第四章不定积分 \color{blue}{第四章不定积分}

第四章第一节不定积分的概念与性质 \color{blue}{第四章第一节不定积分的概念与性质}

一、原函数与不定积分的概念 \color{blue}{一、原函数与不定积分的概念}

定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足F ′ (x)=f(x)或DF(x)=f(x)dx,则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.如:sinx的原函数有−cosx,−cosx+C(C为常数) 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) \\ 满足F^{\prime}(x) = f(x)或DF(x) = f(x) dx,则称F(x)为f(x)\\ 在区间I上的一个原函数.\\ 如: \sin{x}的原函数有-\cos{x}, -\cos{x} + C(C为常数)
问题：1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示? 问题：\\ 1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?\\ 2.若原函数存在,它如何表示?

定理1.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数. 定理1.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数.
初等函数在定义区间上连续⟹初等函数在定义区间上存在原函数初等函数在定义区间上连续\Longrightarrow 初等函数在定义区间上存在原函数

定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的所有原函数为F(x)+C(C为任意常数) 定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的所有原函数为F(x) + C(C为任意常数)
证:1)∵(F(x)+C) ′ =F ′ (x)=f(x)∴F(x)+C是f(x)的原函数2)设Φ(x)是f(x)的任意原函数,即Φ ′ (x)=f(x)又知F ′ (x)=f(x)∴[Φ(x)−F(x)] ′ =Φ ′ (x)−F ′ (x)=f(x)−f(x)=0即Φ(x)−F(x)=C(常数) 故Φ(x)=F(x)+C 证:1)\because (F(x) + C)^{\prime} = F^{\prime}(x) = f(x)\\ \therefore F(x) + C是f(x)的原函数\\ 2)设\Phi(x)是f(x)的任意原函数,即\Phi^{\prime}(x) = f(x)\\ 又知\quad F^{\prime}(x) = f(x)\\ \therefore [\Phi(x) - F(x)]^{\prime} = \Phi^{\prime}(x) - F^{\prime}(x) = f(x) - f(x) = 0 \\ 即\Phi(x) - F(x) = C(常数) \\\ 故\Phi(x) = F(x) + C

定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分,记作∫f(x)dx,其中∫–积分号；f(x)–被积函数；x–积分变量；f(x)dx–被积表达式若F ′ (x)=f(x),则∫f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数) 定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I\\ 上的不定积分,记作\int{f(x)dx},其中\\ \int –积分号；f(x) – 被积函数； \\ x–积分变量；f(x)dx–被积表达式\\ 若F^{\prime}(x) = f(x),则\\ \int{f(x)dx} = F(x) + C \quad (C为任意常数)
例如：∫e x dx=e x +C∫x 2 dx=13 x 3 +C 例如：\int{e^x dx} = e^x + C\\ \int{x^2 dx} = \dfrac{1}{3}x^3 + C
不定积分的几何意义：f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.∫f(x)dx的图形–f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族不定积分的几何意义：\\ f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.\\ \int{f(x)dx}的图形–f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族

例1.设曲线通过点(1,2),且其上任意点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程. 例1.设曲线通过点(1, 2),且其上任意点处的切线\\ 斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解：∵y ′ =2x∴y=∫2xdx=x 2 +C2=1 2 +CC=1y=x 2 +1 解：\because y^{\prime} = 2x\\ \therefore y = \int{2xdx} = x^2 + C\\ 2 = 1^2 + C \\ C = 1 \\ y = x^2 + 1

从不定积分可知：(1)ddx [∫f(x)dx]=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx(2)∫F ′ (x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C 从不定积分可知： (1)\dfrac{d}{dx}[\int{f(x)dx}] = f(x) 或 d[\int{f(x)dx}] = f(x)dx \\ (2) \int{F^{\prime}(x)dx} = F(x) + C 或 \int{dF(x)} = F(x) + C

二、基本积分表 \color{blue}{二、基本积分表}

(1)∫kdx=kx+C(k为任意常数) (1) \int{kdx} = kx + C \quad (k为任意常数)
(2)∫x μ dx=1μ+1 x μ+1 +C(μ≠−1) (2) \int{x^{\mu}dx} = \dfrac{1}{\mu + 1} x^{\mu + 1} + C \quad (\mu \neq -1)
(3)∫dxx =ln|x|+C (3) \int{\dfrac{dx}{x}} = \ln|x| + C
(4)∫dx1+x 2 =arctanx+C (4) \int{\dfrac{dx}{1 + x^2}} = \arctan{x} + C
(5)∫dx1−x 2 − − − − − √ =arcsinx+C (5) \int{\dfrac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}} = \arcsin{x} + C
(6)∫cosxdx=sinx+C (6) \int{\cos{x} dx} = \sin{x} + C
(7)∫sinxdx=−cosx+C (7) \int{\sin{x} dx} = -\cos{x} + C
(8)∫dxcos 2 x =∫sec 2 xdx=tanx+C (8) \int{\dfrac{dx}{\cos^2{x}}} = \int{\sec^2{x} dx} = \tan{x} + C
(9)∫dxsin 2 x =∫csc 2 xdx=−cotx+C (9) \int{\dfrac{dx}{\sin^2{x}}} = \int{\csc^2{x} dx} = -\cot{x} + C
(10)∫secxtanxdx=secx+C (10) \int{\sec{x} \tan{x} dx} = \sec{x} + C
(11)∫cscxcotxdx=−cscx+C (11) \int{\csc{x} \cot{x} dx} = -\csc{x} + C
(12)∫e x dx=e x +C (12) \int{e^x dx} = e^x + C
(13)∫a x dx=a x lna +C (13) \int{a^x dx} = \dfrac{a^x}{\ln{a}} + C

例2.求∫dxxx √ 3 例2.求\int{\dfrac{dx}{x\sqrt[3]{x}}}
解：∫dxxx √ 3 =1−43 +1 x (−43 +1) +C=−3x √ 3 +C 解：\\ \int{\dfrac{dx}{x\sqrt[3]{x}}} \\ = \dfrac{1}{-\frac{4}{3} + 1} x^{(-\frac{4}{3} + 1)} + C \\ = -\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}} + C

例3.求∫sinx2 cosx2 dx. 例3.求\int{\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} dx}.
解：∫sinx2 cosx2 dx=∫12 sinxdx=−12 cosx+C 解：\\ \int{\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} dx} \\ = \int{\dfrac{1}{2}\sin{x} dx} \\ = -\dfrac{1}{2} \cos{x} + C

三、不定积分的性质 \color{blue}{三、不定积分的性质}

1.∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k≠0) 1.\int{kf(x)dx} = k\int{f(x)dx} (k \neq 0)
2.∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 2.\int{[f(x) \pm g(x)]dx} = \int{f(x)dx} \pm \int{g(x)dx}

例4.求∫2 x (e x −5)dx. 例4.求\int{2^x(e^x - 5)dx}.
解：∫2 x (e x −5)dx=∫(2e) x dx−5∫2 x dx=(2e) x ln(2e) −52 x ln2 +C=2 x [e x ln2+1 −5ln2 ]+C 解：\\ \int{2^x(e^x - 5)dx} \\ = \int{(2e)^x dx} - 5 \int{2^x dx} \\ = \dfrac{(2e)^x}{\ln(2e)} - 5 \dfrac{2^x}{\ln{2}} + C \\ = 2^x[\dfrac{e^x}{\ln{2} + 1} - \dfrac{5}{\ln{2}}] + C

例5.求∫tan 2 xdx. 例5.求\int{\tan^2{x}dx}.
解：∫tan 2 xdx=∫[sec 2 x−1]dx=∫sec 2 xdx−∫1dx=tanx−x+C 解：\\ \int{\tan^2{x}dx} \\ = \int{[\sec^2{x} - 1]dx} \\ = \int{\sec^2{x} dx} - \int{1dx} \\ = \tan{x} - x + C

例6.求∫1+x+x 2 x(1+x 2 ) dx. 例6.求\int{\dfrac{1 + x + x^2}{x(1 + x^2)} dx}.
解：∫1+x+x 2 x(1+x 2 ) dx=∫[1x +11+x 2 ]dx=∫1x dx+∫11+x 2 dx=ln|x|+arctanx+C 解：\\ \int{\dfrac{1 + x + x^2}{x(1 + x^2)} dx} \\ = \int{[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1 + x^2}] dx} \\ = \int{\dfrac{1}{x} dx} + \int{\dfrac{1}{1 + x^2} dx} \\ = \ln{|x|} + \arctan{x} + C

例7.求∫x 4 1+x 2 dx. 例7.求\int{\dfrac{x^4}{1 + x^2} dx}.
解：∫x 4 1+x 2 dx=∫(x 2 +1)(x 2 −1)+11+x 2 dx=∫(x 2 −1)dx+∫11+x 2 dx=∫x 2 dx−∫dx+∫11+x 2 dx=13 x 3 −x+arctanx+C 解：\\ \int{\dfrac{x^4}{1 + x^2} dx} \\ = \int{\dfrac{(x^2 + 1)(x^2 - 1) + 1}{1 + x^2} dx}\\ = \int{(x^2 - 1)dx} + \int{\dfrac{1}{1 + x^2} dx} \\ = \int{x^2 dx} - \int{dx} + \int{\dfrac{1}{1 + x^2} dx} \\ = \dfrac{1}{3}x^3 - x + \arctan{x} + C

例8.求∫1x 2 (1+x 2 ) dx. 例8.求\int{\dfrac{1}{x^2(1 + x^2)} dx}.
解：∫1x 2 (1+x 2 ) dx=∫[1x 2 −1(1+x 2 ) ]dx=∫1x 2 dx−∫1(1+x 2 ) dx=−1x −arctanx+C 解：\\ \int{\dfrac{1}{x^2(1 + x^2)} dx} \\ = \int{[\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{(1 + x^2)}] dx} \\ = \int{\dfrac{1}{x^2} dx} - \int{\dfrac{1}{(1 + x^2)} dx} \\ = -\dfrac{1}{x} - \arctan{x} + C

内容小结
1.不定积分的概念
原函数与不定积分的概念
不定积分的性质
基本积分表
2 直接积分法
利用恒等变形，积分性质及基本积分公式进行积分.
常用恒等变形方法(分项积分;加项减项;利用三角公式，代数公式)

练习
1.若e −x 是f(x)的原函数,则∫x 2 f(lnx)dx= − − 1.若e^{-x}是f(x)的原函数,则\int{x^2 f(\ln{x})dx} = \underline{\ \ {\color{blue}{} }\ \ }
解：f(x)=(e −x ) ′ =−e −x ∫x 2 f(lnx)dx=∫x 2 (−e −lnx )dx=∫−xdx=−12 x 2 +C 解：\\ f(x) = (e^{-x})^{\prime} = -e^{-x} \\ \int{x^2 f(\ln{x})dx} \\ = \int{x^2 (-e^{-\ln{x}})dx} \\ = \int{-x dx} \\ = -\dfrac{1}{2}x^2 + C

2.若f(x)是e −x 的原函数,则∫f(lnx)x dx= − − 2.若f(x)是e^{-x}的原函数,则\int{\dfrac{f(\ln{x})}{x} dx} = \underline{\ \ {\color{blue}{} }\ \ }
解：f(x)=∫e −x dx=−e −x +C 0 ∫f(lnx)x dx=∫−e −lnx +C 0 x dx=∫−1x +C 0 x dx=−∫1x 2 dx+C 0 ∫1x dx=1x +C 0 ln|x|+C 解：\\ f(x) = \int{e^{-x} dx} = -e^{-x} + C_0\\ \int{\dfrac{f(\ln{x})}{x} dx} \\ = \int{\dfrac{-e^{-\ln{x}} + C_0}{x} dx} \\ = \int{\dfrac{-\frac{1}{x} + C_0}{x} dx} \\ = -\int{\dfrac{1}{x^2} dx} + C_0\int{\dfrac{1}{x} dx} \\ = \dfrac{1}{x} + C_0 \ln|x| + C

3.若f(x)的导函数为sinx,则f(x)的一个原函数是( B ) 3.若f(x)的导函数为\sin{x},则f(x)的一个原函数是(\ \ {\color{blue}{B} }\ \ )
A.1+sinx;B.1−sinxC.1+cosx;D.1−cosx A. 1 + \sin{x}; \quad B.1 - \sin{x} \\ C. 1 + \cos{x}; \quad D. 1 - \cos{x}
解：f(x)=∫sinxdx=−cosx+CF(x)=∫(−cosx+C)dx=−sinx+Cx+C 1 解：\\ f(x) = \int{\sin{x} dx} = -\cos{x} + C\\ F(x) = \int{(-\cos{x} + C) dx} = -\sin{x} + Cx + C_1

4.求下列不定积分:(1)∫dxx 2 (1+x 2 ) ;(2)∫dxsin 2 xcos 2 x 4.求下列不定积分:\\ (1)\int{\dfrac{dx}{x^2(1 + x^2)}}; \quad (2) \int{\dfrac{dx}{\sin^2{x}\cos^2{x}}}
解：(1)∫dxx 2 (1+x 2 ) =∫1x 2 dx−∫11+x 2 dx=−1x −arctanx+C(2)∫dxsin 2 xcos 2 x =∫dxsin 2 xcos 2 x =∫(sin 2 x+cos 2 x)dxsin 2 xcos 2 x =∫(sec 2 xdx+∫csc 2 x)dx=tanx−cotx+C 解：\\ (1)\int{\dfrac{dx}{x^2(1 + x^2)}} \\ =\int{\dfrac{1}{x^2}dx} - \int{\dfrac{1}{1 + x^2} dx} \\ = -\dfrac{1}{x} - \arctan{x} + C \\ (2) \int{\dfrac{dx}{\sin^2{x}\cos^2{x}}} \\ = \int{\dfrac{dx}{\sin^2{x}\cos^2{x}}} \\ = \int{\dfrac{(\sin^2{x} + \cos^2{x})dx}{\sin^2{x}\cos^2{x}}} \\ = \int{(\sec^2{x} dx} + \int{\csc^2{x})dx} \\ = \tan{x} - \cot{x} + C

5.求不定积分∫e 3x +1e x +1 dx 5.求不定积分\int{\dfrac{e^{3x} + 1}{e^x + 1} dx}
解:∫e 3x +1e x +1 dx=∫(e x +1)(e 2x −e x +1)e x +1 dx=∫(e 2x −e x +1)dx=12 e 2x −e x +x+C 解:\\ \int{\dfrac{e^{3x} + 1}{e^x + 1} dx} \\ = \int{\dfrac{(e^x + 1)(e^{2x} -e^x + 1)}{e^x + 1} dx} \\ = \int{(e^{2x} -e^x + 1)dx} \\ = \dfrac{1}{2}e^{2x} - e^x + x + C

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