算法每日一题--分治算法(二)-李富贵要上岸985

题目：魔法石的诱惑

分析一

想要做出这个题，首先得知道：给定一个正整数n，怎么快速计算出n的阶乘尾部0的个数

这种题嘛，主要是找规律，找出规律来后就很简单了。ok，先想想，阶乘最后有0，如果一个偶数和5相乘，不就有0吗？还有其他情况吗，当然10，15，20这种的乘偶数也有0，但10，15，20不也能分解成5乘某个数吗？

如：
OOO代表偶数

5=5∗4∗3∗2∗15=5*4*3*2*15=5∗4∗3∗2∗1
2∗O2*O2∗O最后肯定有一个0

10=10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗110 = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*110=10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1
10∗O,5∗O10*O,5*O10∗O,5∗O有两个0

18=18∗17∗16∗15...∗10...∗5...∗118 = 18*17*16*15...*10...*5...*118=18∗17∗16∗15...∗10...∗5...∗1
15∗O，10∗O,5∗O15*O，10*O,5*O15∗O，10∗O,5∗O有两个0

25=25∗...∗20∗...∗15∗...∗10∗...525=25*...*20*...*15*...*10*...525=25∗...∗20∗...∗15∗...∗10∗...5

ok问题来了25∗4=10025*4=10025∗4=100这里有俩0，怎么判断呢？
很简单啊，25=5∗525=5*525=5∗5这里能分解成两个5，再随便俩偶数不就有俩0了吗？
再往前看10的阶乘，10=2∗510=2*510=2∗5，这里其实也相当于一个5乘了一个偶数。

哦，这样的话规律就找到了，就看这个数按阶乘展开后，能被分解成多少个5就有多少个0，25有5∗5=25,4∗5=20,3∗5=15,2∗5=10,55*5=25,4*5=20,3*5=15,2*5=10,55∗5=25,4∗5=20,3∗5=15,2∗5=10,5一共6个5，经过计算，确实6个5

s = 1
for i in range(1,26):s *=i
print(s)15511210043330985984000000

原理搞明白了就看看有多少个5就行了。ok搞代码

先从简单的来，如15的阶乘，可以直接循环，看有几个除5，余数为0即可。
然后看25这种的，余数也为0，那怎么判断呢？
25%5=0，但25/5=5，所以如果先判断他的余数是否为0，如果为0，count就加1，然后再判断25/5除5的余数是否还为0。
那125有三个5，咋判断呢？很简单啊，用个while循环，一直让他除5，等于0就count+1，除5再判断，再判断。最终代码如下：

count = 0
n = 28
if n < 5:print(n,"没有0")
else:for i in range(5,n+1,5): #  这里从5开始。每隔5个数才会被除一次，其他书肯定被5除不开，所以也不用判断增加时间复杂度while i%5 == 0:  #先判断能否被5整除count += 1 # 如果能被5整除，则count+1i = i/5 # 再算一下cout/5之后还能否被5整除，循环相加print("{}有{}个0".format(n,count))

分析二：提高

当输入99999999时，计算要好大一会，时间复杂度为O(N/5)~=O(N)，总感觉里面还有规律，可以让时间复杂度降的更低。ok再找找。

其实分析上面的数列可知，每5个数中会出现一个可以产生结果中0的数字。把这些数字抽取出来是：

...、5、...、10、...、15、...、20、...、25、......、5、...、10、...、15、...、20、...、25、......、5、...、10、...、15、...、20、...、25、...

这些数字是5的倍数。统计一下他们的数量：n1=N/5。比如28，则之前应该是5,10,15,20,25共28//5=5个数字满足要求。

整理一下：5*（1，2，3，4，5），即28能直接提取5个5

（1，2，3，4，5）里面还能再提取一个5这就是6个5

再比如78，则之前应该是5,10,15,20,25…75

整理一下：5*（1，2，3，4，5…25）即75能直接提取75//5=25个数字。

（1，2，3，4，5…25）里面还能再提取(5、10、15、20、25)(5、10、15、20、25)(5、10、15、20、25)
整理一下：5*（1，2，3，4，5），这里即25//5=5个5，

（1，2，3，4，5）里面又能提取1个5，即一共25+5+1=31个5，即阶乘后有31个0。

规律差不多能看出来了，即先找出里面有几个能直接被5整除的，然后再看整除商（即n//5得到的数）能有几个被5整除，再反复循环找下去，知道整除商不能被5整除，即小于5停止。
ok搞代码：

def trailingZeros(n):count = 0while n >=5: # 整除商小于5后就可以不计算了，肯定没有5的倍数了count += n // 5  # 先加直接能直接提取的5的个数n //= 5         # 再从整除商里提取能被5整除的个数print(n)return count
trailingZeros(9999999)

原题解法

书上给的分治算法有点难懂，时间复杂度也大，所以我直接使用上面分析得到的结果会比较直观。

上面分析的可以结果其实是先找有几个能被5直接整除的，再找几个能被525^252整除的，再53,...5k5^3,...5^k53,...5k，再加起来即可。
即Q=n/5+N/52+...+n/5kQ = n/5+N/5^2+...+n/5^kQ=n/5+N/52+...+n/5k

等比数列求和：Q=n4∗(1−15k)Q=\frac{n}{4}*(1-\frac{1}{5^k})Q=4n∗(1−5k1)
因为15k\frac{1}{5^k}5k1是接近1的，但小于1，所以n是约等于4Q的，但一定比4Q稍大，所以:
n≈Q∗4n≈Q*4n≈Q∗4

这样求解就简单了：

def trailingZeros(n):count = 0while n >=5: # 整除商小于5后就可以不计算了，肯定没有5的倍数了count += n // 5  # 先加直接能直接提取的5的个数n //= 5         # 再从整除商里提取能被5整除的个数return counttrailingZeros(2679)q = 666 # 输入值
n = 4*q  # 大体值，但最终数肯定要比4*q大
n = n-n%5  # 5是分界线，减去被5除的余数即可得到最小自然数
while True: s = trailingZeros(n)  if q > s: # q>s说明数小了，稍微提高一点n +=5elif q<s:print(n,s,"unknow")breakelse:print(n,s)break