信息学奥赛一本通 1925：【03NOIP普及组】麦森数 | OpenJudge NOI 4.4 1708:麦森数

【题目链接】

ybt 1925：【03NOIP普及组】麦森数
OpenJudge NOI 4.4 1708:麦森数
洛谷 P1045 [NOIP2003 普及组] 麦森数

【题目考点】

1. 高精度

2. 求一个数字位数

设正整数x的的位数为n，那么有：n=⌊lgx⌋+1n = \lfloor lgx \rfloor + 1n=⌊lgx⌋+1（lgxlgxlgx:以10为底x的对数）

证明：正整数x和它的位数n之间满足：n=⌊lgx⌋+1n = \lfloor lgx \rfloor + 1n=⌊lgx⌋+1
已知：10n−1≤x<10n10^{n-1}\le x <10^n10n−1≤x<10n(举例：10≤15<100,100≤168<100010\le 15<100, 100\le168<100010≤15<100,100≤168<1000)
对不等式各边取以10为底的对数，有：n−1≤lgx<nn-1\le lgx < nn−1≤lgx<n
所以有：n−1=⌊lgx⌋n-1 = \lfloor lgx \rfloorn−1=⌊lgx⌋
所以：n=⌊lgx⌋+1n = \lfloor lgx \rfloor + 1n=⌊lgx⌋+1

【解题思路】

求2p−12^p-12p−1的位数
x-1的位数与x的位数只有在x为10n10^n10n（n为正整数）的情况下才不同，其它情况下一定相同。
2p2^p2p一定不是10n10^n10n，所以2p−12^p-12p−1的位数和2p2^p2p的位数相同。
根据公式n=⌊lgx⌋+1n = \lfloor lgx \rfloor + 1n=⌊lgx⌋+1，求出2p2^p2p的位数为：
n=⌊lg2p⌋+1=⌊p⋅lg2⌋+1n = \lfloor lg2^p \rfloor + 1=\lfloor p\cdot lg2 \rfloor + 1n=⌊lg2p⌋+1=⌊p⋅lg2⌋+1
求2p−12^p-12p−1的后500位
当p>1时2p2^p2p的个位只可能是2,4,6或8，所以2p2^p2p与2p−12^p-12p−1只是个位不同。可以先求出2p2^p2p的后500位的数字，然后个位再减1即为结果。
要求出2p2^p2p的后500位的数字，需要使用高精度计算。高精度数字只设为500位，如果向更高位进位，则忽略（因为更高位的数值无法影响最低的500位）。
求2p2^p2p的后500位有两种方法：

解法1：每次乘以2x2^x2x

p的最大值达到大约3∗1063*10^63∗106，每次进行500位的运算，乘以500后，约为1.5∗1091.5*10^91.5∗109，一定会超时的。
如果每次乘2，需要乘m次；那么如果每次乘4，只需要乘m/2次，每次乘8，只需要乘m/3次…每次乘2x2^x2x，共需要乘m/x次m/x次m/x次
如果x取20，那么需要乘3∗106/20=1.5∗1053*10^6/20=1.5*10^53∗106/20=1.5∗105，再乘以500，总运算次数为7.5∗1077.5*10^77.5∗107，不会超时了。
先做p%x次乘2，再做p/x次乘2x2^x2x，即可求出2p2^p2p，使用高精乘低精。

解法2：快速幂

快速幂中要求解的数字和基数都达到高精度，所以要写高精乘高精。
快速幂进行中，要对数字或基数模500，因为只有数字或基数的末500位影响结果的末500位。

【题解代码】

解法1：每次乘以2x2^x2x

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
#define M 500
void MultiAndMod(int a[], int b)// a=a*b取末M位 高精乘低精
{int c = 0, i;//进位 for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i] * b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10;}while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;if(a[0] > M)//限制高精度数字a的位数，忽略高于500的数字忽a[0] = M;
}
int main()
{int p, a[N] = {}, r, m;//a：数字数组  r：剩下需要乘以2的次数 cin >> p;cout << floor(p * log10(2)) + 1 << endl;//求位数a[0] = a[1] = 1;//将a设为1m = p / 20;//m：a乘以2^20的次数r = p % 20;//r：a乘以2的次数 for(int i = 1; i <= r; ++i)MultiAndMod(a, 2);for(int i = 1; i <= m; ++i)MultiAndMod(a, 1048576);//1048576：是2^20 a[1]--;//减1 for(int i = 500; i >= 50; i -= 50)//i：起始位数 {for(int j = i; j > i-50; --j)cout << a[j];cout << endl;} return 0;
}

解法2：快速幂

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
#define M 500
void MultAndMod(int a[], int b[])//高精乘高精 a = a*b%M
{int r[N] = {}, ri;for(int i = 1; i <= a[0]; ++i){int c = 0;//进位 for(int j = 1; j <= b[0]; ++j){r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;c = r[i+j-1] / 10;r[i+j-1] %= 10;}r[i+b[0]] += c;}ri = a[0] + b[0];while(r[ri] == 0 && ri > 1)ri--;r[0] = ri;if(r[0] > M)//只取末500位r[0] = M;for(int i = 0; i <= r[0]; ++i)//结果r赋值给aa[i] = r[i];
}
int main()
{int p, a[N] = {1,1}, b[N] = {1,2};//a,b是数字数组。a：结果，初值为1  b:基数，初值为2 cin >> p;//指数cout << floor(p * log10(2)) + 1 << endl;//求位数while(p > 0)//快速幂{if(p % 2 == 1)MultAndMod(a, b);//a = a*b%MMultAndMod(b, b);//b = b*b%Mp /= 2; }a[1]--;//减1 for(int i = 500; i >= 50; i -= 50)//输出解 i：起始位数 {for(int j = i; j > i-50; --j)//输出50个数 cout << a[j];cout << endl;} return 0;
}