庚子中秋之际，走进刘易斯的S4 刘易斯逻辑之十

标题庚子中秋之际，走进刘易斯的S4 刘易斯逻辑之十

轻松了几天，因旅游和俗务暂且中断了对于C.I.刘易斯的关注。眼下临近中秋佳节之际，我该回到他的严格蕴涵理论的路径上了。心中存有一个小小的期盼，争取在这个特殊的庚子中秋降临之前，当一轮满月挂在天空，银色的月光弥漫苍穹，有可能灌窗而入，就在这个时刻，我已经从C.I.刘易斯的S3，走进了他的S4。
从S3迈向S4，是模态发展史上的一个节口。刘易斯的S1，模态还隐藏在严格蕴涵的初始观念之后。这个S1系统，他认为，虽然在假设上更为经济，但只能算是一个普通演算系统。刘易斯的S2，才是他偏爱的智力奉献。正是这个一致性演算系统S2，让模态函项从后台走向前台，严格蕴涵开始了被模态逐渐替代的发展进程。而S3则是刘易斯早在1918年的《符号逻辑概览》中出现的系统，然后在其1932年的《符号逻辑》一书中，以附录形式予以整理，看作是其S2的扩张。而正是这个以不可能性公理为特征公理的S3系统，使得新生的模态，又开始有了新的分野。
现在轮到S4了，有趣的是，你在刘易斯的两本著作的正文中看不到这个S4。S1和S2出现在1932年的著作中，S3出现在1918年的著作中。而S4，同时也包括S5，它们仅出现在《符号逻辑》一书的附录《严格蕴涵系统的结构》之中。
何谓S4？用刘易斯的语言：

S4，从公理集合（B1-B7,还有公理C10）推演而得，含有所有S3的定理，另外加上公理C10的逻辑后承。公理A8(不可能公设)和B8（一致性或者可能性公设），在S4中可以推出。S4与公理C13不相容，但它与C11和C12是一致的，但这两个公理独立于S4。如果B9也加进S4，那么，所得后承包含了所有S2的存在定理。
（刘易斯《符号逻辑》1932年出版第501页）

C.I.刘易斯很简略地勾勒了系统S4，但这个S4一点也不简单。模态逻辑似乎从S4开始，有了自身的基础，并在这个基础性的主干之上，生发了无穷尽的模态枝叶。

标题一、也许从S4开始，模态逻辑分为正规和不正规

模态逻辑在C.I刘易斯的严格蕴涵系统之后，似乎在S4这里出现了一个转折。历史往往是偶然性的一个集成，逻辑学的历史也在证明这一点。刘易斯的严格蕴涵本来想给这个世界提供一个比弗雷格与罗素的推理方法更胜一筹的东西，但实际的结果却在无意之中偏向了一个未曾预料到的观念，那就是必然性观念。这正如逻辑史家威廉涅尔，在评价刘易斯的奉献时所言：

所以，他的模态逻辑的功绩并不是像他所提出的那样，它提供了在某些方面比弗雷格的推理方法更胜一筹的另一种推理方法，而是他明确地研究一切逻辑学家（包括弗雷格）视为当然的必然性概念。
（威廉涅尔《逻辑学的发展》第602页）

这个评价是中肯的，正是在S4出现之际，模态命题逻辑出现了一个新规则，恰恰就是有关“必然性”概念的新规则。这个新规则，称之为模态的“必然性规则”，它被表述为：

如果任意的合式公式p是有效的，那么□p也是有效的。

而在C.I.刘易斯给出他S4的同时，芬兰逻辑学家冯莱特（1916-2003）给出的M’系统，美国逻辑学家哥德尔（1906-1978）给出的可证性系统，都是与刘易斯S4等价的系统。
回看刘易斯的S1-S3，必然性规则在其中并不成立。稍后的可能世界语义学表明，刘易斯的S1-S3，其框架应该属于克里普克给出的“非正规世界”。而S4因为有必然性规则，它的语义解释就处在“正规世界”之中。用休斯与克热斯韦尔的说法：在S2框架中，至少有一个正规世界，可能有一个或者更多的非正规世界。
而那个新产生的“必然性规则”，则是判定一个模态系统，它属于正规的还是非正规的模态系统，所要依据的主要标准。

标题二、从S4开始，叠置模态问题得到处理方法

看刘易斯S4添加的公理C10就可知，从S4开始，公理有了特殊的模态表达式。一个命题公式之前，除了单一的模态命题，还有叠加的模态命题。
请看C10，C11和C13：
C10 ∼◇∼p==> ∼◇∼∼◇∼p，这也可以不用严格蕴涵符号表示为：
C10 ∼◇∼∼◇∼p≡∼◇∼p弱化归原理
C11 ◇p==> ∼◇∼◇p强化归原理
C13 ◇◇p
模态叠加问题，在刘易斯的S1-S3中也有出现。但刘易斯似乎更关注蕴涵本身的问题，对于叠加模态化归的问题有所忽略。模态叠加，确乎是一个很为玄妙的符号表达式，以C13为例，一个命题p是可能的，这个命题“可能p也是可能的”，我们如何理解这样的命题呢？这个疑惑我们中秋过后再议。
好在这个疑惑可以有两个化归公理，一个是C10，一个是C11。这两个公理可以删繁就简，或者层层深入。也好在这两种化归原理连同模态本身，把人们对于模态的关注引入了一个模态新领域。
刘易斯的严格蕴涵系统，似乎主要关注的是模态的句法或者证明方面。自S4之后，有关模态的研究，则把对模态句法和证明的关注引向了对于语义的关注，随后，也就出现颇给人直观印象的关系语义学理论，特别是克里普克的可能世界语义学理论。

标题三、C.I.刘易斯S4和正规模态逻辑

S4的一个叠加模态公理，也是S4的特征公理，可表示为□p→□□p，我将其缩写为C10‘。这个C10‘公理，其实就是C10的变形。把C10中的可能变为必然，成为如C10‘公理所示的公式□p→□□p。
自S4之后，因为模态有了正规和非正规之分，正规模态似乎就疏离了刘易斯的严格蕴涵方向，初始概念再也不见严格蕴涵，而直通必然观念和以实质蕴涵为基础的经典命题演算。在这个方向上，建立起无数的正规模态逻辑。
康宏逵老师（1935-2014）是中国大陆为数不多的博学且较真的学者，令人钦敬。当论及C.I.刘易斯的S4时，康先生对正规模态的论述值得在这里提及。他说：

认识正规或者拟正规逻辑的数目比天文数字还要大得多，对初学者领悟现代模态逻辑的精神十分重要。至今仍有不少人把一切模态逻辑都看成“演算”，更有甚者，误以为模态逻辑无非是C.I.刘易斯时代的几个实例，即演算S1-S9。
（康宏逵杜姗姗著《临界的传递逻辑》第6页）

康先生的意思很明显，模态逻辑不仅仅是演算，它还有其余。这个其余就是，它把全部逻辑统统纳入自己的视野，尽力揭示这庞然总体的复杂结构，不拘泥于能行性是现代化潮流，而且是这个潮流的一个很本质的特色。也就是，模态逻辑是一种超越能行性，也超越演算的逻辑。
康先生的这个“还有其余”，就包括由刘易斯的S4引发的正规模态逻辑K4。而这个K4因其特征公理表现为传递性的语义，这个公理可以称作传递公理，这个逻辑也就称之为传递逻辑。而S4，显然也是传递逻辑的一个成员。
好了，终于赶在中秋之前弄出了一串文字，虽草率，却满足我对自己的一点期盼。仅以此文献给这个特殊的庚子中秋，献给所有还在探求知识根蒂的人们。