信号与线性系统中LTI系统分析方法的不断优化

在信号与线性系统分析中，分析对象是线性时不变系统（LTI），即输入信号的线性组合等于输出信号的线性组合，且系统的参数不随时间变化。对应描述该系统的数学模型可以是常系数微分方程（输入信号为连续信号），常系数差分方程（输入信号为离散信号）。系统分析可以理解为已知输入输入信号，分析系统得到描述系统的数学模型，求解输出信号。这也是系统设计的第一步，得到输出后看是否符合效果再进行改进和设计。而对于LTI系统的方程，求解方法有时域法和变换法。

先来分析输入信号为连续信号的情况。此时进行系统分析求解输出信号即系统的全响应，对应求解常系数微分方程的问题。

系统的全响应由零输入响应和零状态响应组成，即输出信号由系统零时刻的响应和输入信号对应响应相加得到。零输入响应表示，在输入信号为0情况下，由系统初始状态决定，固有响应，只需要求解常系数齐次微分方程，直接用特征方程，依据根的情况得到对应解的形式，再代入初始状态得到结果。零状态响应，在初始状态为0，只由输入信号引起的响应，强迫响应，求解常系数非齐次微分方程，其解分为通解和特解，其中通解通过特征方程得到，容易求解，但特解求解有困难的，对输入信号即激励有要求，只有对应表上的激励才可以写出对应形式特解，如幂函数，e指数函数，三角函数等等，对于任意信号，还是无法求解出其特解，不能求出对应零状态响应。

那么我们现在的问题是如何求解零状态响应。在这之前，先看看系统初始状态的问题。在求解微分方程的时候，为了确定待定系数所需要一组初始值是t=0+时的值，而在t=0-时，激励尚未接入，因而响应及其各阶导数在该时刻的值反映了系统历史情况而与激励无关，对于激励中有冲击函数及其导数时，t=0时刻接入会使得响应及其导数可能会发生跃变，就需要我们从 0-去求解0+时的响应及其导数，采用待定系数法和积分操作即可求解。
先引入冲击响应和阶跃响应，顾名思义就是当输入信号是冲激函数或者是阶跃函数时求解系统的输出信号，均为较难求解的零状态响应。对于冲激响应的求解，由于冲激信号的特殊性，只会在t=0处作用，在t>0区间函数为0，系统的激励为0，只有冲激引起的那些储能在起作用，因而系统的冲激响应由上述储能唯一地确定，依次，冲激信号在t>0时与该系统的零输入响应（即对应的齐次解有相同的函数形式，只需要考虑求解出对应时刻的就可以得到对应冲激响应，避免了特解的复杂求解。我们也可以发现冲激响应和系统的特性有关，系统的特性表现在微分方程的系数中。

LTI系统具有良好的性质加上冲激信号的筛选性，我们可以把输入信号分解为众多的冲激信号之和（积分），从而得到LTI系统对任意输入信号的零状态响应是输入信号和冲激响应的卷积积分，这时问题就变成了冲激响应求解，和最后的卷积积分的求解，同时利用卷积的性质可以简化求解。这样来对于冲激信号的零状态响应求解的难易程度低于对于任意信号零状态响应求解的难易程度，避免了对不同激励特解形式的求解。

上述讨论的情况是在输入信号为连续信号时。在离散信号作为输入信号时，系统描述采用差分方程的模型，其分析方法类似连续系统的微分方程。在LTI离散系统中，以单位序列为基本信号来分析线性较复杂的信号，LTI离散系统的零状态响应等于激励和系统单位序列响应的卷积和。

但采用卷积的方法求解存在缺陷，求解卷积仍然是一件比较困难的事情，且随着微分方程次数的上升，求解会变得困难。且在时间域上分析系统存在一些问题，比如对无序的信号的滤波操作难以进行。

下面从输入信号为连续信号情况下对LTI系统的分析方法进行改进，离散信号类似，虽有差别，不再做更多讨论。

因此，根据傅里叶变换，我们引入了频域分析，变换法对系统进行分析。首先，对于周期信号有傅里叶级数，把信号表示成三角函数或者指数函数，而对于非周期信号，就是周期信号的周期趋向无穷的时候，可以发现此时非周期信号可以表示成该信号乘上指数函数的积分后再乘上一指数函数的积分，原来的信号变换最后还是得到该信号，符合我们对信号处理的要求，希望处理过后还可以得到原来的信号，非周期信号还需满足绝对可积条件。而经过傅里叶变换后信号具有良好的性质，变换前信号的卷积变成变换后信号的乘积，即时域上的卷积变成了频域上的乘积。求解代数方程一定程度上好于求解微分方程。频域上的系统分析和时域上的平行，类似进行系统分析，求解出输出信号。具体步骤为：时域上的冲激响应进行傅里叶变换得到频域上的频域响应，且频域响应可以从对微分方程两边进行傅里叶变换求解得到，其值为输出信号的傅里叶变换比上输入信号的傅里叶变换。因此，我们就得到了频域上系统分析的方法：求解输入信号的傅里叶变换，根据微分方程求解对应的频域响应，对应输出信号的频谱函数就为两个频域上函数的乘积，最后在求解傅里叶逆变换得到输出信号。

但从上面的运算过程，我们也可以发现一些问题。比如，求解输入信号的傅里叶变换，首先函数需要满足绝对可积条件，再然后，我们才能根据一些已知信号的傅里叶变换和性质求解得到，这个过程是存在困难的，且对于不满足绝对可积的输入信号，不能用这种方法求解，再有频域响应好求解，但最后的傅里叶逆变换，积分求解也会存在一些困难，有部分难以求解了，这个时候，傅里叶变换就行不通，就像卷积的提出只能解决一部分问题，也并不能用这个解决所有的问题。当然，虽然傅里叶变换在系统分析方面有一定局限性，但对信号的分析处理还是十分重要的。比如把信号在频域上展开，便于进行滤波操作，使得一定频率值的信号去除变得简单，这在时域上是很难做到的。

对于傅里叶变换存在的局限性，我们又引入了拉普拉斯变化，解决的最大问题就是函数不满足绝对可以怎么办不能进行变换怎么办，给信号乘以衰减因子使得满足条件，这样又可以进行求解。最后更多改进方法待继续深入学习！

总结一下上面的思路，对于线性时不变系统，输入信号为连续信号的情况下，首先引入了微分方程的数学模型来描述，进行系统分析，目的是为了得到系统的输出信号。那么我们的问题就转变成了求微分方程。为此，我们有在时域上从数学角度的经典求解微分方程法，改进过后卷积方法，使得求解微分方程中特解的困难一定解决。但卷积本身的计算存在一定难度，加之信号处理的需要，又引入了频域上的分析，进行信号变换，从而，求微分方程的问题变成了求代数方程的问题和求解傅里叶变换和逆变换的问题，一定程度上又简化了运算。对于不满足条件的输入信号，又再引入拉普拉斯变换。分析方法在不断改进和优化，惊叹于先人的绝妙理论。我们永远都在追求着更好的解决方案，对现有方法的问题和不足促使我们发展。

参考文献
[1]吴大正等信号与线性系统分析.第四版.北京：高等教育出版社

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