特征值、特征根、秩、计算行列式、线性相关性、矩阵的相似、你可以想到有几种方法证明一个矩阵满秩、奇异值分解、线性相关与线性无关、什么叫矩阵的迹、正定是什么意思、什么是线性方程组有解/无解/有唯一解的条件、正交矩阵、MATLAB解线性方程组的原理、矩阵的微分、矩阵的幂运算、矩阵的导数

一. 行列式，秩，迹 ，正定矩阵

1、行列式

将矩阵映射为一个标量，矩阵每列代表一个边(平面)，行列式表示多维空间各平面围成的体积。

2、秩

线性无关列的极大数目。本质：空间维度。

矩阵的秩就是矩阵中不等于0的子式的最高阶数。

行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的行数。

(1)与向量组的关系：

矩阵的秩等于它列向量组的秩，也等于它行向量组的秩。

向量组的秩定义为向量组的极大线性无关组所含向量的个数。

(2)与向量空间的关系(几何意义)：

任何矩阵的行空间的维数等于矩阵的列空间的维数等于矩阵的秩。

(3)与线性方程组解的关系：

设A是m×n矩阵，若R(A)=r＜n，则齐次线性方程组Ax=0有基础解系，且每个基础解系都含n-r个解向量。

(4)与线性变换的关系：

所谓一个线性变换的秩，无非就是变换后，还能保持非零体积的几何形状的最大维度。

3、迹

矩阵主对角线。

4、正定矩阵

特征值都大于0的矩阵

5、半正定矩阵

特征值大于等于0的矩阵

二、线性相关与线性无关

1、向量组的线性组合

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2、向量组的线性相关性

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3、线性相关、无关与线性表示的关系

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4、线性相关的几何意义

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三、 向量范数，矩阵范数

1、向量范数

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向量范数2.png

2、矩阵范数

矩阵范数

四、行空间，列空间，它们关系？

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五、 线性方程组有解/无解/唯一解的条件？

1、无解：系数矩阵秩 < 增广矩阵的秩

2、唯一解：系数矩阵秩 = 增广矩阵的秩 = 列数 n

3、无穷解：系数矩阵秩 = 增广矩阵的秩 < 列数 n

六、线性方程组解的结构

1、齐次线性方程组解的结构

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2、非齐次线性方程组

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3、一些结论

(1)若(A|b)经初等行变换，变换为(B|d)，则线性方程组Ax=b与Bx=d同解

(2)Ax=0有非零解⟺ R(A)＜n，n为未知量的个数⟺ A的列向量组线性相关

(3)Ax=b有解⟺ R(A)=R(A˜). ⟺ b可由A的列向量组线性表示

(4)若R(A)=R(A˜)=r，则当r=n时，Ax=b有唯一解；当r＜n时，Ax=b有无穷多个解

七、标准正交基，施密特变换

1、标准正交基

两量正交的向量，且长度为单位1

2、正交矩阵

矩阵的转置和矩阵的乘积=单位阵，那么这个矩阵就是正交矩阵，他的列向量组一定是标准正交向量组

3、施密特变换

求标准正交基的方法。把一个线性无关向量组改造成一个与其等价的正交向量组。

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八、二次型与标准型

1、二次型定义

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2、标准型定义

仅含平方项的二次型称为标准形式的二次型，简称标准型。

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3、二次型的矩阵表示

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4、二次型的秩

矩阵A的秩称为二次型f(x)的秩，二次型的矩阵一定是对称矩阵。

5、合同矩阵

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6、化二次型为标准型

(1)正交变换法(最常用)

性质：正交变换保持向量的内积、范数、夹角不变。

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(2)配方法

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(3)初等变换法

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九、相似矩阵

1、常规相似矩阵

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2、实对称矩阵的相似矩阵

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十、 Jordan标准型

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十一、Pseudo Inverse伪逆矩阵

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十二、Normal Equation正规方程

1、介绍

一种优化方法，求导数的一种方法。【X * θ = Y 推导(左乘转置矩阵变成方阵之后求逆)】

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2、梯度下降与正规方程的对比

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3、矩阵不可逆时，如何求解θ矩阵

不可逆时有以下两种情况：

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针对1：因为线性相关的向量(有一个是多余的)，只需删除一个就好；

针对2：因为太多特征导致，所以需要删除一些特征，或者使用正则化的方法(regularization)

十三、SVD 奇异值分解

如何一个矩阵为方阵，我们可通过它的特征值和特征向量来表示这个矩阵：

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SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

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举个例子：对物体进行受力分析，各个方向上力合成最后的力。特征值分解就好比是对最终的力分解成各个方向上的力，特征向量表示力的方向，特征值表示各方向力的大小。

特征值分解针对方针，SVD可以对非方阵进行分解。

十四、参考