LOJ#6103. 「2017 山东二轮集训 Day2」第一题解题报告

前置知识：闭区间上的连续函数的零点存在性定理：

我们定义这样的函数：

定义域为 [ l , r ] ∩ Z [l,r]\cap \mathbb Z [l,r]∩Z 对于 ∀ x ∈ [ l , r − 1 ] ∩ Z \forall x \in [l,r-1]\cap \mathbb Z ∀x∈[l,r−1]∩Z，有 ∣ f ( x + 1 ) − f ( x ) ∣ ≤ 1 |f(x+1)-f(x)|\le 1 ∣f(x+1)−f(x)∣≤1，则称它为定义在闭区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 上的整数连续函数。（我自己瞎定义的）。那么在这上面，零点存在性定理仍适用。

而 μ \mu μ 的前缀和函数显然是这样的函数，于是可以使用这个定理，直接二分即可。

那么关键在于要求 [ 1 , N ] [1,N] [1,N] 范围内 M ( n ) = ∑ i = 1 n μ ( i ) M(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i) M(n)=∑i=1nμ(i) 的最值。其中 N = 1 0 5 , 1 0 7 , 1 0 9 N=10^5,10^7,10^9 N=105,107,109。

对于 N = 1 0 5 , 1 0 7 N=10^5,10^7 N=105,107 的点，直接写个线性筛 μ \mu μ，再线性扫一遍即可。可以求得：

当 N = 1 0 5 N=10^5 N=105 时，最大值点 n 1 = 48433 n_1=48433 n1=48433，最小值点 n 2 = 96014 n_2=96014 n2=96014；

当 N = 1 0 7 N=10^7 N=107 时，最大值点 n 1 = 9993034 n_1=9993034 n1=9993034，最小值点 n 2 = 7109110 n_2=7109110 n2=7109110。

而 N = 1 0 9 N=10^9 N=109 则比较困难，反正我家内存开不下 1 0 9 10^9 109 大小的数组）我采取的策略是分段，每次打 2 × 1 0 8 2\times 10^8 2×108 的表，用区间筛，就可以分五次搞出来。

最后得到的答案：最大值点 n 1 = 903087703 n_1=903087703 n1=903087703，最小值点 n 2 = 456877618 n_2=456877618 n2=456877618。

这里给出最后一次扫 ( 8 × 1 0 8 + 1 ) ∼ 1 0 9 (8\times 10^8+1)\sim 10^9 (8×108+1)∼109 时的程序：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
ll read() {ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');return x * f;
}
const int BAS = 8e8;
const ll PRES = 1130;
const int N = 2e8, SQN = 4e4;
int mu[N+5], lst[N+5], pr[SQN+5], ip[SQN+5], tot;
void sieve(int n) {ip[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++) {if(!ip[i]) {pr[++tot] = i;}for(int j = 1; j <= tot && pr[j] <= n / i; j++) {int k = i * pr[j];ip[k] = 1;if(i % pr[j] == 0) break;}}
}
int main() {sieve(SQN);for(int i = 1; i <= N; i++)   mu[i] = 1, lst[i] = BAS + i;for(int j = 1; j <= tot; j++)for(int i = pr[j] * (BAS / pr[j] + 1); i <= BAS + N; i += pr[j]) {mu[i-BAS] *= -1; lst[i-BAS] /= pr[j];if(lst[i-BAS] % pr[j] == 0)mu[i-BAS] = 0;}for(int i = 1; i <= N; i++) if(lst[i] > 1) mu[i] *= -1;ll sum = PRES; int mx = -1, mn = -1; ll mxv = -1, mnv = -1;for(int i = 1; i <= N; i++) {sum += mu[i];if(mx == -1 || sum > mxv) mx = BAS+i, mxv = sum;if(mn == -1 || sum < mnv) mn = BAS+i, mnv = sum;}printf("mx = %d, mxv = %lld\nmn = %d, mnv = %lld\nsum=%lld\n", mx, mxv, mn, mnv, sum);return 0;
}

于是最后只需要一个写一个杜教筛即可，时间复杂度 O ( n 2 / 3 log ⁡ n ) O(n^{2/3}\log n) O(n2/3logn)。（似乎这个 log ⁡ n \log n logn 可以放到指数下面去？不懂）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
ll read() {ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');return x * f;
}
const int MAXN = 1e6 + 5, N = 1e6;int n, v, mu[MAXN], pr[MAXN], ip[MAXN], tot;
void sieve(int n) {ip[1] = 1; mu[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++) {if(!ip[i]) {pr[++tot] = i;mu[i] = -1;}for(int j = 1; j <= tot && pr[j] <= n / i; j++) {int k = i * pr[j];ip[k] = 1;if(i % pr[j]) mu[k] = -mu[i];else {mu[k] = 0;break;}}}for(int i = 1; i <= n; i++) mu[i] += mu[i-1];
}
map<int, int> Smu;
int Calcsmu(int x) {if(x <= N) return mu[x];map<int, int>::iterator p = Smu.find(x);if(p != Smu.end()) return p->second;int ret = 1;for(int i = 2, j; i <= x; i = j + 1) {int t = x / i; j = x / t;ret -= (j - i + 1) * Calcsmu(t);}return Smu[x] = ret;
}
int main() {sieve(N);n = read(), v = read();int l, r;if(n == 100000) l = 48433, r = 96014;else if(n == 10000000) l = 7109110, r = 9993034;else l = 456877618, r = 903087703;int L = Calcsmu(l), R = Calcsmu(r);if(v > max(L, R) || v < min(L, R)) {printf("-1\n");return 0;}while(l <= r) {int m = (l + r) >> 1, M = Calcsmu(m);if(M == v) {printf("%d\n", m); return 0;}if(L <= R) {if(v < M) r = m, R = M;else l = m, L = M;} else {if(v < M) l = m, L = M;else r = m, R = M;}}return 0;
}