一、图

图G=（V，E）是由其顶点集V和边集E定义的。在无向图中，边集是一组无序的顶点对。 图（也称为“网络”）通常用于建模事物之间的连接或关系，其中“事物”是顶点。

常见的“自然”图形示例有：

• 友谊图：人是顶点，边存在于朋友对之间（假设关系是对称的）；

• 网络图：设备、路由器和计算机是顶点，边缘存在于连接的对之间；

• 电路图：电子元件是顶点，边缘存在于由电线连接的对之间；

• 蛋白质-蛋白质相互作用图：蛋白质是顶点。边表示相互作用。

二、图的矩阵

2.1 Matrix as a Spreadsheet

我们通常为图的顶点集写V，让n表示顶点的数量。有时我们需要对顶点进行排序并为其分配编号。在这种情况下，它们通常是{1，…，n}。例如，如果我们希望绘制一个矩阵作为表，那么我们需要确定哪个顶点对应于哪个行和列。与图G关联的最自然的矩阵是其邻接矩阵:

2.2 Matrix as an Operator

2.1.1 概率转移矩阵

与图G相关的最自然的算子可能是其扩散算子。该运算符描述了图顶点之间的物质扩散。想象一个过程，其中每个顶点都可以包含一定量的物质（例如气体）。在每个时间步，顶点处的填充物将均匀分布到其邻居。顶点处的任何东西都不会保留在顶点处，但可以从其他顶点进入。为了构造扩散矩阵，假设是对角矩阵，其中是顶点a的度数。我们通常将写为顶点a的度。

概率转移矩阵的定义为：

当图是规则的，即每个顶点都具有相同的度数时，只是的重新缩放。

有时考虑慵懒随机游走更方便。它通常被定义为以一半的概率保持在原地，以一半的几率游走到相邻接点。即：

2.2 拉普拉斯矩阵

与图相关联的最自然的二次形式根据其拉普拉斯矩阵来定义，

给定顶点上的函数，其中边（a，b）具有权重的加权图的拉普拉斯二次型为:

此形式表示函数x的平滑度。如果函数x不在任何边上跳跃明显，那么它就会很小。

三、谱图理论

我们假设向量是具有特征值的矩阵M的特征向量，如果 ,也就是说λ是特征值当且仅当是奇异矩阵。

定义3.1【正定/半正定】如果矩阵是对称的并且其所有特征值都是正的，则矩阵是正定的。如果它是对称的，并且它的所有特征值都是非负的，则它是半正定的。

定理3.2【谱定理】如果M是的实对称矩阵，则存在实数和n个相互正交的单位向量，并且是矩阵M中特征值的特征向量。

如果矩阵不是对称的，它可能没有n个特征值。 而且，即使它有n个特征值，它们的特征向量也不会是正交的。如果M不是对称的，那么研究它的特征值和特征值可能是错误的。

定理3.4 对于任意图G，图的拉普拉斯矩阵是半正定的。 证明：设是L的特征值的的单位特征向量。

我们对拉普拉斯算子的特征值从最小到最大进行编号。因此，。我们将到称为低频特征值。是高频特征值。

四、谱图性质

4.1特征向量绘图

低频特征值所对应的特征向量可用于图结构模拟。对于一个 d 维空间的柏拉图立体（即正多面体），将其拉普拉斯矩阵的第 2 至 d+1 个特征值（即）所对应的特征向量（即）作为对应坐标系的坐标，即可得到该图结构的模拟。下文展示了二维空间的网格图和三维空间的十二面体图上，使用特征向量进行图结构绘制的结果。这一结论的严格证明请见本书第三章。

4.2谱图性质

4.2.1同构性

如果重新标记顶点，特征值不会改变。此外，如果置换顶点，那么特征向量也同样被置换。也就是说，如果P是置换矩阵，那么 if and only if , because .

这为我们测试一个图是否是另一个图的置换提供了一个非常强大的启发式方法（这就是著名的“图同构测试问题”）。首先，检查两个图是否具有相同的特征值集。如果没有，那么它们就不是同构的。如果有，并且特征值具有多重性1，那么绘制上面的图片。如果图片是相同的，直到水平或垂直翻转，并且没有顶点映射到与另一个顶点相同的位置，那么通过排列图片，我们可以恢复排列。

4.2.2连通性

图的拉普拉斯矩阵的第二最小特征值为零，当且仅当图是断开的。如果G是不连通的，那么我们可以将它分成两个图G1和G2，它们之间没有边，

由于的特征值是和的特征值的并集，具有多重性，我们可以看到从每个特征值继承了一个零特征值。相反，如果G是连通的，那么我们可以证明，只有常数向量x使得。如果x不是常数并且G是连通的，则必须有一条边（a，b），其中。

Fiedler认为离0越远，图的连通性越好。在第21章中，证明这一结果的最终扩展：Cheeger不等式。

简言之，如果只删除几个边就可以截断许多顶点，那么图的连通性就很差。我们通过这些定量比率来衡量它的联系有多差。Cheeger不等式给出了这个比率与之间的紧密联系。如果很小，那么对于某些t，顶点集 可以通过切割远小于的边缘来去除。实践证明，这种谱图分割启发式方法非常成功。

五、总结

Chapter1主要介绍了图结构的基本定义和矩阵表示，拉普拉斯矩阵，特征向量和特征值等谱图理论和性质。此外，还以可视化示意图的形式，展示了拉普拉斯矩阵的特征向量与图结构间的内在联系。