异或性质——前缀异或

昨天遇到一个非常神奇的事情，异或也能维护前缀和？

有两个例题：

例一、子段异或

描述：

给出长度为n的数列，问异或值为0的子段一共有多少？

思路：

之前有一个考前缀和的，求子段和为0的子段个数，做法是这样的：
始终取前缀和，如果该位置的前缀和sum之前出现过，那么那次出现的位置到当前位置这一段总和为0。map存下sum出现的次数。遍历到当前位置，map[sum]便是以当前位置结尾的，子段和为0的子段个数。

其实这道题也是这个思路：
始终取前缀异或，如果当前位置的前缀异或sxor之前出现过，那么那次出现的位置到当前位置这一段的异或值为0。map存下sxor出现次数…

为什么异或也能这样处理呢？

因为：x^x=0，而且异或满足交换律。
所以当前的前缀异或sxor之前出现过，说明中间的那些x都被抵消掉了，也就是中间子段的异或为0了。
如：5 = 5^2^3^4^2^3^4；

Code：

std::map<ll, ll> mp;
ll a[maxn],b[maxn];
int main(){int n;cin >> n;ll ans = 0;mp[0]=1;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];b[i] = a[i] ^ b[i - 1];ans += mp[b[i]];mp[b[i]]++;cout << ans << endl;}cout << ans << endl;return 0;
}
//代码来源：https://www.cnblogs.com/Emcikem/p/12296228.html

例二、异或差分

描述：

给长度为 n 的数列，m 个区间操作 l,r,xl,r,xl,r,x，每次将[l,r][l,r][l,r]中的每个值都异或上 xxx。
输出最终的数列。

思路：

这不和之前的前缀和差分的描述一样么？
但是能用差分么？可以。

先维护异或差分：当前位置 b[i]b[i]b[i] 为当前位置 a[i]a[i]a[i] 异或上 a[i−1]a[i-1]a[i−1]。
对于每个区间操作 [l,r][l,r][l,r]，b[l]b[l]b[l] 异或上 xxx，b[r+1]b[r+1]b[r+1] 异或上 xxx。
最终求一遍前缀异或就行了。

因为：
把区间最左端异或上x，那么最终求前缀异或的时候，后面所有值都会异或上x。但是区间最右端+1的位置也异或x，那么两个相同的值异或就变为0了，那后面的值就不会再异或x了，正好只将区间中的所有值异或。

和前缀和差分有异曲同工之妙！

Code：

int A[N],C[N],L[N],R[N],V[N];
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);A[0]=0;for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",A+i);for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",L+i,R+i,V+i);for(int i=1;i<=n;++i)C[i]=A[i-1]^A[i];for(int i=1;i<=m;++i){int l=L[i],r=R[i],v=V[i];C[l]^=v;C[r+1]^=v;}int val=0;for(int i=1;i<=n;++i){val^=C[i];printf("%d\n",val);}return 0;
}
//代码来源：https://blog.csdn.net/Dch19990825/article/details/90203832

总结一下

这两个例题都是用了同一个原理：x^x=0。
所以并不是真的像前缀和那样，并不是直接将两个位置 r 和 l 的前缀异或值相减就是区间 [l+1,r][l+1,r][l+1,r] 的异或值。

同时，只有异或有这个性质，或(or)和与(and)运算都不可。

如果哪里有问题欢迎留言评论。