算法导论 3.2-1 关于单调递增函数的证明

证明：若f(n)和g(n)是单调递增的函数，则函数f(n)+g(n)和f(g(n))也是单调递增的，此外，若f(n)和g(n)是非负的，则f(n)·g(n)是单调递增的。

解答：

证明1：若f(n)和g(n)是单调递增的函数，则函数f(n)+g(n)也是单调递增的。

若 $m\leq n$ ，因为f(n)和g(n)是单调递增的函数，可得 $f(m)\leq f(n)$ 且 $g(m)\leq g(n)$ ，我们将两个不等式左右相加，可得

$f(m)+g(m)\leq f(n)+g(n)$ 。由此可知函数f(n)+g(n)也是单调递增的。

证明2：若f(n)和g(n)是单调递增的函数，则函数f(g(n))也是单调递增的。

若 $m\leq n$ ，因为g(n)是单调递增的函数，可得 $g(m)\leq g(n)$ ，取 $m_{0}=g(m)$ 和 $n_{0}=g(n)$ ，则可知 $m_{0}\leq n_{0}$ ，由于f(n)已知是单调递增函数，所以必然存在 $f(m_{0})\leq f(n_{0})$ ，即 $f(g(m))\leq f(g(n))$ ，由此可知函数f(g(n))也是单调递增的。

证明3：若f(n)和g(n)是非负的，则f(n)·g(n)是单调递增的。

若 $m\leq n$ ，因为f(n)和g(n)是单调递增的函数，可得 $f(m)\leq f(n)$ 且 $g(m)\leq g(n)$ ，我们将不等式 $f(m)\leq f(n)$ 左右两边各乘以g(m)，由于g(m)是非负的，可得

$f(m)g(m)\leq f(n)g(m)$ --- 不等式 1

由于 $g(m)\leq g(n)$ ，我们将不等式两边各自乘以f(n)，由于f(n)是非负的，可得

$f(n)g(m)\leq f(n)g(n)$ --- 不等式 2

结合不等式1和不等式2，可得 $f(m)g(m)\leq f(n)g(m)\leq f(n)g(n)$ ，进一步可得

$f(m)g(m)\leq f(n)g(n)$

因此证明3成立。

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