背景

最近在研究functional 回归，发现有一些smoothing信号处理方法，跟我以前的一些肤浅的想法居然有一些共性，看来不是想不到，而是不敢想，想得不够深入的问题。这种算法提出已经比较久了，其中比较流行的一种平滑处理算法是基于B-spline。样条插值，作为一种插值或者函数逼近，无论是做图形图像还是数值分析，老早就接触过了，所谓了Spline Basis Function，第一反应无非是将函数切割，分段拟合罢了，保证分割处的n次导数相同即可。深入进行发现，这个基函数概念使得问题描述变得更加抽象，和之前的理解不太一样，下面记述一下自己对它的理解。看了一些不错的资料，但感觉描述的过于详细，反而觉得耽误了那些只想了解基本原理的人。所以，本文只想交代最重要的部分，细节可以参考文末给出的连接。

Spline Basis Function

首先，对于目标曲线进行分段，如何确定最优的分割点，据目前的了解也是相当复杂。这里，作为测试，分割点是自己直接设定的，详情可以参照后面的代码。
假设m+1个分割点， u 0 ≤ u 1 ≤ u 2 ≤ . . . ≤ u m , u i u_0 \leq u_1 \leq u_2 \leq ... \leq u_m,u_i u0≤u1≤u2≤...≤um,ui称为节点（knots）。这样，原来的曲线分为m段区间。
下面给出Cox-de Boor递归公式，也就是Spline Basis Function的生成公式
N i , 0 ( u ) = { 1 , u i ≤ u < u i + 1 0 , o t h e r w i s e N i , p ( u ) = u − u i u i + p − u i N i , p − 1 ( u ) + u i + p + 1 − u u i + p + 1 − u i + 1 N i + 1 , p − 1 ( u ) N_{i,0}(u) = \left\{\begin{matrix} 1,& u_i \leq u < u_{i+1} \\ 0, & otherwise \end{matrix}\right.\\ N_{i,p}(u) = \tfrac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i} N_{i,p-1}(u) + \tfrac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u) Ni,0(u)={1,0,ui≤u<ui+1otherwiseNi,p(u)=ui+p−uiu−uiNi,p−1(u)+ui+p+1−ui+1ui+p+1−uNi+1,p−1(u)
我们定义 N i , p N_{i,p} Ni,p为第 i i i个 p p p次 B − B- B−样条基函数,定义有一些拗口，它的递推公式也有点让人一头雾水，没关系，很快就清楚了。
关于它的生成方式，可以引用下图来表示。第一列是分段区间，第二列为0次基函数，依次类推。

我们可以发现两个重要特点

区间的数量决定了基函数的最大次数。区间数量越多，基函数的最大次数越大，不用说，函数的逼近效果也越好，但也容易过拟合。
基函数次数越大，它的作用范围也越大。如下图部分， N 1 , 3 N_{1,3} N1,3它在蓝色虚线部分的区间 [ u 1 , u 5 ) [u_1,u_5) [u1,u5)取值为非0，其他全部为0.

总结一下，我们可以得到，对于 N i , p N_{i,p} Ni,p而言，它的作用范围是 [ u i , u i + p + 1 ) [u_i,u_{i+p+1}) [ui,ui+p+1)。
那么可以知道， N i , p − 1 N_{i,p-1} Ni,p−1的作用范围 [ u i , u i + p ) [u_i,u_{i+p}) [ui,ui+p)， N i + 1 , p − 1 N_{i+1,p-1} Ni+1,p−1的作用范围 [ u i + 1 , u i + p + 1 ) [u_{i+1},u_{i+p+1}) [ui+1,ui+p+1)，
现在可以解释 \color{red}{现在可以解释} 现在可以解释 N i , p \color{red}N_{i,p} Ni,p 的递推公式 \color{red}{的递推公式} 的递推公式
N i , p ( u ) = u − u i u i + p − u i N i , p − 1 ( u ) + u i + p + 1 − u u i + p + 1 − u i + 1 N i + 1 , p − 1 ( u ) N_{i,p}(u) = \tfrac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i} N_{i,p-1}(u) + \tfrac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u) Ni,p(u)=ui+p−uiu−uiNi,p−1(u)+ui+p+1−ui+1ui+p+1−uNi+1,p−1(u)
N i , p N_{i,p} Ni,p实际上就是 N i , p − 1 N_{i,p-1} Ni,p−1和 N i + 1 , p − 1 N_{i+1,p-1} Ni+1,p−1的加权和，加权系数是怎么确定的呢，是根据u在两者对应的作用区间的位置决定的。我们可以看到，当 u u u在作用范围的边界时候，基函数的取值都接近于0.

下面看一段代码，来看看具体是怎么一回事情。代码将[0,4]均匀分成4个区间。然后，分别生成0，1，2，3次基函数，刚好4张图。

代码

代码比较简单，不过写得烂也没注释，跑一下就清楚了

clear;
linecolor = ['r','g','b','y','k','c','m','k','r','g','b'];
%knot span
knots = [0,1,2,3,4];
Len = 40;
x = linspace(0,4,Len);
figure('color','w');
for i = 1:1:4bf  = GenerateBasicFunctionCurves(i-1,x,knots);subplot(2,2,i);drawsubplot(i-1,bf,linecolor,knots);
endfunction v  = SplineBasisFunction(i,p,u,knots)u_i  = knots(i);    u_i1 = knots(i+1);if p==0if u>=u_i && u<u_i1v = 1;return;endv = 0;return;endu_ip1 = knots(i+p+1);u_ip = knots(i+p);v = (u-u_i)/(u_ip-u_i)*SplineBasisFunction(i,p-1,u,knots)+(u_ip1-u)/(u_ip1-u_i1)*SplineBasisFunction(i+1,p-1,u,knots);
end
function bf = GenerateBasicFunctionCurves(p,x,knots)for i = 1:1:length(knots)-1-pfor j = 1:1:length(x)bf(i,j) = SplineBasisFunction(i,p,x(j),knots);endend
end
function drawsubplot(p,bf,linecolor,knots)legendtxt = [];for i = 1:1:length(knots)-1-pplot(bf(i,:),strcat('-o',linecolor(i)),'LineWidth',1.5);hold on;txt = 'N';txt = strcat(txt,num2str(i-1));txt = strcat(txt,',');txt = strcat(txt,num2str(p));legendtxt  =  [legendtxt;string(txt)] ;endlegend(legendtxt);plotsettingtitle(p);
end
function plotsetting()a=gca;a.FontSize=20; set(gca,'fontweight','bold');set(gca,'Linewidth',2);xticks([1 ,11, 21,31,40]);xticklabels({'0','1','2','3','4' });
end

从上图可以看到，随着基函数的次数p增加，基函数的作用范围增大，基函数的数目减少。基函数的最大值一般靠近中间部位，两头趋近为0。上图有趣的地方在于，0次基函数就是一个门函数，1次基函数像是三角滤波器。
上图展现的是分割点均匀分布的情况，下图来一个不均匀分布的
修改上面代码的结点分割部分即可，其他不用调整
knots = [0,0.3,0.8,3.6,4];

参考

CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes
B-spline Curves 学习之B样条基函数的定义与性质（2）（中文版）

福利

为了查阅方便，把参考1部分打包成chm和pdf格式，有需要可以下载

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