算法导论 — 8.1 排序算法的下界

笔记

我们所熟知的插入排序、归并排序、快速排序等排序算法，它们的排序过程都依赖于比较元素间的大小，我们称这些算法为比较排序。本节讨论比较排序算法的运行时间的下界。
　　给定一个输入序列 < a 1 , a 2 , … , a n > <a_1, a_2, …,a_n> <a1,a2,…,an>。为简化分析，假定所有输入元素都是互异的。
　　比较排序可以抽象为一棵决策树。下图决策树展示了插入排序算法作用于包含3个元素的输入序列的情况。决策树是一棵完全二叉树。每个非叶结点都以 i : j i : j i:j标记，表示一对元素 a i a_i ai和 a j a_j aj的比较过程。插入排序从根结点开始，根据结点的比较结果，逐层向下走。在一个非叶结点，如果比较之后确定两个元素的大小关系为 a i ≤ a j a_i ≤ a_j ai≤aj，那么进入左子树；如果比较之后确定两个元素的大小关系为 a i > a j a_i > a_j ai>aj，那么进入右子树。当到达一个叶结点时，表示已经排好序。每一个叶结点都表示一个可能的排好序的序列。
　　
　　对于一个有 n n n个元素的序列来说，可能的排好序的序列一共有 n ! n! n!种，对应的决策树就有 n ! n! n!个叶结点。一个排序过程的运行时间取决于它所包含的比较次数。对于一个确定的排序过程，比较次数等于从决策树的根结点到一个叶结点的路径长度。因此，一个排序算法的最坏情况比较次数等于其决策树的高度，即从根结点到最低层次叶结点的路径长度。
　　考虑一棵高度为 h h h、具有 l l l个叶结点的决策树，它对应一个有 n n n个输入元素的排序算法。因为输入数据的 n ! n! n!种可能的排列都是叶结点，所以有 n ! ≤ l n! ≤ l n!≤l。由于在一棵高度为 h h h的二叉树中，叶结点的数目最多为 2 h 2^h 2h个，因此有 n ! ≤ l ≤ 2 h n! ≤ l ≤ 2^h n!≤l≤2h。对该式取对数，得到 h ≥ l g ( n ! ) = Ω ( n l g n ) h ≥ {\rm lg}(n!) = Ω(n{\rm lg}n) h≥lg(n!)=Ω(nlgn)。于是可以得到，在最坏情况下，任何比较排序算法都至少需要做 Ω ( n l g n ) Ω(n{\rm lg}n) Ω(nlgn)次比较。

练习

8.1-1 在一棵比较排序算法的决策树中，一个叶结点可能的最小深度是多少？
　　略
　　
8.1-2 不用斯特林近似公式，给出 l g ( n ! ) {\rm lg}(n!) lg(n!)的渐近紧确界。利用A.2节中介绍的技术来累加和 ∑ k = 1 n l g k \sum_{k=1}^{n}{\rm lg}k ∑k=1nlgk。
　　解
　　 l g k {\rm lg}k lgk为单调递增函数，根据A.2节结论，可以通过积分近似方法来累加和 ∑ k = 1 n l g k \sum_{k=1}^n{\rm lg}k ∑k=1nlgk的渐近紧确界。
　　 ∑ k = 1 n l g k = l g 1 + ∑ k = 2 n l g k = ∑ k = 2 n l g k ≥ ∫ 1 n ( l g k ) d k = n l g n − ( n − 1 ) l n 2 \sum_{k=1}^n{\rm lg}k={\rm lg}1+\sum_{k=2}^n{\rm lg}k=\sum_{k=2}^n{\rm lg}k≥∫_1^n({\rm lg}k)dk=n{\rm lg}n-\frac{(n-1)}{{\rm ln}2} ∑k=1nlgk=lg1+∑k=2nlgk=∑k=2nlgk≥∫1n(lgk)dk=nlgn−ln2(n−1)
　　由上式可以得到， ∑ k = 1 n l g k = Ω ( n l g n ) \sum_{k=1}^n{\rm lg}k=Ω(n{\rm lg}n) ∑k=1nlgk=Ω(nlgn)成立。
　　
8.1-3 证明：对 n ! n! n!种长度为 n n n的输入中的至少一半，不存在能达到线性运行时间的比较排序算法。如果只要求对 1 / n 1/n 1/n的输入达到线性时间呢？ 1 / 2 n 1/2^n 1/2n呢？
　　解
　　一棵高度为 h h h的决策树最多有 2 h 2^h 2h个叶结点。
　　对于一个含 n n n个元素的序列，如果可能的排列一共有 n ! / 2 n!/2 n!/2种，那么其决策树的叶结点数目满足 2 h ≥ n ! / 2 2^h ≥ n!/2 2h≥n!/2。可以得到 h ≥ l g ( n ! ) − 1 = Ω ( n l g n ) h ≥ {\rm lg}(n!) − 1 = Ω(n{\rm lg}n) h≥lg(n!)−1=Ω(nlgn)。因此对于至少 n ! / 2 n!/2 n!/2种可能的排列，比较排序算法也不能达到线性运行时间。
　　如果可能的排列一共有 n ! / n n!/n n!/n种，，那么其决策树的叶结点数目满足 2 h ≥ n ! / n 2^h ≥ n!/n 2h≥n!/n。可以得到 h ≥ l g ( n ! ) − l g n = Ω ( n l g n ) h ≥ {\rm lg}(n!) − {\rm lg}n = Ω(n{\rm lg}n) h≥lg(n!)−lgn=Ω(nlgn)。这种情况下，比较排序算法也不能达到线性运行时间。
　　如果可能的排列一共有 n ! / 2 n n!/2^n n!/2n种，，那么其决策树的叶结点数目满足 2 h ≥ n ! / 2 n 2^h ≥ n!/2^n 2h≥n!/2n。可以得到 h ≥ l g ( n ! ) − n = Ω ( n l g n ) h ≥ {\rm lg}(n!) − n = Ω(n{\rm lg}n) h≥lg(n!)−n=Ω(nlgn)。这种情况下，比较排序算法也不能达到线性运行时间。

8.1-4 假设现有一个包含 n n n个元素的待排序序列。该序列由 n / k n/k n/k个子序列组成，每个子序列包含 k k k个元素。一个给定子序列中的每个元素都小于其后继子序列中的所有元素，且大于其前驱子序列中的每个元素。因此，对于这个长度为 n n n的序列的排序转化为对 n / k n/k n/k个子序列中的 k k k个元素的排序。试证明：这个排序问题中所需比较次数的下界是 Ω ( n l g k ) Ω(n{\rm lg}k) Ω(nlgk)。(提示：简单地将每个子序列的下界进行合并是不严谨的。)
　　解
　　正如提示所言，我们不能简单将每个子序列的下界进行合并。因为这种做法引入了一个前提，那就是我们采用的排序算法必须是独立地对每个子序列进行排序的，元素间的比较仅限于各子序列内部。而对于那些存在跨子序列比较的排序算法，这一做法并没有考虑进来。因此这一做法是不严谨的。
　　我们还是需要将整个序列当做一个整体来考察。每个子序列都有 k ! k! k!种可能的排列，一共有 n / k n/k n/k个子序列，那么整个序列一共有 ( k ! ) n / k (k!)^{n/k} (k!)n/k种可能的排列。假定针对该序列的排序算法的决策树的高度为 h h h，那么满足 2 h ≥ ( k ! ) n / k 2^h ≥(k!)^{n/k} 2h≥(k!)n/k，两边取对数可得到
　　 h ≥ l g [ ( k ! ) n ⁄ k ] = n k l g ( k ! ) = Ω ( n l g k ) h≥{\rm lg}[(k!)^{n⁄k} ]=\frac{n}{k}{\rm lg}(k!)=Ω(n{\rm lg}k) h≥lg[(k!)n⁄k]=knlg(k!)=Ω(nlgk)

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