文章目录

一、算法概述
二、算法讲解
- 2.1 量子比特编码
- 2.2 量子门更新
三、MATLAB实现
- 3.1 案例描述
- 3.2 算法实现
- - 3.2.1算法流程：
  - 3.2.2算法实现：
  - 3.2.3MATLAB实现：
  - - 3.2.3.1种群初始化
    - 3.2.3.2测量函数
    - 3.2.3.3量子旋转门函数
    - 3.2.3.4适应度函数
    - 3.2.3.5量子遗传主函数
- 3.2结果分析

一、算法概述

量子遗传算法(quantum genetic algorithm,QGA)是量子计算与遗传算法相结合的产物，是一种新发展起来的概率进化算法。遗传算法是处理复杂优化问题的一种方法，其基本思想是模拟生物进化的优胜劣汰规则与染色体的交换机制,通过选择、交叉、变异三种基本操作寻找最优个体。由于GA不受问题性质、优化准则形式等因素的限制，仅用目标函数在概率引导下进行全局自适应搜索，能够处理传统优化方法难以解决的复杂问题，具有极高鲁棒性和广泛适用性，因而得到了广泛应用并成为跨学科研究的热点。但是，若选择、交叉、变异的方式不当，GA会表现出选代次数多、收敛速度慢、易陷入局部极值的现象。
量子计算中采用量子态作为基本的信息单元，利用量子态的叠加、纠缠和干涉等特性，通过量子并行计算可以解决经典计算中的NP问题NP问题。1994年Shor提出第一个量子算法，求解了大数质因子分解的经典计算难题，该算法可用于公开密钥系统RSA；1996年Grover提出随机数据库搜索的量子算法，在量子计算机上可实现对未加整理的数据库 N \sqrt{N} N 量级的加速搜索。量子计算正以其独特的计算性能迅速成为研究的热点。
量子遗传算法就是基于量子计算原理的一种遗传算法。将量子的态矢量表达引人遗传编码,利用量子逻辑门实现染色体的演化，达到了比常规遗传算法更好的效果。
量子遗传算法建立在量子的态矢量表示的基础之上，将量子比特的几率幅表示应用于染色体的编码，使得一条染色体可以表达多个态的叠加，并利用量子逻辑门实现染色体的更新操作,从而实现了目标的优化求解。

二、算法讲解

2.1 量子比特编码

2.2 量子门更新

量子门作为演化操作的执行机构，可根据具体问题进行选择，目前已有的量子门有很多种，根据量子遗传算法的计算特点，选择量子旋转门较为合适。量子旋转门的调整操作为：
U ( θ i ) = [ cos ⁡ ( θ i ) − sin ⁡ ( θ i ) sin ⁡ ( θ i ) c o s ( θ i ) ] (2.2.1) U(\theta_i) = \begin{bmatrix} \cos(\theta_i)&-\sin(\theta_i)\tag{2.2.1}\\ \sin(\theta_i)&cos(\theta_i)\\ \end{bmatrix} U(θi)=[cos(θi)sin(θi)−sin(θi)cos(θi)](2.2.1)
其更新过程如下：
[ α i ′ β i ′ ] = U ( θ i ) [ α i β i ] = [ cos ⁡ ( θ i ) − sin ⁡ ( θ i ) sin ⁡ ( θ i ) c o s ( θ i ) ] [ α i β i ] (2.2.2) \begin{bmatrix} \alpha_i'\\ \beta_i' \end{bmatrix} =U(\theta_i) \begin{bmatrix} \alpha_i\\ \beta_i \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos(\theta_i)&-\sin(\theta_i)\\ \sin(\theta_i)&cos(\theta_i)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_i\tag{2.2.2}\\ \beta_i \end{bmatrix} [αi′βi′]=U(θi)[αiβi]=[cos(θi)sin(θi)−sin(θi)cos(θi)][αiβi](2.2.2)
其中， ( α i , β i ) T (\alpha_i,\beta_i)^T (αi,βi)T和 ( α i ′ , β i ′ ) T (\alpha_i',\beta_i')^T (αi′,βi′)T代表染色体第 i i i个量子比特旋转门更新前后的概率幅； θ i \theta_i θi为旋转角，它的大小和符号由事先设计的调整策略确定。
由(2.2.2)可以得到 α i ′ 和 β i ′ \alpha_i'和\beta_i' αi′和βi′分别为：
{ α i ′ = α i cos ⁡ ( θ i ) − β i sin ⁡ ( θ i ) β i ′ = α i sin ⁡ ( θ i ) + β i cos ⁡ ( θ i ) \begin{cases} \alpha_i' = \alpha_i\cos(\theta_i)-\beta_i\sin(\theta_i)\\ \beta_i' = \alpha_i\sin(\theta_i)+\beta_i\cos(\theta_i)\\ \end{cases} {αi′=αicos(θi)−βisin(θi)βi′=αisin(θi)+βicos(θi)
所以
∣ α i ′ ∣ 2 + ∣ β i ′ ∣ 2 = [ α i cos ⁡ ( θ i ) − β i sin ⁡ ( θ i ) ] 2 + [ α i sin ⁡ ( θ i ) + β i cos ⁡ ( θ i ) ] 2 = ∣ α i ∣ 2 + ∣ β i ∣ 2 = 1 |\alpha_i'|^2 +|\beta_i'|^2 = [ \alpha_i\cos(\theta_i)-\beta_i\sin(\theta_i)]^2 + [ \alpha_i\sin(\theta_i)+\beta_i\cos(\theta_i)]^2=|\alpha_i|^2 +|\beta_i|^2 =1 ∣αi′∣2+∣βi′∣2=[αicos(θi)−βisin(θi)]2+[αisin(θi)+βicos(θi)]2=∣αi∣2+∣βi∣2=1
可以看出变换之后 ∣ α i ′ ∣ 2 + ∣ β i ′ ∣ 2 |\alpha_i'|^2 +|\beta_i'|^2 ∣αi′∣2+∣βi′∣2的值扔为1。

三、MATLAB实现

3.1 案例描述

复杂的二元函数求最值：
max ⁡ f ( x , y ) = x s i n ( 4 π x ) + y s i n ( 20 π y ) { − 3.0 ≤ x ≤ 12.1 4.1 ≤ y ≤ 5.8 \max f(x,y)=xsin(4\pi x) + ysin(20\pi y) \\ \begin{cases} -3.0 \leq x \leq12.1\\ 4.1 \leq y \leq 5.8 \end{cases} maxf(x,y)=xsin(4πx)+ysin(20πy){−3.0≤x≤12.14.1≤y≤5.8
该函数的图形如下：

从图中可以看出，该非线性函数在给定范围内分布着许多局部极值，通常的寻优算法极易陷入局部极值或在各局部极值间振荡，比较适用于验证量子遗传算法的性能。

3.2 算法实现

3.2.1算法流程：

初始化种 Q ( t 0 ) Q(t_0) Q(t0)，随机生成 n n n个以量子比特为编码的染色体；
对初始种群 Q ( t 0 ) Q(t_0) Q(t0)中的每个个体进行一次测量,得到对应的确定解 P ( t 0 ) P(t_0) P(t0)；
对各确定解进行适应度评估；
记录最优个体和对应的适应度；
判断计算过程是否可以结束,若满足结束条件则退出,否则继续计算；
对种群 Q ( t ) Q(t) Q(t)中的每个个体实施一次测量,得到相应的确定解;
对各确定解进行适应度评估；
利用量子旋转门U(t)对个体实施调整,得到新的种群 Q ( t + 1 ) Q(t+1) Q(t+1)；
记录最优个体和对应的适应度；
将选代次数t加1，返回步骤(5)。

对应的流程图如下：

算法步骤(1)是初始化种群 Q ( t 0 ) Q(t_0) Q(t0)，种群中全部染色体的所有基因 ( α i t , β i t ) (\alpha_i^t,\beta_i^t) (αit,βit)都被初始化为 ( 1 2 , 1 2 ) (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) (2 1,2 1)，这意味着一个染色体所表达的是其全部可能状态的等概率叠加:
∣ ϕ q j t ) = ∑ k = 1 2 m 1 2 m ∣ S k ) |\phi_{q_j}^t) = \sum\limits_{k=1}^{2^m}\frac{1}{\sqrt{2}^m}|S_k) ∣ϕqjt)=k=1∑2m2 m1∣Sk)
其中， S k S_k Sk为该染色体的第k种状态，表现形式为一长度为m的二进制串 ( x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x m ) (x_1,x_2,···,x_m) (x1,x2,⋅⋅⋅,xm)， x i x_i xi的值为0或者1。
算法的步骤(2)是对初始种群中的个体进行一次测量，以获得一组确定的解 P ( t ) P(t) P(t) = { p 1 t , p 2 t , ⋅ ⋅ ⋅ , p n t p_1^t,p_2^t,···,p_n^t p1t,p2t,⋅⋅⋅,pnt}，其中 p j t p_j^t pjt为第 t t t代种群中第 j j j个解(第 j j j个个体的测量值)，表现形式为长度为m的二进制串，其中每一位为0或1，是根据量子比特的概率 ( ∣ α i t ∣ 2 或 ∣ β i t ∣ 2 , i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , m ) (|\alpha_i^t|^2或|\beta_i^t|^2,i=1,2,···,m) (∣αit∣2或∣βit∣2,i=1,2,⋅⋅⋅,m)选择得到的。测量过程为，随机产生一个[0,1]区间的数，若它大于概率幅的平方，则测量结果取值1，否则取值0。然后，对这一组解进行适应度评估，记录下最佳适应度个体作为下一步演化的目标值。
随后，算法进人循环选代阶段，随着迭代的进行，种群的解逐渐向最优解收敛。在每一次迭代中，首先对种群进行测量，以获得一组确定解 P ( t ) P(t) P(t)，然后计算每个解的适应度值，再根据当前的演化目标和事先确定的调整策略，利用量子旋转门对种群中的个体进行调整，获得更新后的种群，记录下当前的最优解，并与当前的目标值进行比较，如果大于当前目标值，则以新的最优解作为下一次迭代的目标值，否则保持当前的目标值不变。

3.2.2算法实现：

(1)量子比特编码
采用遗传算法中的二进制编码，对存在多态的问题进行量子比特编码，如两态用一个量子比特进行编码，四态用两个量子比特进行编码。该方法的优点是通用性好，且实现简单。采用多量子比特编码m个参数的基因如下:

其中， q j t q_j^t qjt代表第 t t t代，第 j j j个个体的染色体； k k k为编码每一个基因的量子比特数； m m m为染色体的基因个数。
将种群各个个体的量子比特编码 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β)都初始化为 ( 1 2 , 1 2 ) (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) (2 1,2 1)，这意味着一个染色体所表达的全部可能状态是等概率的。

(2)量子旋转门
量子遗传算法中，旋转门是最终实现演化操作的执行机构。这里使用一种通用的、与问题无关的调整策略，如下表所列。
其中， x i x_i xi为当前染色体的第 i i i位； b e s t i best_i besti为当前的最优染色体的第 i i i位； f ( x ) f(x) f(x)为适应度函数； s ( α i , β i ) s(\alpha_i,\beta_i) s(αi,βi)为旋转角方向； △ θ i \triangle\theta_i △θi为旋转角度大小，其值根据下表中所列的选择策略确定。该调整策略是将个体 q j t q_j^t qjt，当前的测量值的适应度 f ( x ) f(x) f(x)与该种群当前最优个体的适应度值 f ( b e s t i ) f(best_i) f(besti)进行比较，如果 f ( x ) > f ( b e s t ) f(x)>f(best) f(x)>f(best)，则调整 q j t q_j^t qjt中相应位量子比特，使得几率幅对 ( α i , β i ) (\alpha_i,\beta_i) (αi,βi)向着有利于 x i x_i xi出现的方向演化；反之，如果 f ( x ) < f ( b e s t ) f(x)<f(best) f(x)<f(best)，则调整 q j t q_j^t qjt中相应位量子比特，使得几率幅对 ( α i , β i ) (\alpha_i,\beta_i) (αi,βi)向着有利于 b e s t best best出现的方向演化。

x i x_i xi	b e s t i best_i besti	f ( x ) > f ( b e s t ) f(x)>f(best) f(x)>f(best)	△ θ i \triangle\theta_i △θi	s ( α i , β i ) α i β i > 0 s(\alpha_i,\beta_i) ~~~\alpha_i\beta_i>0 s(αi,βi) αiβi>0	s ( α i , β i ) α i β i < 0 s(\alpha_i,\beta_i) ~~~\alpha_i\beta_i<0 s(αi,βi) αiβi<0	s ( α i , β i ) α = 0 s(\alpha_i,\beta_i) ~~~\alpha=0 s(αi,βi) α=0	s ( α i , β i ) β i = 0 s(\alpha_i,\beta_i) ~~~\beta_i=0 s(αi,βi) βi=0
0	0	false	0	0	0	0	0
0	0	true	0	0	0	0	0
0	1	false	0.01 π \pi π	+1	-1	0	± 1 \pm1 ±1
0	1	true	0.01 π \pi π	-1	+1	± 1 \pm1 ±1	0
1	0	false	0.01 π \pi π	-1	+1	± 1 \pm1 ±1	0
1	0	true	0.01 π \pi π	+1	-1	0	± 1 \pm1 ±1
1	1	false	0	0	0	0	0
1	1	true	0	0	0	0	0

3.2.3MATLAB实现：

3.2.3.1种群初始化

种群初始化函数为InitPop，其作用是产生初始种群的量子比特编码矩阵chrom。

function chrom=InitPop(M,N)
%% 初始化种群-量子比特编码
% M:为种群大小×2，(α和β)
% N:为量子比特编码长度
for i=1:Mfor j=1:Nchrom(i,j)=1/sqrt(2);end
end

3.2.3.2测量函数

对种群实施一次测量，得到二进制编码，函数名为collapse。

function binary=collapse(chrom)
%% 对种群实施一次测量 得到二进制编码
% 输入chrom ：为量子比特编码
% 输出binary：二进制编码
[M,N]=size(chrom);  %得到种群大小 和编码长度
M=M/2;  % 种群大小
binary=zeros(M,N);  %二进制编码大小初始化
for i=1:Mfor j=1:Npick=rand;  %产生【0,1】随机数if pick>(chrom(2.*i-1,j)^2)    % 随机数大于α的平方binary(i,j)=1;elsebinary(i,j)=0;endend
end

3.2.3.3量子旋转门函数

旋转门是最终实现演化操作的执行机构，量子旋转门函数为Qgate,代码如下:

function chrom=Qgate(chrom,fitness,best,binary)
%% 量子旋转门调整策略
% 输入  chrom：更新前的量子比特编码
%     fitness：适应度值
%        best：当前种群中最优个体
%      binary：二进制编码
% 输出  chrom：更新后的量子比特编码
sizepop=size(chrom,1)/2;
lenchrom=size(binary,2);
for i=1:sizepopfor j=1:lenchromA=chrom(2*i-1,j);   % αB=chrom(2*i,j);     % βx=binary(i,j);b=best.binary(j);if ((x==0)&(b==0))||((x==1)&(b==1))delta=0;                  % delta为旋转角的大小s=0;                        % s为旋转角的符号，即旋转方向elseif (x==0)&(b==1)&(fitness(i)<best.fitness)delta=0.01*pi;if A*B>0s=1;elseif A*B<0s=-1;elseif A==0s=0;elseif B==0s=sign(randn);endelseif (x==0)&(b==1)&(fitness(i)>=best.fitness)delta=0.01*pi;if A*B>0s=-1;elseif A*B<0s=1;elseif A==0s=sign(randn);elseif B==0s=0;endelseif (x==1)&(b==0)&(fitness(i)<best.fitness)delta=0.01*pi;if A*B>0s=-1;elseif A*B<0s=1;elseif A==0s=sign(randn);elseif B==0s=0;endelseif (x==1)&(b==0)&(fitness(i)>=best.fitness)delta=0.01*pi;if A*B>0s=1;elseif A*B<0s=-1;elseif A==0s=0;elseif B==0s=sign(randn);endende=s*delta;       % e为旋转角U=[cos(e) -sin(e);sin(e) cos(e)];      % 量子旋转门y=U*[A B]';        % y为更新后的量子位chrom(2*i-1,j)=y(1);chrom(2*i,j)=y(2);end
end

3.2.3.4适应度函数

这里以求解最大值问题为例进行说明。如果是求解最小值问题，可以将之转变成求最大值问题(加个负号即可)，目标值越大的个体，其适应度值也应该越大，所以可以直接将所优化的目标函数作为适应度函数。
适应度主函数FitnessFunction的代码如下:

function [fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom)
%% 适应度函数
% 输入  binary：二进制编码
%     lenchrom：各变量的二进制位数
% 输出 fitness：适应度
%            X：十进制数（待优化参数）
sizepop=size(binary,1);
fitness=zeros(1,sizepop);
num=size(lenchrom,2);
X=zeros(sizepop,num);
for i=1:sizepop[fitness(i),X(i,:)]=Objfunction(binary(i,:),lenchrom);         % 使用目标函数计算适应度
end

其中,函数Objfunction是待优化的目标函数，这里以3.1节中的函数为例进行说明。
函数Objfunction的代码:

function [Y,X]=Objfunction(x,lenchrom)
%% 目标函数
% 输入     x：二进制编码
%   lenchrom：各变量的二进制位数
% 输出     Y：目标值
%          X：十进制数
bound=[-3.0 12.1;4.1 5.8];   % 函数自变量的范围
%% 将binary数组转化成十进制数组
X=bin2decFun(x,lenchrom,bound);
%% 计算适应度-函数值
Y=sin(4*pi*X(1))*X(1)+sin(20*pi*X(2))*X(2);

其中,函数bin2decFun是将二进制编码转换成十进制数,其代码如下:

function X=bin2decFun(x,lenchrom,bound)
%% 二进制转化成十进制
% 输入      x：二进制编码
%    lenchrom：各变量的二进制位数
%       bound：各变量的范围
% 输出      X：十进制数
M=length(lenchrom);
n=1;
X=zeros(1,M);
for i=1:Mfor j=lenchrom(i)-1:-1:0X(i)=X(i)+x(n).*2.^j;n=n+1;end
end
X=bound(:,1)'+X./(2.^lenchrom-1).*(bound(:,2)-bound(:,1))';

3.2.3.5量子遗传主函数

clc;
clear all;
close all;
%----------------参数设置-----------------------
MAXGEN=200;                        % 最大遗传代数
sizepop=40;                        % 种群大小
lenchrom=[20 20];          % 每个变量的二进制长度
trace=zeros(1,MAXGEN);
%--------------------------------------------------------------------------
% 最佳个体 记录其适应度值、十进制值、二进制编码、量子比特编码
best=struct('fitness',0,'X',[],'binary',[],'chrom',[]);
%% 初始化种群
chrom=InitPop(sizepop*2,sum(lenchrom));
%% 对种群实施一次测量 得到二进制编码
binary=collapse(chrom);
%% 求种群个体的适应度值，和对应的十进制值
[fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom);   % 使用目标函数计算适应度
%% 记录最佳个体到best
[best.fitness bestindex]=max(fitness);     % 找出最大值
best.binary=binary(bestindex,:);
best.chrom=chrom([2*bestindex-1:2*bestindex],:);
best.X=X(bestindex,:);
trace(1)=best.fitness;
fprintf('%d\n',1)
%% 进化
for gen=2:MAXGENfprintf('%d\n',gen)  %提示进化代数%% 对种群实施一次测量binary=collapse(chrom);%% 计算适应度[fitness,X]=FitnessFunction(binary,lenchrom);%% 量子旋转门chrom=Qgate(chrom,fitness,best,binary);[newbestfitness,newbestindex]=max(fitness);    % 找到最佳值% 记录最佳个体到bestif newbestfitness>best.fitnessbest.fitness=newbestfitness;best.binary=binary(newbestindex,:);best.chrom=chrom([2*newbestindex-1:2*newbestindex],:);best.X=X(newbestindex,:);endtrace(gen)=best.fitness;
end%% 画进化曲线
plot(1:MAXGEN,trace);
title('进化过程');
xlabel('进化代数');
ylabel('每代的最佳适应度');%% 显示优化结果
disp(['最优解X：',num2str(best.X)])
disp(['最大值Y:',num2str(best.fitness)]);

3.2结果分析

最优解X:11.6255 5.72504
最大值Y:17.3503
量子遗传算法优化200代得到的进化过程如下图所示。

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