一、理论基础

1、工具箱介绍

粒子群算法具有操作简单、算法搜索高效等优点，该算法对优化函数没有连续可微的要求，通用性较强，对多变量、非线性、不连续及不可微的问题求解有较大的优势。PSO工具箱由美国北卡罗来纳州立大学航空航天与机械系教授Brian Birge开发，该工具箱将PSO算法的核心部分封装起来，提供给用户的为算法的可调参数，用户只需要定义需要优化的函数，并设置好函数自变量的取值范围、每步迭代允许的最大变化量等，即可进行优化。

2、工具箱函数解释

PSO工具箱中包括的主要函数如表1所列。

表1 函数名称及功能

该工具箱的主要函数是pso_Trelea_vectorized，通过配置该函数的输入参数，即可进行函数的优化。函数pso_Trelea_vectorized一共包含8个参数，具体解释如下：
[optOut, tr, te]=pso_Trelea_vectorized(functname, D, mv, VarRange, minmax, PSOparams, plotfcn, PSOseedValue)
（1）functname：优化函数名称。
（2）D：待优化函数的维数。
（3）mv：最大速度取值范围。
（4）VarRange：粒子位置取值范围。
（5）minmax：寻优参数，决定寻找的是最大化模型、最小化模型还是和某个值最接近。当minmax=1时，表示算法寻找最大化目标值；当minmax=0时，表示算法寻找最小化目标值；当minmax=2时，表示算法寻找的目标值与PSOparams数组中的第12个参数最相近。
（6）plotfcn：绘制图像函数，默认为“goplotpso”。
（7）PSOseedValue：初始化粒子位置，当PSOparams数组中的第13个参数为0时，该参数有效。
（8）PSOparams：算法中具体用到的参数，为一个13维的数组，如下所示：
PSOparams=[100 2000 24 2 2 0.9 0.4 1500 1e-25 250 NaN 0 0]
其中各参数的作用如下：
第1个参数表示MATLAB命令窗显示的计算过程的间隔数，100表示算法每迭代100次显示一次运算结果，如取值为0，不显示计算中间过程。
第2个参数表示算法的最大迭代次数，在满足最大迭代次数后算法停止，此处表示最大迭代次数为2000,。
第3个参数表示种群中个体数目，种群个体越多，越容易收敛到全局最优解，但算法收敛速度越慢，此处表示种群个体为24.
第4个参数、第5个参数为算法的加速度参数，分别影响局部最优值和全局最优值，一般采用默认值2.
第6个参数、第7个参数表示算法开始和结束时的权值，其他时刻的权值通过线性计算求得，此处表示算法开始时的权值为0.9，算法结束时的权值为0.4。
第8个参数表示当迭代次数超过该值时，权值取PSOparams中的第6个参数和PSOparams中的第7个参数的最小值。
第9个参数表示算法终止阈值，当连续两次迭代中对应种群最优值变化小于此阈值时，算法终止，此处值为1e-25。
第10个参数表示用于终止算法的阈值。当连续250次迭代中函数的梯度值仍然没有变化，则退出迭代。
第11个参数表示优化问题是否有约束条件，取NaN时表示为非约束条件下的优化问题。
第12个参数表示使用粒子群算法类型。
第13个参数表示种群初始化是否采用制定的随机种子，0表示随机产生种子，1表示用户自行产生种子。

二、案例背景

1、问题描述

本案例寻优的函数为z=0.5(x−3)2+0.2(y−5)2−0.1(1)z=0.5(x-3)^2+0.2(y-5)^2-0.1\tag{1}z=0.5(x−3)2+0.2(y−5)2−0.1(1)该函数的最小值点为-0.1，对应的点坐标为(3,5)。

2、工具箱设置

PSO工具箱路径设置分为两步：
（1）在MATLAB的菜单栏单击“设置路径”，如图1所示。
（2）在弹出的对话框中单击“添加文件夹”按钮，然后找到工具箱所在位置，如图2所示。

图1 路径设置步骤1

图2 路径设置步骤2

三、MATLAB程序实现

1、适应度函数

适应度函数用于计算粒子的适应度值，程序代码如下：

function fitness = test_func(individual)
%% 计算粒子的适应度值
% individual    input         粒子个体
% fitness       output        适应度值
x = individual(:, 1);
y = individual(:, 2);
for i = 1:size(individual, 1)fitness(:, i) = 0.5 * (x(i)-3)^2+0.2 * (y(i)-5)^2-0.1;
end

2、主函数

主函数编程实现基于粒子群工具箱的函数寻优，程序代码如下：

%% 基于粒子群工具箱的函数优化算法
%% 清空环境
clear
clc%% 参数初始化
x_range = [-50, 50];                     % 参数x变化范围
y_range = [-50, 50];                     % 参数y变化范围
range = [x_range; y_range];              % 参数变化范围(组成矩阵)
Max_V = 0.2 * (range(:, 2)-range(:, 1)); % 最大速度取变化范围的10%~20%
n = 2;                                                            % 待优化函数的维数，此例子中仅x、y两个自变量，故为2% 算法参数
PSOparams = [25 2000 24 2 2 0.9 0.4 1500 1e-25 250 NaN 0 0];%% 粒子群寻优
pso_Trelea_vectorized('test_func', n, Max_V, range, 0, PSOparams)  % 调用PSO核心模块

3、仿真结果

本案例中PSO算法的基本参数设置为：种群中个体数目为24，算法进化次数为2000，加速度参数为2，初始权值为0.9，结束权值为0.4，权值线性变化，算法每次迭代的终止阈值为1e-25，采用标准粒子群算法，随机产生初始化种群。
算法经过仿真，得到的最优值为(3,5)，对应的最优适应度值为-0.1，算法仿真过程如图3所示。

图3 仿真过程

从仿真过程可以看出，PSO工具箱能够快速找到函数的最小值点，并且搜索速度快，算法很快收敛。

四、延伸阅读

采用PSO工具箱寻找Rosenbrock函数极值，函数形式为y=100(x1−x22)2+(x2−1)2(2)y=100(x_1-x_2^2)^2+(x_2-1)^2\tag{2}y=100(x1−x22)2+(x2−1)2(2)函数图形如图4所示。

图4 Rosenbrock函数图形

该函数的最优值位置为(1,1)，对应的最优值为0，算法参数设置与上述案例一致。
算法经过仿真，得到的最优解为(1,1)，对应的最优值为0，算法仿真过程如图5所示。

图5 算法仿真过程

五、参考文献

[1] 张丽平. 粒子群优化算法的理论及实践[D]. 杭州: 浙江大学, 2015.
[2] 吕振肃, 侯志荣. 自适应变异的粒子群优化算法[J]. 电子学报, 2004, 32(3): 416-420.
[3] 郁磊, 史峰, 王辉, 等. MATLAB智能算法30个案例分析(第2版)[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2015.

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