高数-（01）函数与极限

1.1 函数及其性质

映射：非空集合X、Y，若存在一个法则f，使X中每个元素x在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。

（单射、满射、双射、逆映射、复合映射）

函数：D为实数集，则映射 $f:D\rightarrow R$ 为定义在D上的函数。

（定义域对应的函数值只有一个的函数为单值函数，否则为多值函数）

疑问：多值函数（如： ${\color{Red} x^2 + y ^2 =1}$ ）为一对多的映射情况，可这种映射不符合映射的定义，故多值函数还算函数麽？

函数特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性。

1.2 数列的极限

数列极限：设有数列 $x_{_n}$ 及常数a，若 $\forall \varepsilon >0,\exists N>0$ ，当 $n>N$ 时有 $\left | x_{n}-a \right |<\varepsilon$ 成立，则称a是数列 $x_{n}$ 的极限或称 $x_{n}$ 收敛于a。

记为 $\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a$ ，其几何解释为所有下标大于N的项都落在a的 $\varepsilon$ 邻域内。

(数列极限的定义只能验证，不能求解)

数列极限性质：唯一性、有界性、保号性。

1.3 函数的极限

函数极限：(1) 自变量趋于无穷大时

设f(x)定义在 $\left (- \infty,+ \infty \right )$ 上，A是一个确定的数，

若 $\forall \varepsilon >0,\exists X>0$ ，使当|x| > X时，恒有|f(x) - A|< $\varepsilon$ ，则称A是f(x)当 $x\rightarrow \infty$ 时的极限。

记为 $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x) = A$

(2) 自变量趋于有限值时

设f(x)在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，A是一个确定的数，

若 $\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0$ ，使当 $0<\left |x-x_{0} \right |<\delta$ 时，恒有|f(x) - A|< $\varepsilon$ ，则称A是f(x)当 $x\rightarrow x_{0}$ 时的极限。

记为 $\lim_{x\rightarrow x_{0} }f(x) = A$

(左极限、右极限)

（函数极限证明通过定义，与数列极限证明同理）

函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。

1.4 极限的运算法则

函数极限四则运算法则：若 $\lim_{ }f(x) = A$ , $\lim_{ }g(x) = B$ , 则

(1) $\lim_{ }[f(x)\pm g(x)]= \lim f(x) \pm \lim g(x)=A\pm B$

(2) $\lim_{ }[f(x) g(x)]= \lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$

(3) $\lim_{ }\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B} (B\neq 0)$

数列极限四则运算法则：与函数法则同理。

复合函数极限运算法则： $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f[g(x)] \overset{u=g(x) ,\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x) = u_{0}}{\rightarrow} \lim_{u\rightarrow u_{0}} f(u)=A$

常用结论： (1) $\lim_{ }C = C$ (2) $\lim_{x\rightarrow x_{0} }x = x_{0}$

(3) $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x} = 0$ (4) $\lim_{n\rightarrow \infty }q^{n} = 0 (\left | q \right |<1)$

(5) P(x),Q(x)为多项式函数，求 $\lim_{x\rightarrow x_{0} }\frac{P(x)}{Q(x)}$ 若 $Q(x_{0}) \neq 0$ ，则 $\lim_{x\rightarrow x_{0} }\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_{0})}{Q(x_{0})}$

若 $Q(x_{0}) = P(x_{0}) = 0$ , 则把P(x),Q(x)因式分解约去公因式后再处理

若 $Q(x_{0}) = 0$ ， $P(x_{0}) \neq 0$ , 则 $\lim_{x\rightarrow x_{0} }\frac{P(x)}{Q(x)} = \infty$

(6) 一般地，当 $a_{0} \neq 0,b_{0} \neq 0$ ，m和n为非负整数时有 (分子分母同除 $x^{max(m,n)}$ )

$\frac{a_{0}}{b_{0}}$ , 当n=m

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+...+a_{m}}{b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+b_{n}}=$ 0 , 当n>m

$\infty$ , 当n<m

1.5 极限存在准则两个重要极限

(1) 夹逼准则：在给定的变化过程中，如果g(x),f(x),h(x)满足 (1) $g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$ 则 $\lim f(x)= A$ 。

(2) $\lim g(x) = \lim f(x)= \lim h(x) = A$

(2) 单独有界准则：单调有界数列必有极限（单调递增（减）数列只需上（下）有界）

(3) Cauchy收敛准则：数列{ ${{x_{n}}}$ }收敛的充分必要条件时

$\forall \varepsilon >0,\exists N\in N^{+}$ ,使得当 m > N , n > N时，有 $\left |x_{n} -x_{m} \right |<\varepsilon$ 。

满足上述条件的数列也称Cauchy数列或基本数列。

(4) 第一重要极限： $\lim_{x\rightarrow0 }\frac{sin x}{x}=1$

(5) 第二重要极限： $\lim_{x\rightarrow\infty }(1+\frac{1}{x})^{x}=e$

1.6 无穷小与无穷大

无穷小：若 $\lim_{x\rightarrow x_{0} } f(x)=0$ , 则称f(x)当 $x\rightarrow x_{0}$ 时为无穷小。（如 $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x} = 0$ ）

若 $\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0$ ，当 $0<\left |x-x_{0} \right |<\delta$ 时 |f(x)| < $\varepsilon$ ，则称f(x)当 $x\rightarrow x_{0}$ 时为无穷小。

(1) 数 "0" 是无穷小量。

(2) 无穷小并不是一个很小的数，其是一类特殊函数，是在某一变化过程中极限为0的函数，并且在一个过程中为无穷小的量在另一过程中可能不是无穷小量。

(3) $\lim_{ } f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha (x)$ , 其中 $\lim_{ } \alpha (x)=0$ 。

无穷大：若 $\lim_{x\rightarrow x_{0} } f(x)=\infty$ , 则称f(x)当 $x\rightarrow x_{0}$ 时为无穷大。（如 $\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{1}{x} = \infty$ ）

若 $\forall M>0,\exists \delta >0$ ，当 $0<\left |x-x_{0} \right |<\delta$ 时 |f(x)| > M，则称f(x)当 $x\rightarrow x_{0}$ 时为无穷大。

(1) 无穷大是变量，不能与很大的数混淆。

(2) 切勿将 $\lim_{x\rightarrow x_{0} } f(x)=\infty$ 认为极限存在。

二者关系：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小。反之，如果f(x)为无穷小，且 $f(x)\neq 0$ ，则为无穷大。

定理：(1) 有限个无穷小的代数和（乘积）仍为无穷小（无限个无穷小的代数和未必是无穷小；n 个 $\frac{1}{n}$ 为1）。

(2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

(3) 有限个无穷大的乘积是无穷大（两个无穷大的和与差不一定是无穷大； $\infty- \infty$ ）。

(4) 无穷大与有界函数之和是无穷大（无穷大与有界函数乘积不一定无穷大； $0\cdot \infty$ ）。

无穷小阶：设 $\lim\alpha =0,\lim\beta =0$ , 且 $\alpha \neq 0$ 。

(1) 如果 $\lim\frac{\beta }{\alpha }=0$ , 就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小；

(2) 如果 $\lim\frac{\beta }{\alpha }=\infty$ , 就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；

(3) 如果 $\lim\frac{\beta }{\alpha }=C(C\neq 0)$ , 就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶的无穷小；

(4) 如果 $\lim\frac{\beta }{\alpha }=1$ , 就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价的无穷小；

(5) 如果 $\lim\frac{\beta }{\alpha^{k} }=C(C\neq 0,k>0)$ , 就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 的k阶的无穷小；

等价无穷小替换定理：设 $\alpha \sim \alpha {}',\beta \sim \beta {}'$ , 且 $\lim\frac{\beta{}' }{\alpha{}' }$ 存在，则 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\beta{}' }{\alpha{}' }$ 。

(1) 等价无穷小代换只适用于乘积中（代数和或复合函数不可应用）；

(2) 常用等价无穷小（当 $x\rightarrow 0$ 时）

sin x $\sim$ x , tan x $\sim$ x arcsin x $\sim$ x arctan x $\sim$ x

ln(1+x) $\sim$ x $e^{x}$ -1 $\sim$ x 1-cos x $\sim$ $\frac{x^{2}}{2}$ $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$

1.7 函数连续

函数连续定义：设函数y=f(x)在点 $x_{0}$ 的某一邻域内有定义， $\lim_{x\rightarrow x_{0} }f(x) = f(x_{0})$ ，则函数f(x)在 $x_{0}$ 处连续。

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