Python - 两数相除递进版

一.引言

给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2

Tips:

(1) 结果的符号只需判定除数和被除数是否同符号即可，除法统一转为两正整数相除

(2) 注意数字范围，默认取 int

MAX_INT = int(math.pow(2, 31) - 1)
MIN_INT = int(-math.pow(2, 31))

二.对数偷懒除法

题目要求不能使用乘法，除法和mod，这里可以通过对数减法达到除法的效果：

def logarithmDivide(_dividend, _divisor):st = time.time()if _divisor == 0:return MAX_INTif _dividend == 0:return 0# 判断正负号isPositive = (_dividend < 0) == (_divisor < 0)# 取绝对值m = abs(_dividend)n = abs(_divisor)res = math.log(m) - math.log(n)res = int(math.exp(res))print("对数除法耗时: ", (time.time() - st))if isPositive:return min(res, 2147483647)return max(0 - res, -2147483648)

三.递减法

除法本身其实是减法，可以通过逐级递减获取最终的值:

(1) result = 0

(2) dividend -= divisor; result + 1

(3) 直到 dividend 小于 divisor，退出

def oneByOneDivide(_dividend, _divisor):st = time.time()if _divisor == 0:return MAX_INTif _dividend == 0:return 0# 判断正负号result = 0isPositive = (_dividend < 0) == (_divisor < 0)while _dividend >= _divisor:_dividend -= _divisorresult += 1print("递减除法耗时: ", (time.time() - st))if isPositive:return min(result, 2147483647)return max(0 - result, -2147483648)

四.递减法 Plus

递减法中被除数每次减掉一个除数，当被除数 >> 除数时，程序执行时间很慢，因此可以适当将除数放缩，加快收敛速度：

(1) result = 0，k=1

(2) dividend -= divisor; result + k

(3) divisor *= 2，k *= 2 dividend -= divisor，result += k

(4) divisor 足够大是退出第一个 while，重新从 k=1 开始

(5) dividend 足够小时退出

def multipleDivide(_dividend, _divisor):st = time.time()if _divisor == 0:return MAX_INTif _dividend == 0:return 0# 判断正负号result = 0isPositive = (_dividend < 0) == (_divisor < 0)tmp_dividend = _dividendtmp_divisor = _divisorwhile tmp_dividend >= tmp_divisor:k = 1tmp = tmp_divisorwhile tmp_dividend >= tmp:tmp_dividend -= tmpresult += kk += ktmp += tmpprint("倍数除法耗时: ", (time.time() - st))if isPositive:return min(result, 2147483647)return max(0 - result, -2147483648)

五.递减法 Plussss

上面采用 2 作为递增的倍数，达到了快速收敛的速度，但是当 dividend >> divisor 时，2 指数增长也需要一定步数，此时可以给启动值一个大一点的除数，提高前面的收敛速度，后面被 dividend 和 divisor 差距不大时再退化为 2 指数增长：

def multipleDivideV2(_dividend, _divisor, factor):st = time.time()if _divisor == 0:return MAX_INTif _dividend == 0:return 0# 判断正负号result = 0isPositive = (_dividend < 0) == (_divisor < 0)tmp_dividend = _dividendtmp_divisor = _divisorwhile tmp_dividend >= tmp_divisor:k = 1tmp = tmp_divisor# 加大力度安排while tmp_dividend >= factor * tmp:tmp_dividend -= factor * tmpresult += factor * kk += factor * ktmp += factor * tmp# 退化为2倍数增长收尾while tmp_dividend >= tmp:tmp_dividend -= tmpresult += kk += ktmp += tmpprint("倍数除法耗时: ", (time.time() - st))if isPositive:return min(result, 2147483647)return max(0 - result, -2147483648)

六.总结

给定一个默认除法函数：

def commonDivide(_dividend, _divisor):st = time.time()re = _dividend / _divisorprint("正常除法耗时: ", (time.time() - st))return int(re)

然后比较一个默认除法和上面几种方法的速度差异：

if __name__ == '__main__':dividend = 265783921divisor = 3print(commonDivide(dividend, divisor))print(logarithmDivide(dividend, divisor))print(oneByOneDivide(dividend, divisor))print(multipleDivide(dividend, divisor))print(multipleDivideV2(dividend, divisor, 1000))

速度：common > logarithm > 加大力度 > 2倍数 >> oneByOne

初始除数给定恰当时，多倍数增长会优于2倍数增长；给的过大或过小时，两者速度相近

正常除法耗时:  1.1920928955078125e-06
88594640
logarithm 对数除法耗时:  3.0994415283203125e-06
88594640
oneByOne 递减除法耗时:  3.9744768142700195
88594640
2倍数增长 倍数除法耗时:  1.7881393432617188e-05
88594640
加大力度安排 倍数除法耗时:  6.9141387939453125e-06
88594640