Description

给定一张无向连通图，存在边权ccc与点权a" role="presentation">aaa。

加入KKK条特殊边，构造出这些边的边权使得存在一棵最小生成树使得所有点到1" role="presentation">111号点的距离(只考虑特殊边的长度)乘以该点点权的乘积最大。

n⩽1000000,m⩽300000,k⩽20n⩽1000000,m⩽300000,k⩽20n\leqslant1000000,m\leqslant300000,k\leqslant20

Solution

首先强制选择kkk条特殊边，然后做最小生成树。
这次选进MST" role="presentation">MSTMSTMST的边一定会选进最后的MSTMSTMST。所以先用这些边进行缩点，这样就只剩kkk条特殊边和至多k2" role="presentation">k2k2k^2条特殊边。
直接O(k2)O(k2)O(k^2)枚举选择哪些特殊边，然后用k2k2k^2条非特殊边使树联通并求出每条特殊边的边权。
时间复杂度O(mlogm+2k×k2)O(mlogm+2k×k2)O(mlogm+2^k\times k^2)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long lint;
const int maxn = 100005, maxm = 300005;
const int Inf = 1 << 30;int n, m, cnt, tot, tp, root, c[35], fa[2][maxn], f[maxn], d[maxn];
lint siz[maxn], val[maxn];struct node {int u, v, w;bool operator < (const node &a) const {return w < a.w;}
}a[maxm], b[35];inline int gi()
{char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') c = getchar();int sum = 0;while ('0' <= c && c <= '9') sum = sum * 10 + c - 48, c = getchar();return sum;
}int getfa(int k, int x)
{if (fa[k][x] == x) return x;else return fa[k][x] = getfa(k, fa[k][x]);
}struct edge {int to, next;
}e[maxn * 2];
int h[maxn], Tot;inline void add(int u, int v)
{e[++Tot] = (edge) {v, h[u]}; h[u] = Tot;e[++Tot] = (edge) {u, h[v]}; h[v] = Tot;
}void dfs(int u)
{siz[u] = val[u];for (int i = h[u], v; v = e[i].to, i; i = e[i].next) if (v != fa[1][u]) {fa[1][v] = u; d[v] = d[u] + 1; dfs(v);siz[u] += siz[v];}
}int main()
{n = gi(); m = gi(); cnt = gi();for (int i = 1; i <= m; ++i) a[i] = (node) {gi(), gi(), gi()};sort(a + 1, a + m + 1);for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[0][i] = fa[1][i] = i;for (int u, v, i = 1; i <= cnt; ++i) {b[i].u = gi(); b[i].v = gi(); u = getfa(0, b[i].u), v = getfa(0, b[i].v);if (u != v) fa[0][u] = v;}for (int u, v, i = 1; i <= m; ++i) {u  = getfa(0, a[i].u); v = getfa(0, a[i].v);if (u != v) {fa[0][u] = v; fa[1][getfa(1, a[i].u)] = getfa(1, a[i].v);}}root = getfa(1, 1);for (int i = 1; i <= n; ++i) val[getfa(1, i)] += gi();for (int i = 1; i <= n; ++i) if (getfa(1, i) == i) c[++c[0]] = i;for (int i = 1; i <= cnt; ++i) b[i].u = getfa(1, b[i].u), b[i].v = getfa(1, b[i].v);for (int i = 1; i <= m; ++i) a[i].u = getfa(1, a[i].u), a[i].v = getfa(1, a[i].v);for (int u, v, i = 1; i <= m; ++i) {u = getfa(1, a[i].u), v = getfa(1, a[i].v);if (u != v) fa[1][u] = v, a[++tp] = a[i];}lint ans = 0;for (int k = 0; k < (1 << cnt); ++k) {Tot = 0;for (int u, i = 1; i <= c[0]; ++i) {u = c[i]; h[u] = fa[1][u] = 0;fa[0][u] = u; f[u] = Inf;}bool flag = true;for (int u, v, i = 1; i <= cnt; ++i)if (k & (1 << (i - 1))) {u = getfa(0, b[i].u); v = getfa(0, b[i].v);if (u == v) {flag = false; break;} fa[0][u] = v;add(b[i].u, b[i].v);}if (!flag) continue;for (int u, v, i = 1; i <= cnt; ++i) {u = getfa(0, a[i].u); v = getfa(0, a[i].v);if (u != v) {fa[0][u] = v; add(a[i].u, a[i].v);}}dfs(root);for (int u, v, i = 1; i <= cnt; ++i) {u = a[i].u; v = a[i].v;if (d[u] < d[v]) swap(u, v);while (d[u] != d[v]) f[u] = min(f[u], a[i].w), u = fa[1][u];while (u != v) {f[u] = min(f[u], a[i].w); f[v] = min(f[v], a[i].w);u = fa[1][u]; v = fa[1][v];}}lint tmp = 0;for (int u, v, i = 1; i <= cnt; ++i)if (k & (1 << (i - 1))) {u = b[i].u; v = b[i].v;if (d[u] < d[v]) swap(u, v);tmp += siz[u] * f[u];}ans = max(ans, tmp);}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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