1∂W∗v2−∂u2∂W∗v1)I+(∂u2∂W∗v0−∂u0∂W∗v2)J+(∂u0∂W∗v1−∂u1∂W∗v0)K]+[(∂v2∂W∗u1−∂v1∂W∗u2)I+(∂v0∂W∗u2−∂v2∂W∗u0)J+(∂v1∂W∗u0−∂v0∂W∗u1)K]=(∂U∂W)×V−(∂V∂W)×U=−V×(∂U∂W)+U×(∂V∂W)=−Skew(V)(∂U∂W)+Skew(U)(∂V∂W)\cfrac{\partial{(U \times V)}}{\partial{W}} = \begin{bmatrix} \cfrac{\partial{(u_1v_2 - u_2v_1) }}{\partial{W}} \\ \cfrac{\partial{ (u_2v_0 - u_0v_2)}}{\partial{W}}\\ \cfrac{\partial{ (u_0v_1 - u_1v_0)}}{\partial{W}}\\ \end{bmatrix} = \cfrac{\partial{(u_1v_2 - u_2v_1) }}{\partial{W}} I + \cfrac{\partial{ (u_2v_0 - u_0v_2)}}{\partial{W}}J+ \cfrac{\partial{ (u_0v_1 - u_1v_0)}}{\partial{W}}K \\ = (\cfrac{\partial{u_1}}{\partial{W}}*v_2+\cfrac{\partial{v_2}}{\partial{W}}*u_1-\cfrac{\partial{u_2}}{\partial{W}}*v_1-\cfrac{\partial{v_1}}{\partial{W}}*u_2)I+(\cfrac{\partial{u_2}}{\partial{W}}*v_0+\cfrac{\partial{v_0}}{\partial{W}}*u_2-\cfrac{\partial{u_0}}{\partial{W}}*v_2-\cfrac{\partial{v_2}}{\partial{W}}*u_0)J + (\cfrac{\partial{u_0}}{\partial{W}}*v_1+\cfrac{\partial{v_1}}{\partial{W}}*u_0-\cfrac{\partial{u_1}}{\partial{W}}*v_0-\cfrac{\partial{v_0}}{\partial{W}}*u_1)K \\ =[(\cfrac{\partial{u_1}}{\partial{W}}*v_2 -\cfrac{\partial{u_2}}{\partial{W}}*v_1)I + (\cfrac{\partial{u_2}}{\partial{W}}*v_0 - \cfrac{\partial{u_0}}{\partial{W}}*v_2)J + (\cfrac{\partial{u_0}}{\partial{W}}*v_1 - \cfrac{\partial{u_1}}{\partial{W}}*v_0)K] + [(\cfrac{\partial{v_2}}{\partial{W}}*u_1 -\cfrac{\partial{v_1}}{\partial{W}}*u_2)I + (\cfrac{\partial{v_0}}{\partial{W}}*u_2 - \cfrac{\partial{v_2}}{\partial{W}}*u_0)J + (\cfrac{\partial{v_1}}{\partial{W}}*u_0 - \cfrac{\partial{v_0}}{\partial{W}}*u_1)K] \\ =( \cfrac{\partial{U}}{\partial{W}}) \times V - ( \cfrac{\partial{V}}{\partial{W}}) \times U = -V \times (\cfrac{\partial{U}}{\partial{W}}) + U \times ( \cfrac{\partial{V}}{\partial{W}})= -Skew(V)( \cfrac{\partial{U}}{\partial{W}}) +Skew(U)( \cfrac{\partial{V}}{\partial{W}}) ∂W∂(U×V)=⎣⎡∂W∂(u1v2−u2v1)∂W∂(u2v0−u0v2)∂W∂(u0v1−u1v0)⎦⎤=∂W∂(u1v2−u2v1)I+∂W∂(u2v0−u0v2)J+∂W∂(u0v1−u1v0)K=(∂W∂u1∗v2+∂W∂v2∗u1−∂W∂u2∗v1−∂W∂v1∗u2)I+(∂W∂u2∗v0+∂W∂v0∗u2−∂W∂u0∗v2−∂W∂v2∗u0)J+(∂W∂u0∗v1+∂W∂v1∗u0−∂W∂u1∗v0−∂W∂v0∗u1)K=[(∂W∂u1∗v2−∂W∂u2∗v1)I+(∂W∂u2∗v0−∂W∂u0∗v2)J+(∂W∂u0∗v1−∂W∂u1∗v0)K]+[(∂W∂v2∗u1−∂W∂v1∗u2)I+(∂W∂v0∗u2−∂W∂v2∗u0)J+(∂W∂v1∗u0−∂W∂v0∗u1)K]=(∂W∂U)×V−(∂W∂V)×U=−V×(∂W∂U)+U×(∂W∂V)=−Skew(V)(∂W∂U)+Skew(U)(∂W∂V)

其中的假设a,ba,ba,b为向量，易得如下
a×b=−b×aa \times b = -b \times a a×b=−b×a

从三维可以拓展到多维向量中。证明完毕

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