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一、如何理解分治算法

二、分治算法需要满足的条件

三、分治算法--代码模板

四、案例

五、分治思想在海量数据处理中的应用

一、如何理解分治算法

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

这个定义看起来有点类似递归的定义。关于分治和递归的区别，分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

分解：将原问题分解成一系列子问题；

解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；

合并：将子问题的结果合并成原问题。

二、分治算法需要满足的条件

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别，等我们讲到动态规划的时候，会详细对比这两种算法；
具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

三、分治算法--代码模板

Java
public void divide_conquer(problem,param1,param2,...) {
    //1、终点结束目标
    if (problem == null) {
        return result;
    }

//2、数据预处理
data = prepare_data(problem);
subproblems = split_problem(problem,data);

//3、处理子问题
    subresult1 = self.divide_conquer(subproblems[0],param1,...);
    subresult2 = self.divide_conquer(subproblems[1],param1,...);
    subresult3 = self.divide_conquer(subproblems[2],param1,...);
    ...
    //4、合并子问题
    result = process_result(subresult1,subresult2,subresult3,...);

//5、还原当前状态

}

四、案例

假设我们有 n 个数据,统计逆序读的个数。比如，2,4,3,1,5,6的逆序对个数为4.

解题思路：

最笨的方法是，拿每个数字跟它后面的数字比较，看有几个比它小的。我们把比它小的数字个数记作 k，通过这样的方式，把每个数字都考察一遍之后，然后对每个数字对应的 k 值求和，最后得到的总和就是逆序对个数。不过，这样操作的时间复杂度是 O(n^2)。那有没有更加高效的处理方法呢？

我们用分治算法来试试。我们套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。

private int num = 0; // 全局变量或者成员变量

public int count(int[] a, int n) {

num = 0;

mergeSortCounting(a, 0, n-1);

return num;

}

private void mergeSortCounting(int[] a, int p, int r) {

if (p >= r) return;

int q = (p+r)/2;

mergeSortCounting(a, p, q);

mergeSortCounting(a, q+1, r);

merge(a, p, q, r);

}

private void merge(int[] a, int p, int q, int r) {

int i = p, j = q+1, k = 0;

int[] tmp = new int[r-p+1];

while (i<=q && j<=r) {

if (a[i] <= a[j]) {

tmp[k++] = a[i++];

} else {

num += (q-i+1); // 统计p-q之间，比a[j]大的元素个数

tmp[k++] = a[j++];

}

while (i <= q) { // 处理剩下的

tmp[k++] = a[i++];

}

while (j <= r) { // 处理剩下的

tmp[k++] = a[j++];

}

for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从tmp拷贝回a

a[p+i] = tmp[i];

}

五、分治思想在海量数据处理中的应用

分治算法思想的应用是非常广泛的，并不仅限于指导编程和算法设计。它还经常用在海量数据处理的场景中。我们前面讲的数据结构和算法，大部分都是基于内存存储和单机处理。但是，如果要处理的数据量非常大，没法一次性放到内存中，这个时候，这些数据结构和算法就无法工作了。

比如，给 10GB 的订单文件按照金额排序这样一个需求，看似是一个简单的排序问题，但是因为数据量大，有 10GB，而我们的机器的内存可能只有 2、3GB 这样子，无法一次性加载到内存，也就无法通过单纯地使用快排、归并等基础算法来解决了。

要解决这种数据量大到内存装不下的问题，我们就可以利用分治的思想。我们可以将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后再将小数据集合合并成大数据集合。实际上，利用这种分治的处理思路，不仅仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。

比如刚刚举的那个例子，给 10GB 的订单排序，我们就可以先扫描一遍订单，根据订单的金额，将 10GB 的文件划分为几个金额区间。比如订单金额为 1 到 100 元的放到一个小文件，101 到 200 之间的放到另一个文件，以此类推。这样每个小文件都可以单独加载到内存排序，最后将这些有序的小文件合并，就是最终有序的 10GB 订单数据了。

如果订单数据存储在类似 GFS 这样的分布式系统上，当 10GB 的订单被划分成多个小文件的时候，每个文件可以并行加载到多台机器上处理，最后再将结果合并在一起，这样并行处理的速度也加快了很多。不过，这里有一个点要注意，就是数据的存储与计算所在的机器是同一个或者在网络中靠的很近（比如一个局域网内，数据存取速度很快），否则就会因为数据访问的速度，导致整个处理过程不但不会变快，反而有可能变慢。

声明：文章内容是极客时间专栏学习的学习笔记，会做简化或调整，欢迎大家留言和评论。

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