本文为信号与线性系统上课笔记。

文章目录

1. 信号与系统
- 1.2 信号
- - 信号自变量变换
  - 信号的特性
  - 基本常用信号
  - 冲激函数及其性质
- 1.3 系统
- - 时间系统基本单元
  - 输入输出方程
  - 系统性质
2. 信号与系统的时域分析
- 2.1 连续LTI卷积
- - 信号的时域分解
  - 卷积
  - 图解卷积
  - 卷积性质
- 2.2 连续LTI单位冲激响应
- - 微分方程描述
  - 单位冲激响应求解
- 2.3 离散LTI卷积
- - 卷积和
  - 图解法
  - 性质
- 2.4 离散LTI单位脉冲响应
- - 差分方程描述
  - 单位脉冲响应求解
- 2.4 系统性质分析
- 2.5 离散LTI系统方框图
- 2.6 连续LTI系统方框图
3 连续时间信号与系统的频域分析
- 3.1 信号分解
- 3.2 周期信号傅立叶级数
- - 性质
- 3.3 傅立叶变换
- - 频谱
  - 非周期信号傅立叶变换
  - 常用傅立叶变换
  - 周期信号傅立叶变换
- 3.4 傅立叶变换性质
- 3.5 连续时间系统频域分析
- - 理想低通滤波器
  - 调制与解调
- 连续信号的时域抽样
4 连续时间信号与系统的频域分析
- 4.1 信号分解
- 4.2 离散时间周期信号傅立叶级数
- 4.3 傅立叶变换
- - 非周期信号傅立叶变换
  - 常用序列傅立叶变换
  - 周期信号傅立叶变换
- 4.4 傅立叶变换性质
- 4.5 离散时间系统频域分析
- 4.6 离散傅里叶变换
- - 性质
5. 拉普拉斯变换
- 5.1 收敛域
- 5.2 常用拉普拉斯变换
- 5.3 双边拉普拉斯变换性质
- 5.4 拉普拉斯反变换
- 5.5 连续时间系统复频域分析方法
- 5.6 单边拉普拉斯变换
- - 性质
6. Z\mathscr{Z}Z变换
- 6.1 Z\mathscr{Z}Z变换
- 6.2 常用Z\mathscr{Z}Z变换
- 6.3 双边Z\mathscr{Z}Z变换常用性质
- 6.4 Z\mathscr{Z}Z反变换
- - 幂级数展开法
  - 部分式展开法
- 6.5 离散时间LTI的Z\mathscr{Z}Z域分析方法

1. 信号与系统

1.2 信号

信号自变量变换

平移 x(t)→x(t+t0)/x(t−t0)x\left(t\right)\rightarrow x\left(t+t_0\right)/x\left(t-t_0\right)x(t)→x(t+t0)/x(t−t0)
反转 x(t)→x(−t)x\left(t\right)\rightarrow x\left(-t\right)x(t)→x(−t)
连续信号尺度 x(t)→x(at)x\left(t\right)\rightarrow x\left(at\right)x(t)→x(at)
离散信号尺度 x(n)→x(Nn)/x(n/N)x\left(n\right)\rightarrow x\left(Nn\right)/x\left(n/N\right)x(n)→x(Nn)/x(n/N)

信号的特性

奇信号和偶信号
- xo(t)=12[x(t)−x(−t)]x_o\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t\right)-x\left(-t\right)\right]xo(t)=21[x(t)−x(−t)]
  
  xe(t)=12[x(t)+x(−t)]x_e\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t\right)+x\left(-t\right)\right]xe(t)=21[x(t)+x(−t)]
周期信号和非周期信号
- 连续直流信号：基波周期无意义
- 离散直流信号：基波周期为1

基本常用信号

连续时间正弦信号 x(t)=Acos⁡(Ω0t+φ)x\left(t\right)=A\cos{\left({\Omega}_0t+\varphi\right)}x(t)=Acos(Ω0t+φ)
离散时间正弦序列 x(n)=Acos⁡(ω0n+φ)x\left(n\right)=A\cos{\left({\omega}_0n+\varphi\right)}x(n)=Acos(ω0n+φ)
连续时间指数信号 x(t)=ceatx\left(t\right)=c\mathrm{e}^{at}x(t)=ceat
- 单边指数信号f(t)={0t<0e−tτt>0f\left(t\right)=\begin{cases}0&t<0\\e^{-\frac{t}{\tau}}&t>0\end{cases}f(t)={0e−τtt<0t>0
离散时间指数信号 x(n)=canx\left(n\right)=ca^nx(n)=can
单位阶跃信号

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单位脉冲序列（离散）

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- x(n)δ(n)=x(0)δ(n)x\left(n\right)\delta\left(n\right)=x\left(0\right)\delta\left(n\right)x(n)δ(n)=x(0)δ(n)
  
  x(n)δ(n−m)=x(m)δ(n−m)x\left(n\right)\delta\left(n-m\right)=x\left(m\right)\delta\left(n-m\right)x(n)δ(n−m)=x(m)δ(n−m)
- δ(n)=u(n)−u(n−1)\delta\left(n\right)=u\left(n\right)-u\left(n-1\right)δ(n)=u(n)−u(n−1)
  
  u(n)=∑k=0∞δ(n−k)u\left(n\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\delta\left(n-k\right)}u(n)=k=0∑∞δ(n−k)
单位冲击函数（连续）

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- δ(t)=du(t)dt\delta\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}u\left(t\right)}{\mathrm{d}t}δ(t)=dtdu(t)
  
  ∫−∞tδ(t)dt=u(t)\int_{-\infty}^{t}{\delta\left(t\right)\mathrm{d}t}=u\left(t\right)∫−∞tδ(t)dt=u(t)

冲激函数及其性质

定义：∫−∞tx(t)δ(t−t0)dt=x(t0)\int_{-\infty}^{t}{x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)\mathrm{d}t}=x\left(t_0\right)∫−∞tx(t)δ(t−t0)dt=x(t0)
抽样性质：x(t)δ(t−t0)=x(t0)δ(t−t0)x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)=x\left(t_0\right)\delta\left(t-t_0\right)x(t)δ(t−t0)=x(t0)δ(t−t0)
奇偶性：δ(t)=δ(−t)\delta\left(t\right)=\delta\left(-t\right)δ(t)=δ(−t)
尺度变换：δ(at)=1∣a∣δ(t)\delta\left(at\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta\left(t\right)δ(at)=∣a∣1δ(t)
微分：∫−∞+∞x(t)δ′(t)dt=−x′(0)\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)\delta^{\prime}\left(t\right)\mathrm{d}t}=-x^{\prime}\left(0\right)∫−∞+∞x(t)δ′(t)dt=−x′(0)

1.3 系统

时间系统基本单元

输入输出方程

二阶系统

y′′+a1y′+a0y=b1x′+b0xy^{\prime\prime}+a_1y^{\prime}+a_0y=b_1x^{\prime}+b_0xy′′+a1y′+a0y=b1x′+b0x

q′′+a1q′+a0q=xq^{\prime\prime}+a_1q^{\prime}+a_0q=xq′′+a1q′+a0q=x

y=b1q′+b0qy=b_1q^{\prime}+b_0qy=b1q′+b0q
nnn阶系统

y(n)+an−1yn−1+⋯+a1y′+a0y=bn−1xn−1+⋯+b1x′+b0xy^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_1y^{\prime}+a_0y=b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_1x^{\prime}+b_0xy(n)+an−1yn−1+⋯+a1y′+a0y=bn−1xn−1+⋯+b1x′+b0x

q(n)+an−1qn−1+⋯+a1q′+a0q=xq^{\left(n\right)}+a_{n-1}q^{n-1}+\cdots +a_1q^{\prime}+a_0q=xq(n)+an−1qn−1+⋯+a1q′+a0q=x

y=bn−1qn−1+⋯+b1q′+b0qy=b_{n-1}q^{n-1}+\cdots +b_1q^{\prime}+b_0qy=bn−1qn−1+⋯+b1q′+b0q

系统性质

及时系统/动态系统：在任何时刻的输入，只与当前时刻输入有关，则为即时系统
可逆系统/不可逆系统：系统对不同的输入产生的输出都不同，即系统的输入与输出成一一对应关系，则称为可逆系统
因果系统/非因果系统：t<t0,x(t)=0,y(t)=0t<t_0, x\left(t\right)=0, y\left(t\right)=0t<t0,x(t)=0,y(t)=0
稳定系统/不稳定系统：系统对任何有界输入产生的输出都是有界的，则称为稳定系统
时变系统/时不变系统：输入信号在时间上有一个平移，则相应的输出信号也仅在时间上有一个同样的平移，而波形上没有任何变化，则为时变系统
线性系统/非线性系统：既满足叠加性，同时又满足齐次性的系统，称为线性系统
- 叠加性
  
  x1(t)→y1(t),x2(t)→y2(t)x_1\left(t\right)\rightarrow y_1\left(t\right),x_2\left(t\right)\rightarrow y_2\left(t\right)x1(t)→y1(t),x2(t)→y2(t)
  
  x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)x_1\left(t\right)+x_2\left(t\right)\rightarrow y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)
- 齐次性
  
  x(t)→y(t)x\left(t\right)\rightarrow y\left(t\right)x(t)→y(t)
  
  k⋅x(t)→k⋅y(t)k\cdot x\left(t\right)\rightarrow k\cdot y\left(t\right)k⋅x(t)→k⋅y(t)
增量线性系统：如果一个系统输出的增量与输入的增量之间成线性关系，则该系统为增量线性系统

2. 信号与系统的时域分析

2.1 连续LTI卷积

信号的时域分解

矩形脉冲信号

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卷积

f1(t)∗f2(t)=∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτf_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infin}^{\infin}{f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau}f1(t)∗f2(t)=∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτ

y(t)=x(t)∗h(t)=∫0tx(τ)h(t−τ)dτy(t)=x(t)*h(t)=\int_{0}^{t}{x(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau}y(t)=x(t)∗h(t)=∫0tx(τ)h(t−τ)dτ

图解卷积

变换：改变图形中的横坐标，自变量由 ttt 变为 τ\tauτ
反转：将其中一个信号反转
平移：反转后的信号随参变量 ttt 平移，得到 h(t−τ)h(t-\tau)h(t−τ)。若 t>0t>0t>0 则右向平移，若 t<0t<0t<0 则左向平移
相乘：将 x(τ)x(\tau)x(τ) 与 h(t−τ)h(t-\tau)h(t−τ) 相乘
积分：x(τ)x(\tau)x(τ) 与 h(t−τ)h(t-\tau)h(t−τ) 乘积曲线下的面积即为 ttt 时刻的卷积值（注意积分区域）

卷积性质

交换律 x(t)∗h(t)=h(t)∗x(t)x(t)*h(t)=h(t)*x(t)x(t)∗h(t)=h(t)∗x(t)

结合律 [x(t)∗h1(t)]∗h2(t)=x(t)∗[h1(t)∗h2(t)]\left[x(t)*h_1(t)\right]*h_2(t)=x(t)*\left[h_1(t)*h_2(t)\right][x(t)∗h1(t)]∗h2(t)=x(t)∗[h1(t)∗h2(t)]
- 串联系统的冲击响应，等于各子系统冲击响应之卷积
- 串联系统与子系统次序无关
分配律 x(t)∗[h1(t)+h2(t)]=x(t)∗h1(t)+x(t)∗h2(t)x(t)*\left[h_1(t)+h_2(t)\right]=x(t)*h_1(t)+x(t)*h_2(t)x(t)∗[h1(t)+h2(t)]=x(t)∗h1(t)+x(t)∗h2(t)
- 一个并联系统的冲激响应等于各个子系统冲激响应之和
卷积微分 [x(t)∗h(t)]′=x′(t)∗h(t)=x(t)∗h′(t)[x(t)*h(t)]'=x'(t)*h(t)=x(t)*h'(t)[x(t)∗h(t)]′=x′(t)∗h(t)=x(t)∗h′(t)

卷积积分 ∫−∞t[x(λ)∗h(λ)]dλ=[∫−∞tx(λ)dλ]∗h(t)=x(t)∗[∫−∞th(λ)dλ]\int_{-\infin}^{t}{[x(\lambda)*h(\lambda)]\mathrm{d}\lambda}=\left[\int_{-\infin}^{t}{x(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]*h(t)=x(t)*\left[\int_{-\infin}^{t}{h(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]∫−∞t[x(λ)∗h(λ)]dλ=[∫−∞tx(λ)dλ]∗h(t)=x(t)∗[∫−∞th(λ)dλ]
- 推论 y(t)=x(t)∗h(t)=x′(t)∗[∫−∞th(λ)dλ]=[∫−∞tx(λ)dλ]∗h′(t)y(t)=x(t)*h(t)=x'(t)*\left[\int_{-\infin}^{t}{h(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]=\left[\int_{-\infin}^{t}{x(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]*h'(t)y(t)=x(t)∗h(t)=x′(t)∗[∫−∞th(λ)dλ]=[∫−∞tx(λ)dλ]∗h′(t)
冲激函数卷积 x(t−t1)∗δ(t−t2)=x(t−t1−t2)x(t-t_1)*\delta(t-t_2)=x(t-t_1-t_2)x(t−t1)∗δ(t−t2)=x(t−t1−t2)
- 推论 x(t−t1)∗h(t−t2)=y(t−t1−t2)x(t-t_1)*h(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)x(t−t1)∗h(t−t2)=y(t−t1−t2)
阶跃函数卷积 x(t)∗u(t)=∫−∞tx(τ)dτx(t)*u(t)=\int_{-\infin}^{t}x(\tau)\mathrm{d}\taux(t)∗u(t)=∫−∞tx(τ)dτ
- 推论 u(t)∗u(t)=tu(t)u(t)*u(t)=tu(t)u(t)∗u(t)=tu(t)

2.2 连续LTI单位冲激响应

冲激响应：系统对单位冲激信号的零状态响应

微分方程描述

二阶通式 y′′+a1y′+a0y=b1x′+b0xy''+a_1 y'+a_0y=b_1x'+b_0xy′′+a1y′+a0y=b1x′+b0x

NNN 阶通式 y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=bmx(m)+⋯+b1x′+b0xy^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=b_mx^{(m)}+\cdots+b_1x'+b_0xy(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=bmx(m)+⋯+b1x′+b0x

求和形式 ∑k=0naky(k)(t)=∑k=0mbkx(k)(t)\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k x^{(k)}(t)}k=0∑naky(k)(t)=k=0∑mbkx(k)(t)

单位冲激响应求解

y(t)=y1(t)y(t)=y_1(t)y(t)=y1(t)（齐次方程通解）+y2(t)+y_2(t)+y2(t)（非齐次方程特解）

齐次方程 ∑k=0naky(k)(t)=0\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=0k=0∑naky(k)(t)=0

y1(t)=∑k=0nCkeλkt(t)y_1(t)=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_k \mathrm{e}^{\lambda_kt}(t)}y1(t)=k=0∑nCkeλkt(t)
微分算子

dnxdtn=pnx,∫−∞txdτ=1px\frac{d^nx}{dt^n}=p^nx, \int_{-\infin}^{t}{x\mathrm{d}\tau}=\frac{1}{p}xdtndnx=pnx,∫−∞txdτ=p1x

mp+np=(m+n)pmp+np=(m+n)pmp+np=(m+n)p

pmpn=pm+np^mp^n=p^{m+n}pmpn=pm+n（m,nm,nm,n同正负）

p1p≠1ppp\frac{1}{p}\neq\frac{1}{p}ppp1=p1p

px(t)↛x(t)=y(t)px(t)\not\rightarrow x(t)=y(t)px(t)→x(t)=y(t)
记 NNN 阶通式为 D(p)y(t)=N(p)x(t)D(p)y(t)=N(p)x(t)D(p)y(t)=N(p)x(t)

H(p)=N(p)D(p)H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}H(p)=D(p)N(p)

y(t)=H(p)x(t)y(t)=H(p)x(t)y(t)=H(p)x(t)
- n>mn>mn>m
  
  y(t)=H(p)x(t)⇒h(t)=H(p)δ(t)y(t)=H(p)x(t)\Rightarrow h(t)=H(p)\delta(t)y(t)=H(p)x(t)⇒h(t)=H(p)δ(t)
  
  h(t)=H(p)δ(t)=(k1p−λ1+k2p−λ2+⋯+knp−λn)δ(t)h(t)=H(p)\delta(t)=\left(\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\frac{k_2}{p-\lambda_2}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n}\right)\delta(t)h(t)=H(p)δ(t)=(p−λ1k1+p−λ2k2+⋯+p−λnkn)δ(t)
  
  特征方程的特征根为 λk\lambda_kλk
  
  令 hi(t)=kip−λiδ(t)h_i(t)=\frac{k_i}{p-\lambda_i}\delta(t)hi(t)=p−λikiδ(t)
  
  h(t)=∑i=1nhi(t)=∑i=1nkieλitu(t)h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{h_i(t)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}h(t)=i=1∑nhi(t)=i=1∑nkieλitu(t)
  
  若 λk\lambda_kλk 均为 kkk 阶重根，hk(t)=(A1+A2t+⋯+Aktk−1)eλ1tu(t)h_k(t)=\left(A_1+A_2t+\cdots+A_kt^{k-1}\right)\mathrm{e}^{\lambda_1t}u(t)hk(t)=(A1+A2t+⋯+Aktk−1)eλ1tu(t)
- n=mn=mn=m
  
  h(t)=∑i=1nkieλitu(t)+bmδ(t)h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}+b_m\delta(t)h(t)=i=1∑nkieλitu(t)+bmδ(t)
- n<mn<mn<m
  
  h(t)=H(p)δ(t)h(t)=H(p)\delta(t)h(t)=H(p)δ(t)
  
  =(A0pm−n+⋯+Am−n+1p+Am−n+k1p−λ1+k2p−λ2+⋯+knp−λn)δ(t)=\left(A_0p^{m-n}+\cdots+A_{m-n+1}p+A_{m-n}+\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\frac{k_2}{p-\lambda_2}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n}\right)\delta(t)=(A0pm−n+⋯+Am−n+1p+Am−n+p−λ1k1+p−λ2k2+⋯+p−λnkn)δ(t)
  
  h(t)=∑i=1nkieλitu(t)+A0δ(m−n)(t)+⋯+Am−nδ(n)h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}+A_0\delta^{(m-n)}(t)+\cdots+A_{m-n}\delta(n)h(t)=i=1∑nkieλitu(t)+A0δ(m−n)(t)+⋯+Am−nδ(n)

2.3 离散LTI卷积

卷积和

y(n)=x(n)∗h(n)=∑k=−∞+∞x(k)h(n−k)y(n)=x(n)*h(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}{x(k)h(n-k)}y(n)=x(n)∗h(n)=k=−∞∑+∞x(k)h(n−k)

因果系统 y(n)==∑k=0nx(k)h(n−k)y(n)==\sum\limits_{k=0}^{n}{x(k)h(n-k)}y(n)==k=0∑nx(k)h(n−k)

图解法

反转：将 h(k)h(k)h(k) 以纵轴为对称轴反转得到 h(−k)h(-k)h(−k)
平移：将 h(−k)h(-k)h(−k) 随参变量平移得到 h(n−k)h(n-k)h(n−k)
相乘：将 x(n)x(n)x(n) 与 h(n−k)h(n-k)h(n−k) 各对应点相乘
求和：将相乘后的各点值相加

性质

交换律、结合律、分配律
长度有限性 ly=lx+lh−1l_y=l_x+l_h-1ly=lx+lh−1
x(n−n1)∗δ(n−n2)=x(n−n1−n2)x(n-n_1)*\delta(n-n_2)=x(n-n_1-n_2)x(n−n1)∗δ(n−n2)=x(n−n1−n2)

x(n)∗u(n)=∑k=−∞nx(k)x(n)*u(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{n}{x(k)}x(n)∗u(n)=k=−∞∑nx(k)

u(n)∗h(n)=∑k=−∞nh(k)=s(n)u(n)*h(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{n}{h(k)}=s(n)u(n)∗h(n)=k=−∞∑nh(k)=s(n)

h(n)=s(n)−s(n−1)h(n)=s(n)-s(n-1)h(n)=s(n)−s(n−1)

2.4 离散LTI单位脉冲响应

差分方程描述

∑k=0Naky(n+k)=∑k=0Mbkx(n+k)\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n+k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n+k)}k=0∑Naky(n+k)=k=0∑Mbkx(n+k)

差分方程阶数：差分方程的阶定义为响应最大移序与最小移序之差

单位脉冲响应求解

移位算子：S⋅y(k)=y(k+1)S\cdot y(k)=y(k+1)S⋅y(k)=y(k+1)

差分方程变为 (SN+⋯+a1S1+a0)y(n)=(bMSM+⋯+b1S1+b0)x(n)\left(S^N+\cdots+a_1S_1+a_0\right)y(n)=\left(b_MS_M+\cdots+b_1S_1+b_0\right)x(n)(SN+⋯+a1S1+a0)y(n)=(bMSM+⋯+b1S1+b0)x(n)
y(n)=H(S)x(n)y(n)=H(S)x(n)y(n)=H(S)x(n)

Hi(S)=AiS−viH_i(S)=\frac{A_i}{S-v_i}Hi(S)=S−viAi
- m<nm<nm<n
  
  h(n)=∑r=1NArvn−1u(n−1)h(n)=\sum\limits_{r=1}^{N}{A_rv^{n-1}u(n-1)}h(n)=r=1∑NArvn−1u(n−1)
  
  若 vrv_rvr 为 lll 阶重根，hr(n)=A(n−1)!(l−1)!(n−1)!vrn−lu(n−1)h_r(n)=\frac{A(n-1)!}{(l-1)!(n-1)!}v_r^{n-l}u(n-1)hr(n)=(l−1)!(n−1)!A(n−1)!vrn−lu(n−1)
- m=nm=nm=n
  
  H(S)=A0+H1(S)+⋯+HN(S)H(S)=A_0+H_1(S)+\cdots+H_N(S)H(S)=A0+H1(S)+⋯+HN(S)
  
  h(n)=A0δ(n)+∑r=1NArvn−1u(n−1)h(n)=A_0\delta(n)+\sum\limits_{r=1}^{N}{A_rv^{n-1}u(n-1)}h(n)=A0δ(n)+r=1∑NArvn−1u(n−1)
- m>nm>nm>n：非因果系统，不考虑

2.4 系统性质分析

及时系统：h(n)=aδ(n),h(t)=aδ(t)h(n)=a\delta(n),h(t)=a\delta(t)h(n)=aδ(n),h(t)=aδ(t)
恒等系统：h(n)=δ(n),h(t)=δ(t)h(n)=\delta(n),h(t)=\delta(t)h(n)=δ(n),h(t)=δ(t)
可逆系统：h(n)∗hI(n)=δ(n),h(t)∗hI(t)=δ(t)h(n)*h_I(n)=\delta(n),h(t)*h_I(t)=\delta(t)h(n)∗hI(n)=δ(n),h(t)∗hI(t)=δ(t)
因果系统：n<0⇒h(n)=0,t<0⇒h(t)=0n<0\Rightarrow h(n)=0,t<0\Rightarrow h(t)=0n<0⇒h(n)=0,t<0⇒h(t)=0
稳定性：对于任何有界的输入，其输出有界

∑k=−∞+∞∣h(k)∣<∞,∫−∞+∞∣h(t)∣dt<∞\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}{\left|h(k)\right|}<\infin,\int_{-\infin}^{+\infin}{\left|h(t)\right|\mathrm{d}t}<\infink=−∞∑+∞∣h(k)∣<∞,∫−∞+∞∣h(t)∣dt<∞

2.5 离散LTI系统方框图

∑k=0Naky(n−k)=∑k=0Mbkx(n−k)\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)}k=0∑Naky(n−k)=k=0∑Mbkx(n−k)

解法1

∑k=0Naky(n+k)=∑k=0Mbkx(n+k)\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n+k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n+k)}k=0∑Naky(n+k)=k=0∑Mbkx(n+k)

y(n)=bMSM+⋯+b1S+b0aNSN+⋯+a1S+a0x(n)y(n)=\frac{b_MS^M+\cdots+b_1S+b_0}{a_NS^N+\cdots+a_1S+a_0}x(n)y(n)=aNSN+⋯+a1S+a0bMSM+⋯+b1S+b0x(n)

令 q(n)=1aNSN+⋯+a1S+a0x(n)q(n)=\frac{1}{a_NS^N+\cdots+a_1S+a_0}x(n)q(n)=aNSN+⋯+a1S+a01x(n)

则 aNq(n)=x(n)−⋯a_Nq(n)=x(n)-\cdotsaNq(n)=x(n)−⋯

y(n)=(bMSM+⋯+b1S+b0)q(n)y(n)=\left(b_MS^M+\cdots+b_1S+b_0\right)q(n)y(n)=(bMSM+⋯+b1S+b0)q(n)
解法2

w(n)=∑k=0Mbkx(n−k)w(n)=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)}w(n)=k=0∑Mbkx(n−k)

y(n)=1a0[w(n)−∑k=1Naky(n−k)]y(n)=\frac{1}{a_0}\left[w(n)-\sum\limits_{k=1}^{N}{a_ky(n-k)}\right]y(n)=a01[w(n)−k=1∑Naky(n−k)]

2.6 连续LTI系统方框图

∑k=0Naky(N−k)(t)=∑k=0Mbkx(N−k)(t)\sum\limits_{k=0}^{N}{a_k y^{(N-k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_k x^{(N-k)}(t)}k=0∑Naky(N−k)(t)=k=0∑Mbkx(N−k)(t)

w(n)=∑k=0Mbkx(N−k)(t)w(n)=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx^{(N-k)}}(t)w(n)=k=0∑Mbkx(N−k)(t)

y(n)=1aN[w(n)−∑k=1N−1aky(N−k)(t)]y(n)=\frac{1}{a_N}\left[w(n)-\sum\limits_{k=1}^{N-1}{a_ky^{(N-k)}(t)}\right]y(n)=aN1[w(n)−k=1∑N−1aky(N−k)(t)]

3 连续时间信号与系统的频域分析

3.1 信号分解

复指数信号 x(t)=estx(t)=e^{st}x(t)=est

复频域分析 s=σ+hΩs=\sigma+h\Omegas=σ+hΩ

频域分析 σ=0,s=jΩ\sigma=0,s=j\Omegaσ=0,s=jΩ
欧拉公式 ejΩ0t=cos⁡Ω0t+jsin⁡Ω0te^{j\Omega_0t}=\cos{\Omega_0t}+j\sin{\Omega_0t}ejΩ0t=cosΩ0t+jsinΩ0t
令 x(t)=est,y(t)=est∫−∞∞h(τ)e−stdτ=H(s)estx(t)=e^{st},y(t)=e^{st}\int_{-\infin}^{\infin}{h(\tau)e^{-st}\mathrm{d}\tau}=H(s)e^{st}x(t)=est,y(t)=est∫−∞∞h(τ)e−stdτ=H(s)est

ssts^{st}sst 为特征函数，H(s)H(s)H(s) 为特征值

x(t)=∑kakeskt→y(t)=∑kakH(sk)esktx(t)=\sum\limits_k{a_ke^{s_kt}}\rightarrow y(t)=\sum\limits_k{a_kH(s_k)e^{s_kt}}x(t)=k∑akeskt→y(t)=k∑akH(sk)eskt

3.2 周期信号傅立叶级数

x(t)=x(x+T0)x(t)=x(x+T_0)x(t)=x(x+T0)

周期信号 ejΩ0te^{j\Omega_0t}ejΩ0t：基波周期 T0=2πΩ0T_0=\frac{2\pi}{\Omega_0}T0=Ω02π，基波频率 Ω0=2πT0\Omega_0=\frac{2\pi}{T_0}Ω0=T02π

x(t)=∑k=−∞∞Ak˙ejkΩ0tx(t)=\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\dot{A_k}e^{jk\Omega_0t}}x(t)=k=−∞∑∞Ak˙ejkΩ0t

Ak˙\dot{A_k}Ak˙ 为傅立叶系数，k=±Nk=\pm Nk=±N 称为 NNN 次谐波分量

Ak˙=1T0∫0T0x(t)e−jkΩ0tdt\dot{A_k}=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)e^{-jk\Omega_0t}\mathrm{d}t}Ak˙=T01∫0T0x(t)e−jkΩ0tdt

性质

共轭性 Ak˙=A−k˙∗\dot{A_k}=\dot{A_{-k}}^{*}Ak˙=A−k˙∗

x(t)=A0˙+2∑k=1∞Re{Ak˙ejkΩ0t}x(t)=\dot{A_0}+2\sum\limits_{k=1}^{\infin}{\mathrm{Re}\left\{\dot{A_k}e^{jk\Omega_0t}\right\}}x(t)=A0˙+2k=1∑∞Re{Ak˙ejkΩ0t}
三角函数形式 x(t)=A0˙+2∑k=1∞Ak˙cos⁡(kΩ0t+θk)x(t)=\dot{A_0}+2\sum\limits_{k=1}^{\infin}{\dot{A_k}\cos{(k\Omega_0t+\theta_k)}}x(t)=A0˙+2k=1∑∞Ak˙cos(kΩ0t+θk)

=a0+2∑k=1∞[akcos⁡kΩ0t−bksin⁡kΩ0t]=a0+∑n=1∞[an′cos⁡nΩ0t−bn′sin⁡nΩ0t]=a_0+2\sum\limits_{k=1}^{\infin}{\left[a_k\cos{k\Omega_0t}-b_k\sin{k\Omega_0t}\right]}=a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infin}{\left[a'_n\cos{n\Omega_0t}-b'_n\sin{n\Omega_0t}\right]}=a0+2k=1∑∞[akcoskΩ0t−bksinkΩ0t]=a0+n=1∑∞[an′cosnΩ0t−bn′sinnΩ0t]

A0=a0=1T0∫0T0x(t)dtA_0=a_0=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\mathrm{d}t}A0=a0=T01∫0T0x(t)dt

ak=12(Ak˙+A−k˙)=1T0∫0T0x(t)⋅cos⁡kΩ0tdta_k=\frac{1}{2}\left(\dot{A_k}+\dot{A_{-k}}\right)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\cdot \cos{k\Omega_0t}\mathrm{d}t}ak=21(Ak˙+A−k˙)=T01∫0T0x(t)⋅coskΩ0tdt

bk=12j(Ak˙−A−k˙)=1T0∫0T0x(t)⋅sin⁡kΩ0tdtb_k=\frac{1}{2j}\left(\dot{A_k}-\dot{A_{-k}}\right)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\cdot \sin{k\Omega_0t}\mathrm{d}t}bk=2j1(Ak˙−A−k˙)=T01∫0T0x(t)⋅sinkΩ0tdt

a1′cos⁡nΩ0t−b1′sin⁡nΩ0ta'_1\cos{n\Omega_0t}-b'_1\sin{n\Omega_0t}a1′cosnΩ0t−b1′sinnΩ0t 为基波分量，其余为谐波分量
aka_kak 为偶信号 xe(t)x_e(t)xe(t) 的傅立叶系数，jbkjb_kjbk 为奇信号 xo(t)x_o(t)xo(t) 的傅立叶系数
奇谐函数：周期为 TTT 的函数，任意半个周期的波形可由将前半周期波形沿x轴反转得到a2k=b2k=0a_{2k}=b_{2k}=0a2k=b2k=0

偶谐函数：将奇谐函数的负半周沿 xxx 轴反转为正半周，此时的函数为偶谐函数a2k+1=b2k+1=0a_{2k+1}=b_{2k+1}=0a2k+1=b2k+1=0

3.3 傅立叶变换

频谱

所有谐波分量的复振幅随频率的分布称为信号的频谱

振幅频谱：AkA_kAk

相位频谱：θk\theta_kθk
特点
- 离散性：它由不连续的线条组成；
- 谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上；
- 收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零
Sa(x)=sin⁡xxSa(x)=\frac{\sin{x}}{x}Sa(x)=xsinx

x(t)=AτT∑k=−∞∞Sa(nΩ0τ2)ejkΩ0tx(t)=\frac{A\tau}{T}\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{Sa\left(\frac{n\Omega_0\tau}{2}\right)e^{jk\Omega_0t}}x(t)=TAτk=−∞∑∞Sa(2nΩ0τ)ejkΩ0t

X(Ω)=AτSa(τΩ2)X(\Omega)=A\tau Sa(\frac{\tau\Omega}{2})X(Ω)=AτSa(2τΩ)
- X(Ω)=T⋅An˙∣nΩ0=ΩX(\Omega)=T\cdot \dot{A_n}|_{n\Omega_0=\Omega}X(Ω)=T⋅An˙∣nΩ0=Ω
- 时域非周期则频域连续，时域周期则频域离散

非周期信号傅立叶变换

傅立叶变换 X(Ω)=∫−∞+∞x(t)e−jΩtdtX(\Omega)=\int_{-\infin}^{+\infin}{x(t)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}X(Ω)=∫−∞+∞x(t)e−jΩtdt （ X(Ω)X(\Omega)X(Ω) 为频谱密度函数，简称频谱）

傅立叶反变换 x(t)=12π∫−∞∞X(Ω)ejΩtdΩx(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}{X(\Omega)e^{j\Omega t}\mathrm{d}\Omega}x(t)=2π1∫−∞∞X(Ω)ejΩtdΩ

傅立叶变换存在条件
- ∫−∞∞∣x(t)∣dt<∞\int_{-\infin}^{\infin}{\left|x(t)\right|\mathrm{d}t}<\infin∫−∞∞∣x(t)∣dt<∞
- 在任何有限区间内只有有限个极值点，且极值有限
- 在任何有限区间内只有有限个间断点，且不连续值有限
x(t)=12π∫−∞∞∣X(Ω)∣ej(Ωt+ϕ)dΩx(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}{\left|X(\Omega)\right|e^{j(\Omega t+\phi)}\mathrm{d}\Omega}x(t)=2π1∫−∞∞∣X(Ω)∣ej(Ωt+ϕ)dΩ

x(t)=1π∫0∞∣X(Ω)∣cos⁡(Ωt+ϕ)dΩx(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infin}{\left|X(\Omega)\right|\cos{(\Omega t+\phi)}\mathrm{d}\Omega}x(t)=π1∫0∞∣X(Ω)∣cos(Ωt+ϕ)dΩ

∣X(Ω)∣\left|X(\Omega)\right|∣X(Ω)∣ 为幅度频谱，ϕ(Ω)\phi(\Omega)ϕ(Ω) 为相位频谱

常用傅立叶变换

单边指数信号：x(t)=e−αtu(t),α>0x(t)=e^{-\alpha t}u(t),\alpha>0x(t)=e−αtu(t),α>0，X(Ω)=1α+jΩX(\Omega)=\frac{1}{\alpha+j\Omega}X(Ω)=α+jΩ1
单位冲激信号：X(Ω)=1X(\Omega)=1X(Ω)=1
单位阶跃信号：X(Ω)=πδ(Ω)+1jΩX(\Omega)=\pi\delta(\Omega)+\frac{1}{j\Omega}X(Ω)=πδ(Ω)+jΩ1
复指数信号

周期信号傅立叶变换

x(t)↔2π∑n=−∞∞An˙δ(Ω−nΩ0)x(t)\leftrightarrow 2\pi \sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{\dot{A_n}\delta(\Omega-n\Omega_0)}x(t)↔2πn=−∞∑∞An˙δ(Ω−nΩ0)

3.4 傅立叶变换性质

线性特性：x1(t)↔X1(Ω),x2(t)↔X2(Ω)x_1(t)\leftrightarrow X_1(\Omega),x_2(t)\leftrightarrow X_2(\Omega)x1(t)↔X1(Ω),x2(t)↔X2(Ω)

a⋅x1(t)+b⋅x2(t)↔a⋅X1(Ω)+b⋅X2(Ω)a\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\leftrightarrow a\cdot X_1(\Omega)+b\cdot X_2(\Omega)a⋅x1(t)+b⋅x2(t)↔a⋅X1(Ω)+b⋅X2(Ω)
共轭对称性：X∗(Ω)=X(−Ω)X^*(\Omega)=X(-\Omega)X∗(Ω)=X(−Ω)（xxx 为实信号）
时移特性：x(t−t0)↔X(Ω)e−jΩt0x(t-t_0)\leftrightarrow X(\Omega)e^{-j\Omega t_0}x(t−t0)↔X(Ω)e−jΩt0
移频特性：x(t)ejΩ0t↔X(Ω−Ω0)x(t)e^{j\Omega_0 t}\leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)x(t)ejΩ0t↔X(Ω−Ω0)
尺度变换：x(at)↔1∣a∣X(Ωa)x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}X\left(\frac{\Omega}{a}\right)x(at)↔∣a∣1X(aΩ)
- x(−t)↔X(−Ω)x(-t)\leftrightarrow X(-\Omega)x(−t)↔X(−Ω)
- u(−t)↔πδ(Ω)−1jΩu(-t)\leftrightarrow \pi\delta(\Omega)-\frac{1}{j\Omega}u(−t)↔πδ(Ω)−jΩ1
- 1=u(t)+u(−t)↔2πδ(Ω)1=u(t)+u(-t)\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)1=u(t)+u(−t)↔2πδ(Ω)
- sgn(t)=u(t)−u(−t)↔2jΩ\mathrm{sgn}(t)=u(t)-u(-t)\leftrightarrow \frac{2}{j\Omega}sgn(t)=u(t)−u(−t)↔jΩ2
- e−a∣t∣=e−atu(t)+eatu(−t)↔2aa2+Ω2e^{-a|t|}=e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)\leftrightarrow \frac{2a}{a^2+\Omega^2}e−a∣t∣=e−atu(t)+eatu(−t)↔a2+Ω22a
对偶特性：X(t)↔2πX(−Ω)X(t)\leftrightarrow 2\pi X(-\Omega)X(t)↔2πX(−Ω)
- 若 x(t)x(t)x(t) 为实偶函数，则 X(Ω)X(\Omega)X(Ω) 为实偶函数，X(t)↔2πx(Ω)X(t)\leftrightarrow 2\pi x(\Omega)X(t)↔2πx(Ω)
- 若 x(t)x(t)x(t) 为实奇函数，则 X(Ω)X(\Omega)X(Ω) 为虚奇函数，X(t)↔−2πx(Ω)X(t)\leftrightarrow -2\pi x(\Omega)X(t)↔−2πx(Ω)
- δ(t)↔1⟹1↔2πδ(Ω)\delta(t)\leftrightarrow 1\Longrightarrow 1\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)δ(t)↔1⟹1↔2πδ(Ω)
时域微分特性：x′(t)↔jΩX(Ω)x'(t)\leftrightarrow j\Omega X(\Omega)x′(t)↔jΩX(Ω)
时域积分特性：∫−∞tx(τ)dτ↔X(Ω)jΩ+πδ(Ω)X(0)\int_{-\infin}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{X(\Omega)}{j\Omega}+\pi\delta(\Omega)X(0)∫−∞tx(τ)dτ↔jΩX(Ω)+πδ(Ω)X(0)
频域微积分特性：−jtx(t)↔X′(Ω)-jtx(t)\leftrightarrow X'(\Omega)−jtx(t)↔X′(Ω)

−x(t)jt+πx(0)δ(t)↔∫−∞ΩX(Ω)dΩ-\frac{x(t)}{jt}+\pi x(0)\delta(t)\leftrightarrow \int_{-\infin}^{\Omega}{X(\Omega)\mathrm{d}\Omega}−jtx(t)+πx(0)δ(t)↔∫−∞ΩX(Ω)dΩ
卷积特性

x1(t)∗x2(t)↔X1(Ω)⋅X2(Ω)x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(\Omega)\cdot X_2(\Omega)x1(t)∗x2(t)↔X1(Ω)⋅X2(Ω)

x1(t)⋅x2(t)↔12πX1(Ω)∗X2(Ω)x_1(t)\cdot x_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1(\Omega)* X_2(\Omega)x1(t)⋅x2(t)↔2π1X1(Ω)∗X2(Ω)

3.5 连续时间系统频域分析

H(Ω)=Y(Ω)X(Ω)=∣H(Ω∣ejϕ(Ω)H(\Omega)=\frac{Y(\Omega)}{X(\Omega)}=\left|H(\Omega\right|e^{j\phi(\Omega)}H(Ω)=X(Ω)Y(Ω)=∣H(Ω∣ejϕ(Ω)
分析方法
- 将时域激励信号分解为频域信号 x(t)→X(Ω)x(t)\rightarrow X(\Omega)x(t)→X(Ω)
- 确定系统频率响应函数 H(Ω)H(\Omega)H(Ω)
- 求取激励信号的频域响应 Y(Ω)=X(Ω)⋅H(Ω)Y(\Omega)=X(\Omega)\cdot H(\Omega)Y(Ω)=X(Ω)⋅H(Ω)
- 对频域响应函数求傅立叶反变换得到系统的时域响应函数 Y(Ω)→y(t)Y(\Omega)\rightarrow y(t)Y(Ω)→y(t)
系统函数的确定

∑k=0naky(k)(t)=∑k=0mbkx(k)(t)\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k x^{(k)}(t)}k=0∑naky(k)(t)=k=0∑mbkx(k)(t)

H(Ω)=∑k=0mbk(jΩ)k∑k=0nak(jΩ)kH(\Omega)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k (j\Omega)^k}}{\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k (j\Omega)^k}}H(Ω)=k=0∑nak(jΩ)kk=0∑mbk(jΩ)k

理想低通滤波器

系统不失真条件

y(t)=Kx(t−t0)y(t)=Kx(t-t_0)y(t)=Kx(t−t0)

H(Ω)=Ke−jΩt0H(\Omega)=Ke^{-j\Omega t_0}H(Ω)=Ke−jΩt0
频率特征：H(Ω)={Ke−jΩt0∣Ω∣<ωc00其它H(\Omega)=\begin{cases}Ke^{-j\Omega t_0}&|\Omega|<\omega_{c0}\\0&其它\end{cases}H(Ω)={Ke−jΩt00∣Ω∣<ωc0其它
单位冲激响应 h(t)=Kωc0πSa[ωc0(t−t0)]h(t)=\frac{K\omega_{c0}}{\pi}Sa\left[\omega_{c0}(t-t_0)\right]h(t)=πKωc0Sa[ωc0(t−t0)]
单位阶跃响应 y(t)=K2+KπSi[ωc0(t−t0)]y(t)=\frac{K}{2}+\frac{K}{\pi}Si\left[\omega_{c0}(t-t_0)\right]y(t)=2K+πKSi[ωc0(t−t0)]

Si(x)=∫0xsin⁡yydySi(x)=\int_0^x{\frac{\sin{y}}{y}\mathrm{d}y}Si(x)=∫0xysinydy

调制与解调

连续信号的时域抽样

4 连续时间信号与系统的频域分析

4.1 信号分解

令 x(n)=zn,y(n)=zn∑k=−∞∞h(k)z−k=H(s)⋅znx(n)=z^{n},y(n)=z^{n}\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{h(k)z^{-k}}=H(s)\cdot z^{n}x(n)=zn,y(n)=znk=−∞∑∞h(k)z−k=H(s)⋅zn

znz^{n}zn 为特征函数，H(z)H(z)H(z) 为特征值

x(n)=∑kakzkn→y(t)=∑kakH(zk)zknx(n)=\sum\limits_k{a_kz_{k}^n}\rightarrow y(t)=\sum\limits_k{a_kH(z_k)z_k^{n}}x(n)=k∑akzkn→y(t)=k∑akH(zk)zkn

4.2 离散时间周期信号傅立叶级数

x(n)=x(n+N)x(n)=x(n+N)x(n)=x(n+N)

周期信号 ej2πNne^{j\frac{2\pi}{N}n}ejN2πn

成谐波关系的复指数信号集 ϕk(n)={ej2πNkn},ϕk(n)=ϕk+N(n),k=0,±1,⋯\phi_k(n)=\left\{e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\right\},\phi_k(n)=\phi_{k+N}(n),k=0,\pm1,\cdotsϕk(n)={ejN2πkn},ϕk(n)=ϕk+N(n),k=0,±1,⋯

x(n)=∑k=<N>Ak˙ej2πNknx(n)=\sum\limits_{k=<N>}^{}{\dot{A_k}e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}x(n)=k=<N>∑Ak˙ejN2πkn

Ak˙=1N∑n=<N>x(n)e−j2πNkn\dot{A_k}=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=<N>}{x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}Ak˙=N1n=<N>∑x(n)e−jN2πkn

4.3 傅立叶变换

非周期信号傅立叶变换

ω=2πNk\omega=\frac{2\pi}{N}kω=N2πk

X(ejω)=∑n=−∞∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega})=\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{x(n)e^{-j\omega n}}X(ejω)=n=−∞∑∞x(n)e−jωn

x(n)=12π∫2πX(ejω)ejωndωx(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega}x(n)=2π1∫2πX(ejω)ejωndω

收敛条件：平方可和 ∑n=−∞∞∣x(n)∣2<∞\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{|x(n)|^2}<\infinn=−∞∑∞∣x(n)∣2<∞

常用序列傅立叶变换

单边指数序列：x(n)=anu(n),∣a∣<1x(n)=a^nu(n),|a|<1x(n)=anu(n),∣a∣<1

X(ejω)=11−ae−jω=∣X(ejω)∣ejφ(ω)X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}=|X(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)}X(ejω)=1−ae−jω1=∣X(ejω)∣ejφ(ω)
- 幅度频谱 ∣X(ejω)∣|X(e^{j\omega})|∣X(ejω)∣ 偶对称
- 相位频谱 φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω) 奇对称
- X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 以 2π2\pi2π 为周期
双边指数序列：x(n)=a∣n∣,∣a∣<1x(n)=a^{|n|},|a|<1x(n)=a∣n∣,∣a∣<1

X(ejω)=11−ae−jω+aejω1−aejω=1−a21−2acos⁡ω+a2X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}+\frac{ae^{j\omega}}{1-ae^{j\omega}}=\frac{1-a^2}{1-2a\cos{\omega}+a^2}X(ejω)=1−ae−jω1+1−aejωaejω=1−2acosω+a21−a2
单位脉冲序列：x(n)=δ(n)x(n)=\delta(n)x(n)=δ(n)

X(ejω)=1X(e^{j\omega})=1X(ejω)=1
常数序列：x(n)=1x(n)=1x(n)=1

X(ejω)=2π∑k=−∞∞δ(ω−2πk)X(e^{j\omega})=2\pi\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\delta(\omega-2\pi k)}X(ejω)=2πk=−∞∑∞δ(ω−2πk)
符号函数序列

X(ejω)=−jsin⁡ω1−cos⁡ωX(e^{j\omega})=\frac{-j\sin{\omega}}{1-\cos{\omega}}X(ejω)=1−cosω−jsinω
单位阶跃函数序列：x(n)=u(n)x(n)=u(n)x(n)=u(n)

X(ejω)=1(1−e−jω)+π∑k=−∞∞δ(ω−2πk)X(e^{j\omega})=\frac{1}{(1-e^{-j\omega})}+\pi\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\delta(\omega-2\pi k)}X(ejω)=(1−e−jω)1+πk=−∞∑∞δ(ω−2πk)

周期信号傅立叶变换

X(ejω)=2π∑k=−∞∞Ak˙δ(ω−2πNk)X(e^{j\omega})=2\pi\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\dot{A_k}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{N}k\right)}X(ejω)=2πk=−∞∑∞Ak˙δ(ω−N2πk)

4.4 傅立叶变换性质

周期性：X(ejω)=X(ej(ω+2π))X(e^{j\omega})=X(e^{j(\omega+2\pi)})X(ejω)=X(ej(ω+2π))
线性特性：x1(n)↔X1(ejω),x2(n)↔X2(ejω)x_1(n)\leftrightarrow X_1(e^{j\omega}),x_2(n)\leftrightarrow X_2(e^{j\omega})x1(n)↔X1(ejω),x2(n)↔X2(ejω)，a⋅x1(n)+b⋅x2(n)↔a⋅X1(ejω)+b⋅X2(ejω)a\cdot x_1(n)+b\cdot x_2(n)\leftrightarrow a\cdot X_1(e^{j\omega})+b\cdot X_2(e^{j\omega})a⋅x1(n)+b⋅x2(n)↔a⋅X1(ejω)+b⋅X2(ejω)
共轭对称性：x∗(n)↔X∗(ejω)x^{*}(n)\leftrightarrow X^{*}(e^{j\omega})x∗(n)↔X∗(ejω)，X(ejω)↔X∗(e−jω)X(e^{j\omega})\leftrightarrow X^{*}(e^{-j\omega})X(ejω)↔X∗(e−jω)
- 实偶函数变换为实偶函数，实奇函数变换为虚奇函数
时延特性：x(n−n0)↔X(ejω)e−jωn0x(n-n_0)\leftrightarrow X(e^{j\omega})e^{-j\omega n_0}x(n−n0)↔X(ejω)e−jωn0
频移特性：x(n)ejω0n↔X(ej(ω−ω0))x(n)e^{j\omega_0 n}\leftrightarrow X\left(e^{j(\omega-\omega_0)}\right)x(n)ejω0n↔X(ej(ω−ω0))
尺度变换：x(k)(n)↔X(ejkω)x_{(k)}(n)\leftrightarrow X(e^{jk\omega})x(k)(n)↔X(ejkω)，x(−n)↔X(e−jω)x(-n)\leftrightarrow X(e^{-j\omega})x(−n)↔X(e−jω)
时域差分与求和：x(n)−x(n−1)↔(1−e−jω)X(ejω)x(n)-x(n-1)\leftrightarrow (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})x(n)−x(n−1)↔(1−e−jω)X(ejω)

∑k=−∞nx(k)↔X(ejω)1−e−jω+πX(ej0)∑k=−∞∞δ(ω−2πk)\sum\limits_{k=-\infin}^{n}{x(k)}\leftrightarrow \frac{X(e^{j\omega})}{1-e^{-j\omega}}+\pi X(e^{j0})\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\delta(\omega-2\pi k)}k=−∞∑nx(k)↔1−e−jωX(ejω)+πX(ej0)k=−∞∑∞δ(ω−2πk)
频域微分特性：nx(n)↔jdX(ejω)dωnx(n)\leftrightarrow j\frac{\mathrm{d}X(e^{j\omega})}{\mathrm{d}\omega}nx(n)↔jdωdX(ejω)
时域卷积特性：x(n)∗h(n)↔X(ejω)H(ejω)x(n)*h(n)\leftrightarrow X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})x(n)∗h(n)↔X(ejω)H(ejω)
频域卷积特性：x(n)y(n)↔12πX(ejω)⊗Y(ejω)=12π∫2πX(ejθ)Y(ej(ω−θ))dθx(n)y(n)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\otimes Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{X(e^{j\theta})Y\left(e^{j(\omega-\theta)}\right)\mathrm{d}\theta}x(n)y(n)↔2π1X(ejω)⊗Y(ejω)=2π1∫2πX(ejθ)Y(ej(ω−θ))dθ称为周期卷积
对偶特性：X(ejt)↔x(−n)X(e^{jt})\leftrightarrow x(-n)X(ejt)↔x(−n)

4.5 离散时间系统频域分析

∑k=0Naky(n−k)=∑k=0Mbkx(n−k)\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)}k=0∑Naky(n−k)=k=0∑Mbkx(n−k)

两边同时傅立叶变换 ∑k=0Nake−jωkY(ejω)=∑k=0Mbke−jωkX(ejω)\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ke^{-j\omega k}Y(e^{j\omega})}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ke^{-j\omega k}X(e^{j\omega})}k=0∑Nake−jωkY(ejω)=k=0∑Mbke−jωkX(ejω)

∑k=0Mbke−jωk\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ke^{-j\omega k}}k=0∑Mbke−jωk

4.6 离散傅里叶变换

X(k)=∑n=0N−1x(n)WNknX(k)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x(n)W_N^{kn}}X(k)=n=0∑N−1x(n)WNkn，WN=e−j2πNW_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}WN=e−jN2π

性质

圆周移位

x1(n)=x((n−n0))NRN(n)x_1(n)=x((n-n_0))_NR_N(n)x1(n)=x((n−n0))NRN(n)

X1(k)=WNkn0X(k)X_1(k)=W_N^{kn_0}X(k)X1(k)=WNkn0X(k)

5. 拉普拉斯变换

x(t)=estx(t)=e^{st}x(t)=est

y(t)=est∫−∞∞h(τ)e−stdτ=H(s)esty(t)=e^{st}\int_{-\infin}^{\infin}{h(\tau)e^{-st}\mathrm{d}\tau}=H(s)e^{st}y(t)=est∫−∞∞h(τ)e−stdτ=H(s)est

双边拉普拉斯变换

X(s)=∫−∞∞x(t)e−stdt=∫−∞∞[x(t)e−σt]e−jΩtdt,s=σ+jωX(s)=\int_{-\infin}^{\infin}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}=\int_{-\infin}^{\infin}{\left[x(t) e^{-\sigma t}\right]e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t},s=\sigma+j\omegaX(s)=∫−∞∞x(t)e−stdt=∫−∞∞[x(t)e−σt]e−jΩtdt,s=σ+jω

L{x(t)}=F{x(t)e−σt}\mathscr{L}\left\{x(t)\right\}=\mathscr{F}\left\{x(t)e^{-\sigma t}\right\}L{x(t)}=F{x(t)e−σt}
双边拉普拉斯反变换

x(t)=12πj∫σ−j∞σ+j∞X(s)estdsx(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}{X(s)e^{st}\mathrm{d}s}x(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞X(s)estds

5.1 收敛域

将 σ\sigmaσ 允许的取值范围称为 x(t)x(t)x(t) 拉普拉斯变换的收敛域

拉普拉斯变换收敛域的几何表示：零极点图
- X(s)=E(s)D(s)X(s)=\frac{E(s)}{D(s)}X(s)=D(s)E(s)，零点为 E(s)E(s)E(s) 的根 ooo ，极点为 D(s)D(s)D(s) 的根 ×\times×
- 收敛域由平行于虚轴的带状区域构成；收敛域内不包含任何极点
  
  右边信号，收敛域位于其最右边极点的右边；左边信号，收敛域位于其最左边极点的左边；双边信号，收敛域为一带状区域
  
  如果信号为时限的，并且至少存在一个 sss 值，使其拉斯变换存在，则收敛域为整个 sss 平面

5.2 常用拉普拉斯变换

ttt 的指数类函数 eatu(t)e^{at}u(t)eatu(t)：L[eatu(t)]=1s−a(σ>a)\mathscr{L}\left[e^{at}u(t)\right]=\frac{1}{s-a}(\sigma>a)L[eatu(t)]=s−a1(σ>a)
- L[cos⁡(Ωt)u(t)]=ss2+Ω2(σ>0)\mathscr{L}\left[\cos{(\Omega t)}u(t)\right]=\frac{s}{s^2+\Omega^2}(\sigma>0)L[cos(Ωt)u(t)]=s2+Ω2s(σ>0)
ttt 的幂函数类 tnu(t),n∈Z+t^nu(t),n\in \mathbb{Z}^+tnu(t),n∈Z+：L[tnu(t)]=nsL[tn−1u(t)]={L[tnu(t)]=n!sn+1L[tu(t)]=1s2(σ>0)\mathscr{L}\left[t^nu(t)\right]=\frac{n}{s}\mathscr{L}\left[t^{n-1}u(t)\right]=\begin{cases}\mathscr{L}\left[t^{n}u(t)\right]=\frac{n!}{s^{n+1}}\\\mathscr{L}\left[tu(t)\right]=\frac{1}{s^2}\end{cases}(\sigma>0)L[tnu(t)]=snL[tn−1u(t)]={L[tnu(t)]=sn+1n!L[tu(t)]=s21(σ>0)
单位冲激函数：L[δ(t)]=1,\mathscr{L}\left[\delta(t)\right]=1,L[δ(t)]=1, 收敛域为整个平面

5.3 双边拉普拉斯变换性质

线性：a⋅x1(t)+b⋅x2(t)↔a⋅X1(s)+b⋅X2(s),R1∩R2∈ROCa\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\leftrightarrow a\cdot X_1(s)+b\cdot X_2(s),R_1\cap R_2\in \mathrm{ROC}a⋅x1(t)+b⋅x2(t)↔a⋅X1(s)+b⋅X2(s),R1∩R2∈ROC
时域平移：x(t−t0)↔X(s)e−st0,x(t-t_0)\leftrightarrow X(s)e^{-st_0},x(t−t0)↔X(s)e−st0, 收敛域不变
复频域平移：x(t)es0t↔X(s−s0),x(t)e^{s_0t}\leftrightarrow X(s-s_0),x(t)es0t↔X(s−s0), 收敛域右移 Re{s0}\mathrm{Re}\left\{s_0\right\}Re{s0}
尺度变换：x(at)↔1∣a∣X(sa),R1=aRx(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}X\left(\frac{s}{a}\right),R_1=aRx(at)↔∣a∣1X(as),R1=aR
- x(−t)↔X(−s),R1=−Rx(-t)\leftrightarrow X(-s),R_1=-Rx(−t)↔X(−s),R1=−R
卷积定理
- 时域卷积：x1(t)∗x2(t)↔X1(s)⋅X2(s),R1∩R2∈ROCx_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)\cdot X_2(s),R_1\cap R_2\in \mathrm{ROC}x1(t)∗x2(t)↔X1(s)⋅X2(s),R1∩R2∈ROC
- 复频域卷积：x1(t)⋅x2(t)↔12πj[X1(s)∗X2(s)]x_1(t)\cdot x_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi j}\left[X_1(s)*X_2(s) \right]x1(t)⋅x2(t)↔2πj1[X1(s)∗X2(s)]
时域微分：x′(t)↔sX(s)x'(t)\leftrightarrow sX(s)x′(t)↔sX(s)

x(n)(t)↔snX(s),R∈ROC,x^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nX(s),R\in \mathrm{ROC},x(n)(t)↔snX(s),R∈ROC, 收敛域可能放大
时域积分：∫−∞tx(τ)dτ↔X(s)s,\int_{-\infin}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{X(s)}{s},∫−∞tx(τ)dτ↔sX(s), 收敛域为 R∩(σ>0)R\cap(\sigma>0)R∩(σ>0) 或 RRR（ RRR 在 s=0s=0s=0 处有 000 点）
复频域微分：tx(t)↔−X′(s),tx(t)\leftrightarrow -X'(s),tx(t)↔−X′(s), 收敛域不变
复频域积分：x(t)t↔∫s∞X(s)ds,\frac{x(t)}{t}\leftrightarrow \int_{s}^{\infin}{X(s)\mathrm{d}s},tx(t)↔∫s∞X(s)ds, 收敛域不变
初值定理：x(0+)=lim⁡t→0+x(t)=lim⁡s→∞sX(s)x(0^+)=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}{x(t)}=\lim\limits_{s\rightarrow\infin}{sX(s)}x(0+)=t→0+limx(t)=s→∞limsX(s)
- 若极限不存在，则 X(s)=a0+a1s+⋯+apsp+Xp(s)X(s)=a_0+a_1s+\cdots+a_ps^p+X_p(s)X(s)=a0+a1s+⋯+apsp+Xp(s)，x(0+)=lim⁡s→∞sXp(s)x(0^+)=\lim\limits_{s\rightarrow\infin}{sX_p(s)}x(0+)=s→∞limsXp(s)
终值定理

设右边函数 x(t)x(t)x(t) 及其导数存在并有拉普拉斯变换且的所有极点都位于 SSS 平面的左半边（包括在原点处的单极点），则 x(∞)=lim⁡t→∞x(t)=lim⁡s→0sX(s)x(\infin)=\lim\limits_{t\rightarrow \infin}{x(t)}=\lim\limits_{s\rightarrow 0}{sX(s)}x(∞)=t→∞limx(t)=s→0limsX(s)
- 如果有极点落在 SSS 平面右半边，则 x(t)→∞x(t)\rightarrow \infinx(t)→∞
- 如果有极点落在虚轴上，则 x(t)→x(t)\rightarrowx(t)→ 等幅振荡
- 如果原点处极点为重极点，则 x(t)→x(t)\rightarrowx(t)→ 随时间增长的函数

5.4 拉普拉斯反变换

x(t)=12πj∫σ−j∞σ+j∞X(s)estdsx(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}{X(s)e^{st}\mathrm{d}s}x(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞X(s)estds

X(s)=N(s)D(s)=bmsm+⋯+b1s+b0sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_ms^m+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}X(s)=D(s)N(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0bmsm+⋯+b1s+b0

m>nm>nm>n

X(s)=X(s)=X(s)= 多项式 + 有理真分式
m<nm<nm<n 且 D(s)=0D(s)=0D(s)=0 无重根

D(s)=(s−s1)⋯(s−sn)D(s)=(s-s_1)\cdots(s-s_n)D(s)=(s−s1)⋯(s−sn)

X(s)=K1s−s1+⋯+Kns−snX(s)=\frac{K_1}{s-s_1}+\cdots+\frac{K_n}{s-s_n}X(s)=s−s1K1+⋯+s−snKn

Kk=[(s−sk)N(s)D(s)]s=skK_k=\left[(s-s_k)\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_k}Kk=[(s−sk)D(s)N(s)]s=sk

Kks−sk↔{Kkesktu(t)−Kkesktu(−t)\frac{K_k}{s-s_k}\leftrightarrow\begin{cases}K_ke^{s_kt}u(t)\\-K_ke^{s_kt}u(-t) \end{cases}s−skKk↔{Kkesktu(t)−Kkesktu(−t)
- 极点位于收敛域左边或左边界：右边函数
- 极点位于收敛域右边或右边界：左边函数
- 极点位于收敛域两边或外边界：双边函数
m<nm<nm<n 且 D(s)=0D(s)=0D(s)=0 有重根

设 D(s)=0D(s)=0D(s)=0 有 ppp 重根，D(s)=(s−s1)p(s−sp+1)⋯(s−sn)D(s)=(s-s_1)^p(s-s_{p+1})\cdots(s-s_n)D(s)=(s−s1)p(s−sp+1)⋯(s−sn)

X(s)=K1p(s−s1)p+K1(p−1)(s−s1)p−1+⋯+K11s−s1+Kp+1s−sp+1+⋯+Kns−snX(s)=\frac{K_{1p}}{(s-s_{1})^{p}}+\frac{K_{1(p-1)}}{(s-s_{1})^{p-1}}+\cdots+\frac{K_{11}}{s-s_{1}}+\frac{K_{p+1}}{s-s_{p+1}}+\cdots+\frac{K_{n}}{s-s_{n}}X(s)=(s−s1)pK1p+(s−s1)p−1K1(p−1)+⋯+s−s1K11+s−sp+1Kp+1+⋯+s−snKn

K1p=[(s−s1)pN(s)D(s)]s=s1K_{1p}=\left[(s-s_1)^p\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_1}K1p=[(s−s1)pD(s)N(s)]s=s1

K1k=1(p−k)!dp−kdsp−k[(s−s1)pN(s)D(s)]s=s1K_{1k}=\frac{1}{(p-k)!}\frac{\mathrm{d}^{p-k}}{\mathrm{d}s^{p-k}}\left[(s-s_1)^p\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_1}K1k=(p−k)!1dsp−kdp−k[(s−s1)pD(s)N(s)]s=s1

L−1[X(s)]=[K1p(p−1)!tp−1+K1(p−1)(p−2)!tp−2+⋯+K12t+K11]es1tu(t)+∑q=p+1nKkesqtu(t)\mathscr{L^{-1}}\left[X(s)\right]=\left[\frac{K_{1p}}{(p-1)!}t^{p-1}+\frac{K_{1(p-1)}}{(p-2)!}t^{p-2}+\cdots+K_{12}t+K_{11} \right]e^{s_1t}u(t)+\sum\limits_{q=p+1}^{n}{K_ke^{s_qt}u(t)}L−1[X(s)]=[(p−1)!K1ptp−1+(p−2)!K1(p−1)tp−2+⋯+K12t+K11]es1tu(t)+q=p+1∑nKkesqtu(t)

5.5 连续时间系统复频域分析方法

将激励信号分解为 este^{st}est 形式的指数分量（求拉氏变换）x(t)→X(s)x(t)\rightarrow X(s)x(t)→X(s)
确定复频域的系统函数 H(s)H(s)H(s)
求取每一分量的响应 Y(s)=X(s)⋅H(s)Y(s)=X(s)\cdot H(s)Y(s)=X(s)⋅H(s)
对响应复频谱函数求拉氏反变换得到系统的响应函数 Y(s)→y(t)Y(s)\rightarrow y(t)Y(s)→y(t)

∑k=0NakskY(s)=∑k=0MbkskX(s)\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ks^kY(s)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ks^kX(s)}k=0∑NakskY(s)=k=0∑MbkskX(s)

H(s)=∑k=0Mbksk∑k=0Naksk=bMaN∏k=1M(s−zk)∏k=1N(s−pk)H(s)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ks^k}}{\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ks^k}}=\frac{b_M}{a_N}\frac{\prod\limits_{k=1}^{M}{(s-z_k)}}{\prod\limits_{k=1}^{N}{(s-p_k)}}H(s)=k=0∑Nakskk=0∑Mbksk=aNbMk=1∏N(s−pk)k=1∏M(s−zk)，zkz_kzk 为零点，pkp_kpk 为极点

因果且稳定的 LTI 系统，系统函数的收敛域一定包含虚轴，且系统函数的全部极点一定位于 SSS 平面的左半平面

5.6 单边拉普拉斯变换

X(s)=∫0∞x(t)e−stdt\mathscr{X}(s)=\int_{0}^{\infin}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}X(s)=∫0∞x(t)e−stdt

存在冲激函数及其导数时，X(s)=∫0−∞x(t)e−stdt\mathscr{X}(s)=\int_{0^-}^{\infin}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}X(s)=∫0−∞x(t)e−stdt

反变换 x(t)u(t)=[12πj∫σ−j∞σ+j∞X(s)estdt]u(t)x(t)u(t)=\left[\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}{X(s)e^{st}\mathrm{d}t} \right]u(t)x(t)u(t)=[2πj1∫σ−j∞σ+j∞X(s)estdt]u(t)

右边信号：单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换相同
双边信号：单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换不同

性质

时域微分：x′(t)↔sX(s)−x(0−)x'(t)\leftrightarrow s\mathscr{X}(s)-x(0^-)x′(t)↔sX(s)−x(0−)
时域积分：∫−∞tx(τ)dτ↔1sX(s)+∫−∞0−x(τ)dτs\int_{-\infin}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{1}{s}\mathscr{X}(s)+\frac{\int_{-\infin}^{0^-}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}}{s}∫−∞tx(τ)dτ↔s1X(s)+s∫−∞0−x(τ)dτ

6. Z\mathscr{Z}Z变换

x(n)=znx(n)=z^nx(n)=zn

y(n)=zn∑k=−∞∞h(k)z−k=znH(z)y(n)=z^n\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{h(k)z^{-k}}=z^nH(z)y(n)=znk=−∞∑∞h(k)z−k=znH(z)

6.1 Z\mathscr{Z}Z变换

双边Z\mathscr{Z}Z变换 Z[x(n)]=X(z)=∑n=−∞∞x(n)z−n\mathscr{Z}[x(n)]=X(z)=\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{x(n)z^{-n}}Z[x(n)]=X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n
单边Z\mathscr{Z}Z变换 Z[x(n)u(n)]=X(z)=∑n=0∞x(n)z−n\mathscr{Z}[x(n)u(n)]=\mathscr{X}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infin}{x(n)z^{-n}}Z[x(n)u(n)]=X(z)=n=0∑∞x(n)z−n
收敛域
- 有限长序列 x(n)(n1≤n≤n2)x(n)(n_1\leq n\leq n_2)x(n)(n1≤n≤n2)
  - n2>n1≥0n_2>n_1\geq 0n2>n1≥0 或 n2≥n1>0⇒o<∣z∣≤∞n_2\geq n_1>0\Rightarrow o<|z|\leq\infinn2≥n1>0⇒o<∣z∣≤∞
  - n2>0,n1<0⇒0<∣z∣<∞n_2>0,n_1<0\Rightarrow 0<|z|<\infinn2>0,n1<0⇒0<∣z∣<∞
  - 0≥n2>n10\geq n_2>n_10≥n2>n1 或 1>n2≥n1⇒0≤∣z∣<∞1>n_2\geq n_1\Rightarrow 0\leq|z|<\infin1>n2≥n1⇒0≤∣z∣<∞
- 右边序列（因果序列）：Rr<∣z∣≤∞R_r<|z|\leq\infinRr<∣z∣≤∞
- 左边序列（反因果序列）：∣z∣<Rl|z|<R_l∣z∣<Rl
- 双边序列：若 Rl>RrR_l>R_rRl>Rr，Rr<∣z∣<RlR_r<|z|<R_lRr<∣z∣<Rl；若 Rl>RrR_l>R_rRl>Rr，没有收敛，没有Z\mathscr{Z}Z变换
Z\mathscr{Z}Z变换和拉普拉斯变换关系：z−esTz-e^{sT}z−esT
Z\mathscr{Z}Z变换和离散时间傅立叶变换：z=rejωz=re^{j\omega}z=rejω

6.2 常用Z\mathscr{Z}Z变换

单位冲激函数：δ(n)↔1(o≤∣z∣≤∞)\delta(n)\leftrightarrow1(o\leq|z|\leq\infin)δ(n)↔1(o≤∣z∣≤∞)，Z[δ(n)]=1\mathscr{Z}[\delta(n)]=1Z[δ(n)]=1
单位阶跃序列：u(n)↔zz−1(∣z∣>1)右边序列u(n)\leftrightarrow \frac{z}{z-1}(|z|>1)右边序列u(n)↔z−1z(∣z∣>1)右边序列，Z[u(n)]=11−z−1\mathscr{Z}[u(n)]=\frac{1}{1-z^{-1}}Z[u(n)]=1−z−11
单边指数序列：anu(n)↔zz−a(∣z∣>∣a∣)右边序列a^nu(n)\leftrightarrow \frac{z}{z-a}(|z|>|a|)右边序列anu(n)↔z−az(∣z∣>∣a∣)右边序列，Z[anu(n)]=zz−a,∣az−1∣<1,∣z∣>a\mathscr{Z}[a^nu(n)]=\frac{z}{z-a},|az^{-1}|<1,|z|>aZ[anu(n)]=z−az,∣az−1∣<1,∣z∣>a

6.3 双边Z\mathscr{Z}Z变换常用性质

时域平移：x(n−n0)↔z−n0X(z)x(n-n_0)\leftrightarrow z^{-n_0}X(z)x(n−n0)↔z−n0X(z)，RRR 在原点或无穷远处可能发生变化
线性特征：a1x1(n)+a2x2(n)↔a1X1(z)+a2X2(z),R1∩R2∈Ra_1x_1(n)+a_2x_2(n)\leftrightarrow a_1X_1(z)+a_2X_2(z),R_1\cap R_2\in Ra1x1(n)+a2x2(n)↔a1X1(z)+a2X2(z),R1∩R2∈R
移频特性：ejω0nx(n)↔X(ze−jω0),e^{j\omega_0 n}x(n)\leftrightarrow X(ze^{-j\omega_0}),ejω0nx(n)↔X(ze−jω0), 收敛域不变
Z\mathscr{Z}Z域尺度变换特性：z0nx(n)↔X(zz0),∣z0∣Rz_0^nx(n)\leftrightarrow X\left(\frac{z}{z_0}\right),|z_0|Rz0nx(n)↔X(z0z),∣z0∣R，z0=r0ejω0z_0=r_0e^{j\omega_0}z0=r0ejω0
时域反转特性：x(−n)↔X(z−1),1Rx(-n)\leftrightarrow X(z^{-1}),\frac{1}{R}x(−n)↔X(z−1),R1
卷积定理：x1(n)∗x2(n)↔X1(z)⋅X2(z)x_1(n)*x_2(n)\leftrightarrow X_1(z)\cdot X_2(z)x1(n)∗x2(n)↔X1(z)⋅X2(z)
Z\mathscr{Z}Z域微分特性：nx(n)↔−zX′(z),Rnx(n)\leftrightarrow -zX'(z),Rnx(n)↔−zX′(z),R 不变
时域求和性质：∑k=−∞nx(k)↔zz−1X(z),R∩(∣z∣>1)\sum\limits_{k=-\infin}^{n}{x(k)}\leftrightarrow \frac{z}{z-1}X(z),R\cap(|z|>1)k=−∞∑nx(k)↔z−1zX(z),R∩(∣z∣>1)
初值定理：x(0)=lim⁡z→∞X(z)x(0)=\lim\limits_{z\rightarrow\infin}{X(z)}x(0)=z→∞limX(z)
终值定理：除了单位圆上允许有一阶极点之外，其余极点都在单位圆之内

x(∞)=lim⁡z→1[(z−1)X(z)]x(\infin)=\lim\limits_{z\rightarrow 1}{[(z-1)X(z)]}x(∞)=z→1lim[(z−1)X(z)]

6.4 Z\mathscr{Z}Z反变换

x(n)=12πj∮CX(z)zn−1dzx(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}{X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z}x(n)=2πj1∮CX(z)zn−1dz，CCC 是在收敛域内包围z平面原点的闭合积分路线

幂级数展开法

X(z)=∑n=−∞∞x(n)z−n,z=rejωX(z)=\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{x(n)z^{-n}},z=re^{j\omega}X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n,z=rejω

X(z)=N(z)D(z)=⋯+x(−1)z+x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+⋯+x(n)z−n+⋯X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\cdots+x(-1)z+x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\cdots+x(n)z^{-n}+\cdotsX(z)=D(z)N(z)=⋯+x(−1)z+x(0)+x(1)z−1+x(2)z−2+⋯+x(n)z−n+⋯

展开方法(长除法)：对右边的序列按 zzz 的降幂的顺序排列；对左边的序列按 zzz 的升幂的顺序排列

部分式展开法

6.5 离散时间LTI的Z\mathscr{Z}Z域分析方法

∑k=0naky(n−k)=∑k=0mbkx(n−k)\sum\limits_{k=0}^{n}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx(n-k)}k=0∑naky(n−k)=k=0∑mbkx(n−k)，H(z)=∑k=0Mbkz−k∑k=0Nakz−kH(z)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kz^{-k}}}{\sum\limits_{k=0}^{N}{a_kz^{-k}}}H(z)=k=0∑Nakz−kk=0∑Mbkz−k

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【笔记】信号与线性系统

文章目录

1. 信号与系统

1.2 信号

信号自变量变换

信号的特性

基本常用信号

冲激函数及其性质

1.3 系统

时间系统基本单元

输入输出方程

系统性质

2. 信号与系统的时域分析

2.1 连续LTI卷积

信号的时域分解

卷积

图解卷积

卷积性质

2.2 连续LTI单位冲激响应

微分方程描述

单位冲激响应求解

2.3 离散LTI卷积

卷积和

图解法

性质

2.4 离散LTI单位脉冲响应

差分方程描述

单位脉冲响应求解

2.4 系统性质分析

2.5 离散LTI系统方框图

2.6 连续LTI系统方框图

3 连续时间信号与系统的频域分析

3.1 信号分解

3.2 周期信号傅立叶级数

性质

3.3 傅立叶变换

频谱

非周期信号傅立叶变换

常用傅立叶变换

周期信号傅立叶变换

3.4 傅立叶变换性质

3.5 连续时间系统频域分析

理想低通滤波器

调制与解调

连续信号的时域抽样

4 连续时间信号与系统的频域分析

4.1 信号分解

4.2 离散时间周期信号傅立叶级数

4.3 傅立叶变换

非周期信号傅立叶变换

常用序列傅立叶变换

周期信号傅立叶变换

4.4 傅立叶变换性质

4.5 离散时间系统频域分析

4.6 离散傅里叶变换

性质

5. 拉普拉斯变换

5.1 收敛域

5.2 常用拉普拉斯变换

5.3 双边拉普拉斯变换性质

5.4 拉普拉斯反变换

5.5 连续时间系统复频域分析方法

5.6 单边拉普拉斯变换

性质

6. Z\mathscr{Z}Z变换

6.1 Z\mathscr{Z}Z变换

6.2 常用Z\mathscr{Z}Z变换

6.3 双边Z\mathscr{Z}Z变换常用性质

6.4 Z\mathscr{Z}Z反变换

幂级数展开法

部分式展开法

6.5 离散时间LTI的Z\mathscr{Z}Z域分析方法

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