一群小青蛙呱蹦呱蹦呱

题目描述：

有n个格子，每个格子里有一个数，1,2,3,4…n

牛牛放出无穷只青蛙。

第一只青蛙的路线是：1->2->4->8->16->…

第二只青蛙的路线是：1->3->9->27->81->…

第三只青蛙的路线是：1->5->25->125…

第四只青蛙的路线是：1->7->49…

。。。。。。

用数学语言描述，第 i只青蛙的路线是首项为1，公比为p(i)的等比数列，其中p(i)代表第个素数。

当青蛙跳到一个格子上，如果这个格子上面有一个数，青蛙就会把这个数吃掉。

牛牛想知道，所有没有被吃掉的数的lcm（最小公倍数，Least common multiple）是多少？

由于这个lcm可能非常大，请输出它对10⁹ + 7取模的值。

输入描述：

一个整数n

1 <= n <= 1.6 * 10⁸

输出描述：

如果所有数都被吃掉了，请输出一个字符串"empty"

否则输出所有没有被吃掉的数的lcm，对模10⁹ + 7

思路：

2可以划掉2k2^{k}2k,3可以划掉3k3^{k}3k,5可以划掉k^{k}k…
那么没有划掉的数字有它具有2个以上的质因子。
然而我们求lcm。
只需要求每个质因子的最大幂数的乘积就是结果。

所以对于每个质因子，我们只需要求出他的最高项就ok了。
对于2这个质因子，他所能达到的最大数就是：3∗2k<=n3*2^k<=n3∗2k<=n
对于其他质因子p，它所能达到的最大数就是：2∗pk<=n2 * p^k<=n2∗pk<=n

因为至少含有2个因子，所以p的最大值会小于等于n/2n/2n/2
至于选择素数可以直接线性筛。

详细：https://aspire-zero.github.io/2021/03/01/yi-qun-xiao-qing-wa-gu-beng-gu-beng-gu/

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define inf 0x3f3f3f3f
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define  ll long long
#define PI acos(-1)
#define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
//#define lo
using namespace std;
void coutx(double q, int x)
{//cout.setf(ios::fixed);//cout.unsetf(ios::fixed);cout << fixed << setprecision(x) << q << endl;return ;
}
inline ll ksc(ll x, ll y, ll mod)//快速乘
{return ( x * y - (ll) ( (long double) x / mod*y )*mod + mod ) % mod;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll lcm(ll a,ll b)
{return a/gcd(a,b)*b;
}
const int mod1 = 1e9 + 7;
const int N = 8e7+7;
bool isprime[N];
ll vis[N];
int sieve(int n)//线性筛
{int cnt = 0;isprime[0] = isprime[1] = true;for(int i = 2; i <= n; i ++){if(!isprime[i])      vis[ ++ cnt] = i;for(int j = 1; j <= cnt && i * vis[j] <= n; j ++){isprime[i * vis[j]] = 1;if(i % vis[j] == 0)break;}  }return cnt;
}
int log(int n, int m)//求log
{ll res = 0;ll t = 1;while(t <= m){t *= n;res ++;}return res - 1;
}
ll poww(ll a, ll b)//快速幂
{ll ans = 1;while(b){if(b & 1) ans = ksc(ans, a, mod1) % mod1;a = ksc(a, a, mod1) % mod1;a %= mod1;b >>= 1;ans %= mod1;}return ans % mod1;}
int main()
{#ifdef lofreopen("data.in","r",stdin);freopen("data.out","w",stdout);#endifsrand((unsigned int)time(0));ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n, cnt;ll ans;cin >> n;if(n <= 5){cout << "empty";return 0;}cnt = sieve(n / 2);ans = poww(2, log(2, n / 3));for(int i = 2; i <= cnt; i ++){ans = (ans % mod1) * poww(vis[i], log(vis[i], n / 2));ans %= mod1;}cout << ans % mod1;return 0;}