问题描述

有n个重量分别为{w1，w2，…，wn}的物品，它们的价值分别为{v1，v2，…，vn}，给定一个容量为W的背包。
设计从这些物品中选取一部分物品放入该背包的方案，每个物品要么选中要么不选中，要求选中的物品不仅能够放到背包中，而且重量和为W具有最大的价值。
假设一个0/1背包问题是，n=3，重量为w=（16，15，15），价值为v=（45，25，25），背包限重为W=30，解向量为x=（x1，x2，x3）。

采用队列式分枝限界法求解

采用STL的queue< NodeType >容器qu作为队列，队列中的结点类型声明如下：

struct NodeType      //队列中的结点类型
{  int no;          //结点编号，从1开始int i;            //当前结点在搜索空间中的层次int w;           //当前结点的总重量int v;            //当前结点的总价值int x[MAXN];      //当前结点包含的解向量double ub;          //上界
};

现在设计限界函数，为了简便，设根结点为第0层，然后各层依次递增，显然i=n时表示是叶子结点层。
由于该问题是求装入背包的最大价值，属求最大值问题，采用上界设计方式。
对于第i层的某个结点e，用e.w表示结点e时已装入的总重量，用e.v表示已装入的总价值：
如果所有剩余的物品都能装入背包，那么价值的上界e.ub=e.v+ (v[i+1]+…+v[n])
如果所有剩余的物品不能全部装入背包，那么价值的上界e.ub=e.v+ (v[i+1]+…+v[k])+(物品k+1装入的部分重量)×物品k+1的单位价值

代码

int n=3,W=30;
int w[]={0,16,15,15};
int v[]={0,45,25,25};
int maxv=-9999;
int bestx[MAXN];
int total=1;struct NodeType
{int no;//节点编号，从1开始int i;//当前节点在搜索空间中的层次int w;//当前节点的总重量int v;//当前节点的总价值int x[MAXN];//当前节点包含的解向量double ub;//上界
};void bound(NodeType &e)//计算分枝节点e的上界
{int i=e.i+1;//考虑余下的物品int sumw=e.w;double sumv=e.v;while((sumw+w[i]<=W)&&i<=n){sumw+=w[i];sumv+=v[i];i++;}if(i<=n)//物品只能部分装入e.ub=sumv+(W-sumw)*v[i]/w[i];else//可以全部装入e.ub=sumv;
}void EnQueue(NodeType e,queue<NodeType> &qu)
{if(e.i==n)//到达叶子节点{if(e.v>maxv){maxv=e.v;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e.x[j];}}else{qu.push(e);}} void bfs()
{int j;NodeType e,e1,e2;queue<NodeType> qu;//根节点初始化e.i=0;e.w=0;e.v=0;e.no=total++;for(j=1;j<=n;j++)e.x[j]=0;bound(e);qu.push(e);while (!qu.empty()){e=qu.front();qu.pop();if(e.w+w[e.i+1]<=W)//检查左孩子节点{e1.no=total++;e1.i=e.i+1;e1.w=e.w+w[e1.i];e1.v=e.v+v[e1.i];for(j=1;j<=n;j++)e1.x[j]=e.x[j];e1.x[e1.i]=1;//选择物品bound(e1);EnQueue(e1,qu);}e2.no=total++;e2.i=e.i+1;e2.w=e.w;e2.v=e.v;for(j=1;j<=n;j++)e2.x[j]=e.x[j];e2.x[e2.i]=0;//不选择物品bound(e2);if(e2.ub>maxv)//右剪枝EnQueue(e2,qu);}
}

采用优先队列式分枝限界法求解

采用优先队列式分枝限界法求解就是将一般的队列改为优先队列，但必须设计限界函数，因为优先级是以限界函数值为基础的。
限界函数的设计方法与前面的相同。这里用大根堆表示活结点表，取优先级为活结点所获得的价值。

struct NodeType      //队列中的结点类型
{  int no;          //结点编号int i;            //当前结点在搜索空间中的层次int w;           //当前结点的总重量int v;            //当前结点的总价值int x[MAXN];      //当前结点包含的解向量double ub;          //上界bool operator<(const NodeType &s) const  //重载<关系函数{return ub<s.ub;     //ub越大越优先出队}
};

代码

int n=3,W=30;
int w[]={0,16,15,15};
int v[]={0,45,25,25};
int maxv=-9999;
int bestx[MAXN];
int total=1;struct NodeType
{int no;//节点编号，从1开始int i;//当前节点在搜索空间中的层次int w;//当前节点的总重量int v;//当前节点的总价值int x[MAXN];//当前节点包含的解向量double ub;//上界bool operator<(const NodeType &s) const{return ub<s.ub;//ub越大越优先出队}
};void bound(NodeType &e)//计算分枝节点e的上界
{int i=e.i+1;//考虑余下的物品int sumw=e.w;double sumv=e.v;while((sumw+w[i]<=W)&&i<=n){sumw+=w[i];sumv+=v[i];i++;}if(i<=n)//物品只能部分装入e.ub=sumv+(W-sumw)*v[i]/w[i];else//可以全部装入e.ub=sumv;
}void EnQueue(NodeType e,queue<NodeType> &qu)
{if(e.i==n)//到达叶子节点{if(e.v>maxv){maxv=e.v;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e.x[j];}}else{qu.push(e);}} void bfs()
{int j;NodeType e,e1,e2;priority_queue<NodeType> qu;//根节点初始化e.i=0;e.w=0;e.v=0;e.no=total++;for(j=1;j<=n;j++)e.x[j]=0;bound(e);qu.push(e);while (!qu.empty()){e=qu.front();qu.pop();if(e.w+w[e.i+1]<=W)//检查左孩子节点{e1.no=total++;e1.i=e.i+1;e1.w=e.w+w[e1.i];e1.v=e.v+v[e1.i];for(j=1;j<=n;j++)e1.x[j]=e.x[j];e1.x[e1.i]=1;//选择物品bound(e1);EnQueue(e1,qu);}e2.no=total++;e2.i=e.i+1;e2.w=e.w;e2.v=e.v;for(j=1;j<=n;j++)e2.x[j]=e.x[j];e2.x[e2.i]=0;//不选择物品bound(e2);if(e2.ub>maxv)//右剪枝EnQueue(e2,qu);}
}

算法分析

无论采用队列式分枝限界法还是优先队列式分枝限界法求解0/1背包问题，最坏情况下要搜索整个解空间树，所以最坏时间和空间复杂度均为O(2ⁿ)，其中n为物品个数。

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分枝限界法求解0/1背包问题

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