主成分分析，即Principal Component Analysis(PCA)，是多元统计中的重要内容，也广泛应用于机器学习和其它领域。它的主要作用是对高维数据进行降维。PCA把原先的n个特征用数目更少的k个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的k个特征互不相关。关于PCA的更多介绍，请参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis.

PCA的主要算法如下：

组织数据形式，以便于模型使用；

计算样本每个特征的平均值；

每个样本数据减去该特征的平均值(归一化处理)；

求协方差矩阵；

找到协方差矩阵的特征值和特征向量；

对特征值和特征向量重新排列(特征值从大到小排列)；

对特征值求取累计贡献率；

对累计贡献率按照某个特定比例选取特征向量集的子集合；

对原始数据(第三步后)进行转换。

其中协方差矩阵的分解可以通过按对称矩阵的特征向量来，也可以通过分解矩阵的SVD来实现，而在Scikit-learn中，也是采用SVD来实现PCA算法的。关于SVD的介绍及其原理，可以参考：矩阵的奇异值分解(SVD)(理论)。

本文将用三种方法来实现PCA算法，一种是原始算法，即上面所描述的算法过程，具体的计算方法和过程，可以参考：A tutorial on Principal Components Analysis, Lindsay I Smith. 一种是带SVD的原始算法，在Python的Numpy模块中已经实现了SVD算法，并且将特征值从大从小排列，省去了对特征值和特征向量重新排列这一步。最后一种方法是用Python的Scikit-learn模块实现的PCA类直接进行计算，来验证前面两种方法的正确性。

用以上三种方法来实现PCA的完整的Python如下：

1 importnumpy as np2 from sklearn.decomposition importPCA3 importsys4 #returns choosing how many main factors

5 def index_lst(lst, component=0, rate=0):6 #component: numbers of main factors

7 #rate: rate of sum(main factors)/sum(all factors)

8 #rate range suggest: (0.8,1)

9 #if you choose rate parameter, return index = 0 or less than len(lst)

10 if component andrate:11 print('Component and rate must choose only one!')12 sys.exit(0)13 if not component and notrate:14 print('Invalid parameter for numbers of components!')15 sys.exit(0)16 elifcomponent:17 print('Choosing by component, components are %s......'%component)18 returncomponent19 else:20 print('Choosing by rate, rate is %s ......'%rate)21 for i in range(1, len(lst)):22 if sum(lst[:i])/sum(lst) >=rate:23 returni24 return025

26 defmain():27 #test data

28 mat = [[-1,-1,0,2,1],[2,0,0,-1,-1],[2,0,1,1,0]]29

30 #simple transform of test data

31 Mat = np.array(mat, dtype='float64')32 print('Before PCA transforMation, data is:\n', Mat)33 print('\nMethod 1: PCA by original algorithm:')34 p,n = np.shape(Mat) #shape of Mat

35 t = np.mean(Mat, 0) #mean of each column

36

37 #substract the mean of each column

38 for i inrange(p):39 for j inrange(n):40 Mat[i,j] = float(Mat[i,j]-t[j])41

42 #covariance Matrix

43 cov_Mat = np.dot(Mat.T, Mat)/(p-1)44

45 #PCA by original algorithm

46 #eigvalues and eigenvectors of covariance Matrix with eigvalues descending

47 U,V =np.linalg.eigh(cov_Mat)48 #Rearrange the eigenvectors and eigenvalues

49 U = U[::-1]50 for i inrange(n):51 V[i,:] = V[i,:][::-1]52 #choose eigenvalue by component or rate, not both of them euqal to 0

53 Index = index_lst(U, component=2) #choose how many main factors

54 ifIndex:55 v = V[:,:Index] #subset of Unitary matrix

56 else: #improper rate choice may return Index=0

57 print('Invalid rate choice.\nPlease adjust the rate.')58 print('Rate distribute follows:')59 print([sum(U[:i])/sum(U) for i in range(1, len(U)+1)])60 sys.exit(0)61 #data transformation

62 T1 =np.dot(Mat, v)63 #print the transformed data

64 print('We choose %d main factors.'%Index)65 print('After PCA transformation, data becomes:\n',T1)66

67 #PCA by original algorithm using SVD

68 print('\nMethod 2: PCA by original algorithm using SVD:')69 #u: Unitary matrix, eigenvectors in columns

70 #d: list of the singular values, sorted in descending order

71 u,d,v =np.linalg.svd(cov_Mat)72 Index = index_lst(d, rate=0.95) #choose how many main factors

73 T2 = np.dot(Mat, u[:,:Index]) #transformed data

74 print('We choose %d main factors.'%Index)75 print('After PCA transformation, data becomes:\n',T2)76

77 #PCA by Scikit-learn

78 pca = PCA(n_components=2) #n_components can be integer or float in (0,1)

79 pca.fit(mat) #fit the model

80 print('\nMethod 3: PCA by Scikit-learn:')81 print('After PCA transformation, data becomes:')82 print(pca.fit_transform(mat)) #transformed data

83

84 main()

运行以上代码，输出结果为：

这说明用以上三种方法来实现PCA都是可行的。这样我们就能理解PCA的具体实现过程啦~~有兴趣的读者可以用其它语言实现一下哈~~

参考文献：

PCA 维基百科： https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis.

讲解详细又全面的PCA教程： A tutorial on Principal Components Analysis, Lindsay I Smith.

博客：矩阵的奇异值分解(SVD)(理论)：http://www.cnblogs.com/jclian91/p/8022426.html.

博客：主成分分析PCA: https://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2222048.html.

Scikit-learn的PCA介绍：http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.decomposition.PCA.html.