LeetCode-中等-29. 两数相除

题目

引用自：LeetCode-中等-29. 两数相除（如有侵权联系删除）
给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8以及 truncate(-2.7335) = -2

示例 1:

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3

示例 2:

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2

提示:

被除数和除数均为 32 位有符号整数。
除数不为 0。
假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2³¹, 2³¹ − 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 2³¹ − 1。

解题：

没什么好说的，是不可能的！这个题还是挺考察一部分对基本知识的掌握的。
根据题目要求，此题意思让我们手动模拟计算机除法。所以我们首先要了解结计算机世界中如何进行除法运算。
其实整体逻辑与我们平时手动计算很相似，只不过对于计算机而言，都是二进制数。

例如手动算18除以7的时候：
从被除数18的最高位(左边)开始:

1.第一位是 1 ，用 1 除以 7 不够，只能商0，余下1因为1 - 7 * 0 = 1
2.第二位是 8 ，用18（1 * 10 + 8 = 18, 用上一位除完的余数乘以10，再加上本位的数）除以7，商2，余下4。
计算完被除数的最后一位之后，把我们每位算得的商合在一起。第一位是0，第二位是2，所以就是0 * 10 + 2 = 2。
所以最后结果为商：2 余：4。
可能有人就会想，在第二步计算商2的时候，不是要心算一下商1余下11，商2余4,这个判断过程不是要计算2 * 7吗，这用到乘法就不符合题目要求了。但是我们仔细想一下，其实我们不需要用到乘法，因为在二进制情况下，其实要么就是商0，意味着需要除的那个数小于除数，要么就商1，意味着需要除的那个数大于等于除数，而不可能商2，并且二进制里面根本也不会出现2，如下面的二进制计算过程。

对于二进制的话：
18对应的二进制数为10010
7对应的二进制数为111
从被除数10010的最高位(左边)开始：

1.第1位是1，用1除以111不够，商0，所以1 - 111 * 0 = 1，余下1。
2.第2位是0，余数1 * 2 + 0 = 10，用10除以111不够，商0，所以10 - 111 * 0 = 10，余下10。
3.第3位是0，余数10 * 2 + 0 = 100，用100除以111不够，商0，所以100-111*0 = 100，余下100。
4.第4位是1，余数100 * 2 + 1 = 1001，用1001除以111够，商1，所以1001-111*1=10，余下10。
5.第5位是0，余数10*2 + 0 = 100，用100除以111不够，商0，所以100-111*0=100，余下100。
6.计算到最后，余数位100，转为十进制就是4，而商只需将每次计算的商合起来，我们5次计算的结果分别是'0'、'0'、'0'、'1'、'0'，所以合起来的时候需要计算((((((0 * 2) + 0) * 2) + 0) * 2 + 1) * 2) + 0 = 00010 = 10，我们又需要用到乘法了，怎么办呢。我们知道，在计算机中，本身数的存储方式就是以二进制的形式存储的，所以当我们想要把某个数乘2的时候，只需要将这个数进行一次左移的位运算即可，如：十进制3乘以2结果为6，而十进制3在计算机中的存储形式为 11 (这里暂不考虑32为系统或64位系统)，那么我们把 11 左移一位为 110，转为十进制也同样是 6，其实对于十进制数也是如此，如果我们想把十进制3乘以10，那我们是不是也可以直接把 3 左移一位等到 3_，然后空位补上0，就得到30。这样也就解决了合并商的需要用到乘法的问题。

到这里基本上就大概清楚如何不用乘除法和mod运算来进行整数除法了，接下来只需要注意处理一下正负号，和整数的大小限制即可通过LeetCode。
除此之外，需要了解一下python中的bin()函数，可以把十进制数转为二进制数的字符串形式，可能需要用到。

代码：

# 截断小数位class Solution:def divide(self, dividend: int, divisor: int) -> int:# 判断除数和被除数的正负号 并确定结果的正负号is_pos_1 = True if dividend > 0 else Falseis_pos_2 = True if divisor > 0 else Falseresult_is_neg = True if is_pos_1 ^ is_pos_2 else False# 将两个值都转换为正数，其中把被除数转换为二进制字符串'0bXXX'，并去掉'0b'和负号dividend_2_pos = bin(dividend).replace('0b', '').replace('-', '')divisor_pos = -divisor if divisor < 0 else divisor# 按两个正数计算除法temp_divided = 0result = 0for number in dividend_2_pos:temp_divided = (temp_divided << 1) + int(number, 2)if temp_divided >= divisor_pos:temp_divided -= divisor_posresult = (result << 1) + 1else:result = (result << 1)# 判断正负号，以及确定数值范围在[−2^31,  2^31 − 1]result = -result if result_is_neg else resultresult = -2147483648 if result < -2147483648 else resultresult = 2147483647 if result > 2147483647 else resultreturn result

除此之外，这个题目要求的是让截断小数位，但是以下是一个四舍五入的版本的。

# 小数位四舍五入class Solution1:def divide(self, dividend: int, divisor: int) -> int:# 判断除数和被除数的正负号 并确定结果的正负号is_pos_1 = True if dividend > 0 else Falseis_pos_2 = True if divisor > 0 else Falseresult_is_neg = True if is_pos_1 ^ is_pos_2 else False# 将两个值都转换为正数，其中把被除数转换为二进制'0bXXX'，并去掉'0b'和负号dividend_2_pos = bin(dividend).replace('0b', '').replace('-', '')divisor_pos = -divisor if divisor < 0 else divisor# 按两个正数计算除法temp_divided = 0result = 0for number in dividend_2_pos:temp_divided = (temp_divided << 1) + int(number, 2)if temp_divided >= divisor_pos:temp_divided -= divisor_posresult = (result << 1) + 1else:result = (result << 1)# 我们可以发现， 在进行reslut 正负号判断之间进行向上或者向下取整可以 统一起来，否则需要分result的正负号分别讨论向上向下取整# 判断是否向上取整 <我们可以把最后的余数乘以2， 然后与除数比较大小，# 如果大于除数，说明余数是大于除数的1/2， 那么最后就应该向上取整，否则向下取整>is_rounding_up = True if temp_divided << 1 >= divisor_pos else False# 我们这里算到被除数的最后一位就停止了，所以result 本身就是一个整数# 所以，若向上取整，那么reslut需要 +1，否则保持不变result = result + 1 if is_rounding_up else result# 判断正负号，以及确定数值范围在[−2^31,  2^31 − 1]result = -result if result_is_neg else resultresult = -2147483648 if result < -2147483648 else resultresult = 2147483647 if result > 2147483647 else resultreturn result

测试：

class Solution:def divide(self, dividend: int, divisor: int) -> int:# 判断除数和被除数的正负号 并确定结果的正负号is_pos_1 = True if dividend > 0 else Falseis_pos_2 = True if divisor > 0 else Falseresult_is_neg = True if is_pos_1 ^ is_pos_2 else False# 将两个值都转换为正数，其中把被除数转换为二进制字符串'0bXXX'，并去掉'0b'和负号dividend_2_pos = bin(dividend).replace('0b', '').replace('-', '')divisor_pos = -divisor if divisor < 0 else divisor# 按两个正数计算除法temp_divided = 0result = 0for number in dividend_2_pos:temp_divided = (temp_divided << 1) + int(number, 2)if temp_divided >= divisor_pos:temp_divided -= divisor_posresult = (result << 1) + 1else:result = (result << 1)# 判断正负号，以及确定数值范围在[−2^31,  2^31 − 1]result = -result if result_is_neg else resultresult = -2147483648 if result < -2147483648 else resultresult = 2147483647 if result > 2147483647 else resultreturn resultclass Solution1:def divide(self, dividend: int, divisor: int) -> int:# 判断除数和被除数的正负号 并确定结果的正负号is_pos_1 = True if dividend > 0 else Falseis_pos_2 = True if divisor > 0 else Falseresult_is_neg = True if is_pos_1 ^ is_pos_2 else False# 将两个值都转换为正数，其中把被除数转换为二进制'0bXXX'，并去掉'0b'和负号dividend_2_pos = bin(dividend).replace('0b', '').replace('-', '')divisor_pos = -divisor if divisor < 0 else divisor# 按两个正数计算除法temp_divided = 0result = 0for number in dividend_2_pos:temp_divided = (temp_divided << 1) + int(number, 2)if temp_divided >= divisor_pos:temp_divided -= divisor_posresult = (result << 1) + 1else:result = (result << 1)# 我们可以发现， 在进行reslut 正负号判断之间进行向上或者向下取整可以 统一起来，否则需要分result的正负号分别讨论向上向下取整# 判断是否向上取整 <我们可以把最后的余数乘以2， 然后与除数比较大小，# 如果大于除数，说明余数是大于除数的1/2， 那么最后就应该向上取整，否则向下取整>is_rounding_up = True if temp_divided << 1 >= divisor_pos else False# 我们这里算到被除数的最后一位就停止了，所以result 本身就是一个整数# 所以，若向上取整，那么reslut需要 +1，否则保持不变result = result + 1 if is_rounding_up else result# 判断正负号，以及确定数值范围在[−2^31,  2^31 − 1]result = -result if result_is_neg else resultresult = -2147483648 if result < -2147483648 else resultresult = 2147483647 if result > 2147483647 else resultreturn resultif __name__ == "__main__":so = Solution()so1 = Solution1()dividend = 11divisor = 4print('测试1： \ndividend = 11  divisor = 4')print('小数位截断：dividend / divisor = ', so.divide(dividend, divisor))print('四舍五入：dividend / divisor = ', so1.divide(dividend, divisor))print()dividend = 12divisor = 5print('测试2： \ndividend = 12  divisor = 5')print('小数位截断：dividend / divisor = ', so.divide(dividend, divisor))print('四舍五入：dividend / divisor = ', so1.divide(dividend, divisor))

总结：

很不错的一道题嘛，因为这个题还专门回顾了一下计算机的一些位运算，和怎么算减法(你还记得减法怎么算的吗，hia hia hia)，温故而知新~！
并且又重新了解一下bin()、int(number, 2)这两个好玩的函数！

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