B 树（平衡多路查找树）

B 树就是常说的“B 减树（B- 树）”，又名平衡多路（即不止两个子树）查找树，它和平衡二叉树的不同有这么几点：

平衡二叉树节点最多有两个子树，而 B 树每个节点可以有多个子树，M 阶 B 树表示该树每个节点最多有 M 个子树

平衡二叉树每个节点只有一个数据和两个指向孩子的指针，而 B 树每个中间节点有 k-1 个关键字（可以理解为数据）和 k 个子树（ **k 介于阶数 M 和 M/2 之间，M/2 向上取整）

B 树的所有叶子节点都在同一层，并且叶子节点只有关键字，指向孩子的指针为 null

和平衡二叉树相同的点在于：B 树的节点数据大小也是按照左小右大，子树与节点的大小比较决定了子树指针所处位置。

二叉树阶M:树中所有孩子结点个数的最大值称为该树的阶！树的阶数表示一个节点最多能有多少个子节点，也就是每个节点上最多的键值个数。比如二叉树的阶数就是2

1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

2.根结点的儿子数为[2, M]；

3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2（取下整）, M]；

4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的

子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

如：（M=3）

看着概念可能有点难理解，来看看图对比下平衡二叉树和 B 树。

对比平衡二叉树和 B 树

首先是节点， 平衡二叉树的节点如下图所示，每个节点有一个数据和最多两个子树：

B 树中的每个节点由两部分组成：

关键字（可以理解为数据）
指向孩子节点的指针

B 树的节点如下图所示，每个节点可以有不只一个数据，同时拥有数据数加一个子树，同时每个节点左子树的数据比当前节点都小、右子树的数据都比当前节点的数据大：

上图是为了方便读者理解 B 树每个节点的内容，实际绘制图形还是以圆表示每个节点。

了解了节点的差异后，来看看 B 树的定义，一棵 B 树必须满足以下条件：

若根结点不是终端结点，则至少有2棵子树,至多有M阶,即M棵子树
除根节点以外的所有非叶结点至少有 M/2 棵子树，至多有 M 个子树（关键字数为子树减一）
所有的叶子结点都位于同一层

用一张图对比平衡二叉树和 B 树：

可以看到，B 树的每个节点可以表示的信息更多，因此整个树更加“矮胖”，这在从磁盘中查找数据（先读取到内存、后查找）的过程中，可以减少磁盘 IO 的次数，从而提升查找速度。

B 树中如何查找数据

因为 B 树的子树大小排序规则，因此在 B 树中查找数据时，一般需要这样：

从根节点开始，如果查找的数据比根节点小，就去左子树找，否则去右子树
和子树的多个关键字进行比较，找到它所处的范围，然后去范围对应的子树中继续查找
以此循环，直到找到或者到叶子节点还没找到为止

B 树如何保证平衡
我们知道，平衡的树之所以能够加快查找速度，是因为在添加、删除的时候做了某些操作以保证平衡。

平衡二叉树的平衡条件是：左右子树的高度差不大于 1；而 B 树的平衡条件则有三点：

叶子节点都在同一层
每个节点的关键字数为子树个数减一（子树个数 k 介于树的阶 M 和M/2(向上取整)之间,即:一棵 3 阶的 B 树（即节点最多有三个子树）子树个数范围是:2-3之间,每个节点的关键字数范围是:1-2之间)
子树的关键字保证左小右大的顺序

也就是说，一棵 3 阶的 B 树（即节点最多有三个子树），每个节点的关键字数最少为 1，最多为 2，如果要添加数据的子树的关键字数已经是最多，就需要拆分节点，调整树的结构。

网上找到一张很不错的动图，我们来根据它分析下 B 树添加元素时如何保证平衡。

这个图用以表示往 4 阶 B 树中依次插入下面这组数据的过程：

6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4

建议放大图查看。

由于我比较懒，我们来根据前几步分析下 B 树的添加流程：

首先明确：4 阶 B 树表示每个节点最多有 4 个子树、3 个关键字，最少有 2 个子树、一个关键字
添加 6，第一个节点，没什么好说的
添加 10，根节点最多能放三个关键字，按顺序添到根节点中
添加 4，还能放到根节点中
添加 14，这时超出了关键字最大限制，需要把 14 添加为子树，同时为了保证“所有叶子节点在同一层”，就需要拆几个关键字作为子树：
拆为-->

这个拆的过程比较复杂，首先要确定根节点保留几个关键字，由于“非叶子节点的根节点至少有 2 棵子树”的限制，那就至少需要两个关键字分出去，又因为“子树数是关键字数+1”，如果根节点有两个关键字，就得有三个子树，无法满足，所以只好把除 6 以外的三个关键字都拆为子树。

谁和谁在一个子树上呢，根据“左子树比关键字小、右子树比关键字大”的规律，4 在左子树，10 和 14 在右子树。

继续添加：

添加 5，放到 4 所在的子树上
添加 11，放在 10 和 14 所在的右子树上
添加 15，按大小应该放到 10、11 和 14 所在的子树上，但因为超过了关键字数限制，又得拆分

因为“根节点必须都在同一层”，因此我们不能给现有的左右子树添加子树，只能添加给 6 了；但是如果 6 有三个子树，就必须得有 2 个关键字，提升谁做关键字好呢，这得看谁做 6 中间的子树，因为右子树的所有关键字都得比父节点的关键字大，所以这个提升的关键字只能比未来右子树中的关键字都小，那就只有 10 和 11 可以考虑了。

提升 10 吧，没有比它小的做子树，那就只能提升 11 了：

再添加元素也是类似的逻辑：

首先考虑要插入的子树是否已经超出了关键字数的限制
超出的话，如果要插入的位置是叶子节点，就只能拆一个关键字添加到要插入位置的父节点
如果非叶子节点，就得从其他子树拆子树给新插入的元素做孩子
删除也是一样的，要考虑删除孩子后，父节点是否还满足子树 k 介于 M/2 和 M 的条件，不满足就得从别的节点拆子树甚至修改相关子树结构来保持平衡。

总之添加、删除的过程很复杂，要考虑的条件很多，具体实现就不细追究了，这里我们有个基本认识即可。

正是这个复杂的保持平衡操作，使得平衡后的 B 树能够发挥出磁盘中快速查找的作用。

使用场景
这部分摘自：浅谈算法和数据结构：平衡查找树之B树

文件系统和数据库系统中常用的B/B+ 树，他通过对每个节点存储个数的扩展，使得对连续的数据能够进行较快的定位和访问，能够有效减少查找时间，提高存储的空间局部性从而减少IO操作。他广泛用于文件系统及数据库中，如：

Windows：HPFS 文件系统

Mac：HFS，HFS+ 文件系统

Linux：ResiserFS，XFS，Ext3FS，JFS 文件系统

数据库：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中

B+ 树
这部分主要学习自“程序员小灰”的漫画：什么是B+树？

了解了 B 树后再来了解下它的变形版：B+ 树，它比 B 树的查询性能更高。

一棵 B+ 树需要满足以下条件：

节点的子树数和关键字数相同（B 树是关键字数比子树数少一）
节点的关键字表示的是子树中的最大数，在子树中同样含有这个数据
叶子节点包含了全部数据，同时符合左小右大的顺序

简单概括下 B+ 树的三个特点：

关键字数和子树相同
非叶子节点仅用作索引，它的关键字和子节点有重复元素
叶子节点用指针连在一起
首先第一点不用特别介绍了，在 B 树中，节点的关键字用于在查询时确定查询区间，因此关键字数比子树数少一；而在 B+ 树中，节点的关键字代表子树的最大值，因此关键字数等于子树数。

第二点，除叶子节点外的所有节点的关键字，都在它的下一级子树中同样存在，最后所有数据都存储在叶子节点中。

根节点的最大关键字其实就表示整个 B+ 树的最大元素。

第三点，叶子节点包含了全部的数据，并且按顺序排列，B+ 树使用一个链表将它们排列起来，这样在查询时效率更快。

由于 B+ 树的中间节点不含有实际数据，只有子树的最大数据和子树指针，因此磁盘页中可以容纳更多节点元素，也就是说同样数据情况下，B+ 树会 B 树更加“矮胖”，因此查询效率更快。

B+ 树的查找必会查到叶子节点，更加稳定。

有时候需要查询某个范围内的数据，由于 B+ 树的叶子节点是一个有序链表，只需在叶子节点上遍历即可，不用像 B 树那样挨个中序遍历比较大小。

B+ 树的三个优点：

层级更低，IO 次数更少
每次都需要查询到叶子节点，查询性能稳定
叶子节点形成有序链表，范围查询方便

添加过程就不深入研究了，后面用到再看吧，这里先贴一个 B+ 树动态添加元素图：

B+树索引是B+树在数据库中的一种实现，是最常见也是数据库中使用最为频繁的一种索引。B+树中的B代表平衡（balance），而不是二叉（binary），因为B+树是从最早的平衡二叉树演化而来的。在讲B+树之前必须先了解二叉查找树、平衡二叉树（AVLTree）和平衡多路查找树（B-Tree），B+树即由这些树逐步优化而来。

二叉查找树

二叉树具有以下性质：左子树的键值小于根的键值，右子树的键值大于根的键值。
如下图所示就是一棵二叉查找树，

对该二叉树的节点进行查找发现深度为1的节点的查找次数为1，深度为2的查找次数为2，深度为n的节点的查找次数为n，因此其平均查找次数为 (1+2+2+3+3+3) / 6 = 2.3次

二叉查找树可以任意地构造，同样是2,3,5,6,7,8这六个数字，也可以按照下图的方式来构造：

但是这棵二叉树的查询效率就低了。因此若想二叉树的查询效率尽可能高，需要这棵二叉树是平衡的，从而引出新的定义——平衡二叉树，或称AVL树。

平衡二叉树（AVL Tree）

平衡二叉树（AVL树）在符合二叉查找树的条件下，还满足任何节点的两个子树的高度最大差为1。下面的两张图片，左边是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差<=1；右边的不是AVL树，其根节点的左子树高度为3，而右子树高度为1；

如果在AVL树中进行插入或删除节点，可能导致AVL树失去平衡，这种失去平衡的二叉树可以概括为四种姿态：LL（左左）、RR（右右）、LR（左右）、RL（右左）。它们的示意图如下：

这四种失去平衡的姿态都有各自的定义：
LL：LeftLeft，也称“左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高2，AVL树失去平衡。

RR：RightRight，也称“右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高2，AVL树失去平衡。

LR：LeftRight，也称“左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高2，AVL树失去平衡。

RL：RightLeft，也称“右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高2，AVL树失去平衡。

AVL树失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡。下面分别介绍四种失去平衡的情况下对应的旋转方法。

LL的旋转。LL失去平衡的情况下，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。步骤如下：

将根节点的左孩子作为新根节点。
将新根节点的右孩子作为原根节点的左孩子。
将原根节点作为新根节点的右孩子。

LL旋转示意图如下：

RR的旋转：RR失去平衡的情况下，旋转方法与LL旋转对称，步骤如下：

将根节点的右孩子作为新根节点。
将新根节点的左孩子作为原根节点的右孩子。
将原根节点作为新根节点的左孩子。

RR旋转示意图如下：

LR的旋转：LR失去平衡的情况下，需要进行两次旋转，步骤如下：

围绕根节点的左孩子进行RR旋转。
围绕根节点进行LL旋转。

LR的旋转示意图如下：

RL的旋转：RL失去平衡的情况下也需要进行两次旋转，旋转方法与LR旋转对称，步骤如下：

围绕根节点的右孩子进行LL旋转。
围绕根节点进行RR旋转。

RL的旋转示意图如下：

平衡多路查找树（B-Tree）

B-Tree是为磁盘等外存储设备设计的一种平衡查找树。因此在讲B-Tree之前先了解下磁盘的相关知识。

系统从磁盘读取数据到内存时是以磁盘块（block）为基本单位的，位于同一个磁盘块中的数据会被一次性读取出来，而不是需要什么取什么。

InnoDB存储引擎中有页（Page）的概念，页是其磁盘管理的最小单位。InnoDB存储引擎中默认每个页的大小为16KB，可通过参数innodb_page_size将页的大小设置为4K、8K、16K，在MySQL中可通过如下命令查看页的大小：

mysql> show variables like 'innodb_page_size';1

而系统一个磁盘块的存储空间往往没有这么大，因此InnoDB每次申请磁盘空间时都会是若干地址连续磁盘块来达到页的大小16KB。InnoDB在把磁盘数据读入到磁盘时会以页为基本单位，在查询数据时如果一个页中的每条数据都能有助于定位数据记录的位置，这将会减少磁盘I/O次数，提高查询效率。

B-Tree结构的数据可以让系统高效的找到数据所在的磁盘块。为了描述B-Tree，首先定义一条记录为一个二元组[key, data] ，key为记录的键值，对应表中的主键值，data为一行记录中除主键外的数据。对于不同的记录，key值互不相同。

一棵m阶的B-Tree有如下特性：
\1. 每个节点最多有m个孩子。
\2. 除了根节点和叶子节点外，其它每个节点至少有Ceil(m/2)个孩子。
\3. 若根节点不是叶子节点，则至少有2个孩子
\4. 所有叶子节点都在同一层，且不包含其它关键字信息
\5. 每个非终端节点包含n个关键字信息（P0,P1,…Pn, k1,…kn）
\6. 关键字的个数n满足：ceil(m/2)-1 <= n <= m-1
\7. ki(i=1,…n)为关键字，且关键字升序排序。
\8. Pi(i=1,…n)为指向子树根节点的指针。P(i-1)指向的子树的所有节点关键字均小于ki，但都大于k(i-1)

B-Tree中的每个节点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支，如下图所示为一个3阶的B-Tree：

每个节点占用一个盘块的磁盘空间，一个节点上有两个升序排序的关键字和三个指向子树根节点的指针，指针存储的是子节点所在磁盘块的地址。两个关键词划分成的三个范围域对应三个指针指向的子树的数据的范围域。以根节点为例，关键字为17和35，P1指针指向的子树的数据范围为小于17，P2指针指向的子树的数据范围为17~35，P3指针指向的子树的数据范围为大于35。

模拟查找关键字29的过程：

根据根节点找到磁盘块1，读入内存。【磁盘I/O操作第1次】
比较关键字29在区间（17,35），找到磁盘块1的指针P2。
根据P2指针找到磁盘块3，读入内存。【磁盘I/O操作第2次】
比较关键字29在区间（26,30），找到磁盘块3的指针P2。
根据P2指针找到磁盘块8，读入内存。【磁盘I/O操作第3次】
在磁盘块8中的关键字列表中找到关键字29。

分析上面过程，发现需要3次磁盘I/O操作，和3次内存查找操作。由于内存中的关键字是一个有序表结构，可以利用二分法查找提高效率。而3次磁盘I/O操作是影响整个B-Tree查找效率的决定因素。B-Tree相对于AVLTree缩减了节点个数，使每次磁盘I/O取到内存的数据都发挥了作用，从而提高了查询效率。

B+Tree

B+Tree是在B-Tree基础上的一种优化，使其更适合实现外存储索引结构，InnoDB存储引擎就是用B+Tree实现其索引结构。

从上一节中的B-Tree结构图中可以看到每个节点中不仅包含数据的key值，还有data值。而每一个页的存储空间是有限的，如果data数据较大时将会导致每个节点（即一个页）能存储的key的数量很小，当存储的数据量很大时同样会导致B-Tree的深度较大，增大查询时的磁盘I/O次数，进而影响查询效率。在B+Tree中，所有数据记录节点都是按照键值大小顺序存放在同一层的叶子节点上，而非叶子节点上只存储key值信息，这样可以大大加大每个节点存储的key值数量，降低B+Tree的高度。

B+Tree相对于B-Tree有几点不同：

非叶子节点只存储键值信息。
所有叶子节点之间都有一个链指针。
数据记录都存放在叶子节点中。

将上一节中的B-Tree优化，由于B+Tree的非叶子节点只存储键值信息，假设每个磁盘块能存储4个键值及指针信息，则变成B+Tree后其结构如下图所示：

通常在B+Tree上有两个头指针，一个指向根节点，另一个指向关键字最小的叶子节点，而且所有叶子节点（即数据节点）之间是一种链式环结构。因此可以对B+Tree进行两种查找运算：一种是对于主键的范围查找和分页查找，另一种是从根节点开始，进行随机查找。

可能上面例子中只有22条数据记录，看不出B+Tree的优点，下面做一个推算：

InnoDB存储引擎中页的大小为16KB，一般表的主键类型为INT（占用4个字节）或BIGINT（占用8个字节），指针类型也一般为4或8个字节，也就是说一个页（B+Tree中的一个节点）中大概存储16KB/(8B+8B)=1K个键值（因为是估值，为方便计算，这里的K取值为〖10〗^3）。也就是说一个深度为3的B+Tree索引可以维护10^3 * 10^3 * 10^3 = 10亿条记录。

实际情况中每个节点可能不能填充满，因此在数据库中，B+Tree的高度一般都在2~4层。MySQL的InnoDB存储引擎在设计时是将根节点常驻内存的，也就是说查找某一键值的行记录时最多只需要1~3次磁盘I/O操作。

数据库中的B+Tree索引可以分为聚集索引（clustered index）和辅助索引（secondary index）。上面的B+Tree示例图在数据库中的实现即为聚集索引，聚集索引的B+Tree中的叶子节点存放的是整张表的行记录数据。辅助索引与聚集索引的区别在于辅助索引的叶子节点并不包含行记录的全部数据，而是存储相应行数据的聚集索引键，即主键。当通过辅助索引来查询数据时，InnoDB存储引擎会遍历辅助索引找到主键，然后再通过主键在聚集索引中找到完整的行记录数据

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