第四讲 数学公理化方法（上）
公理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本公理）出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系，而并非人们自由意志的随意创造。
那它有什么用的？下面给出三点（不是只有这三点，作用可使多的很）：
- 这种方法具有分析、总结数字知识的作用。凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按照逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便。
- 公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
- 数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用。
看着似乎贡献非常大啊，哪位大牛发明了这种方法。很不幸，这种方法不是一个人，也不是一朝一夕相出来的。它可是有历史背景的（哎呀，要讲故事了，是不是兴趣来了）。根据历史发展，大致可分为三个阶段：
一是公理方法的产生阶段 大约在公元前三世纪，希腊的哲学家和逻辑学家亚里士多德总结了古代积累起来的逻辑知识，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，由此推导出别的所有三段论法（共分了十九个格式）。因此可以认为，亚里士多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。
亚里士多德的思想方法深深地影响了公元前三世纪的希腊数学家欧几里得，后者把形势逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》。《几何原本》的问世标志了数学领域中公理方法的诞生。
二是公理方法的完善阶段 欧氏几何的公理系统是不够完善的。其主要的不足之处可以概括为：
- 有些定义是不自足的，亦即往往使用一些未加定义的概念去对别的概念下定义。
- 有些定义是多余的，略去它毫不影响往后的演绎和展开。
- 有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观。
另一方面，由于第五公设（即平行线公理）在陈述于内容上的复杂和累赘，古代学者们早就怀疑地指出，第五公设是不是多余的，它能否从其他公设、公理中逻辑地推导出来？而且进步一认为，欧几里得之所以把它作为公设，只是因为他未能给出这一命题的证明。因而，学者们纷纷致力于证明第五公设。
基于两千多年来在证明第五公设的征途上屡遭失败的教训。十九世纪俄国年轻数学家罗巴切夫斯基产生了与前人完全不同的信念：首先，认为第五公设不能从其余的公理几何作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧几里得几何之外，还可以有第五公设不成立的新几何系统存在。于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下引进了一个相反于第五公设的公理：“过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与该已知直线平行”。这样，罗巴切夫斯基在与前人完全不同的思想方法基础上构造了一个新的几何系统，它与欧几里得几何系统相并列。后来，人们又证明了这两个部分地互相矛盾的几何系统竟然是相对相容的（过会解释这个名词的意思），亦即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾。如此，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关。现在人们就用罗巴切夫斯基的名字对这一新几何命名，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何。
非欧几何学中的一系列命题都和人们的朴素直观不相符合。但是，这种背离直观的几何学在逻辑系统内没有矛盾，演绎论证的严格性也是无瑕可击的。事实上，非欧几何给人们开拓了“空间”的概念（正如大家所知的，非欧几何的重要分支“黎曼几何”在爱因斯坦1915年创立“广义相对论”后，已得到了证实和应用）。非欧几何的产生，不仅为公理化方法进一步奠定了基础，而且为公理方法可以推广和建立新的数学理论提供了依据。
非欧几何的创立大大地提高了公理方法的信誉，接着便有许多数学家致力于公理方法的研究。希尔伯特于1899年发表的《几何学基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺问题，完善了几何学的公理化方法，此书称为近代公理化思想的代表作。
三是公理方法的形式化阶段 欧氏《几何原本》表现的公理化可称为“实体公理化”，因为在这样的公理系统中，概念直接反映着数学实体的性质，而且那些概念、定义、公理和论证的表述往往束缚于直观概念的指导。但在希尔伯特于其《几何学基础》一书中对欧氏系统加以完善化以后，不仅在公理的表述或定理的论证中摆脱了空间概念的直观成分，而且给出和奠定了对一系列几何对象及其关系进行更高一级抽象的可能性和基础。也就说，人们可以在高度抽象的意义下给出公理系统，只要能满足系统中诸公理的要求，就可以使得该公理系统所设计的对象是任何什么事物，并且在公理化表述事物或对象之间的关系时，也可以具有其具体意义的任意性。另外，公理化方法形式化之所以取得成功，在很大程度上的得力于康托创始的抽象集合论，这里不再论述了，感兴趣的可以在网上找到更多相关资料。
第四讲 数学公理化方法（上）相关推荐
- AcWing基础算法课Level-2 第四讲 数学知识
AcWing基础算法课Level-2 第四讲 数学知识 您将学会以下数学名词 质数,试除法,埃式筛法,线性筛,辗转相除,算术基本定理,质因数分解,欧拉函数,快速幂,费马小定理,逆元,拓展欧几里得,一次 ...
- 数学四大思想八大方法_中考数学专题五，四种数学思想方法，第3个比较难掌握...
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略．数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁,灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在. 因此,在复习时要注意总结体会 ...
- slam十四讲第二版 pdf_先搞定SLAM，再谈如何抓住下一代互联网产业爆发点！
在移动互联网大潮之后,自动驾驶.无人机.服务机器人等人工智能硬件会成为下一个产业爆发点,其中关键的技术之一就是动态定位和环境建模的SLAM技术! 在计算机视觉(Computer Vision)创立之初 ...
- 视觉SLAM十四讲CH8代码解析及课后习题详解
第一版的代码: direct_semidense.cpp #include <iostream> #include <fstream> #include <list> ...
- 数学小抄: 李群李代数再回顾 [SLAM十四讲]
前言 最近阅读了高翔老师的视觉SLAM十四讲, 也算是了解了当下机器人领域最炙热的机器人领域前沿研究问题大概是怎么样的数学问题. 不得不说视频与书籍真的是深入浅出. 所有第三库无痛安装教程: 知乎链接 ...
- 《四维全息算法》第四讲－－四维全息算法与玻尔的电子轨道模型的关联及其他一些数学拟合思路
随机与混沌结果看似相同,但数学拟合性质不同 通过四维全息理论的基本均线的设置,我们会发现,股市的所谓随机有两种: 小级别的随机:这是由于成交的随机性造成的.并没人规定在什么时间以什么价格成交. 大级别 ...
- 《视觉SLAM 十四讲》第五讲 实践：拼接点云-编译遇到的terminate called after throwing an instance of 'pcl::IOException问题及解决方法
<视觉SLAM 十四讲>第五讲 实践:拼接点云-编译遇到的terminate called after throwing an instance of 'pcl::IOException问 ...
- 高翔视觉SLAM十四讲（第二版）各种软件、库安装的以及报错解决方法
目录 前言 系统版本 下载高翔视觉SLAM十四讲第二版的源代码 一.安装 Vim 二.安装 g++ 三.安装 KDevelop 以及汉化 1.安装 2.汉化 四.安装 Eigen 库 五.安装 Pan ...
- 【MySQL 8.0 OCP 1Z0-908认证考试】题库精讲--第四讲mysql8.0权限安全审计(上)
此专题题目较多,因此分为上下两部分来讲,此为上篇. 完整版题库请到我的资源中下载,此为传送门. https://download.csdn.net/download/kanon_lgt/8501041 ...
最新文章
- 【学无止境】基于ThinkPHP的OAuth2.0实现 ------ OAuth2.0个人学习笔记 One
- 【数据结构与算法】之“寻找两个正序数组的中位数”的求解思路和算法示例
- 计算机专业 操作系统,计算机操作系统
- Java 7：复制和移动文件和目录
- vb.net中滚动条一直显示没有数据时也显示_Android Studio 中 System Trace 的新增功能...
- Oracle 日常巡检——数据库基本情况检查
- 挑战安卓会死？华为鸿蒙正为国产操作系统杀出一条路 | 涛滔不绝
- 华为机试HJ77：火车进站
- 79 ----二次曲面的分类、二次项系数矩阵的特征多项式、二次项系数矩阵的特征值与特征向量、消去二次交叉项、二次曲面方程中的一次项和常数项的变化
- 超详细的python语法要点思维导图，看了直呼相见恨晚，拿走不谢
- 怎么才可以使用 IPX 协议？？？
- 三星手机投屏电脑教程 手机和电脑同屏
- 增值电信许可证与icp许可证有什么区别
- Linux 查询系统日志
- 基于FPGA的数字时钟设计
- 几种python入门级OCR开源库中文识别效果对比
- MTK camera flashlight bring up
- 洛谷 P1240 诸侯安置
- python 两个一样的字符串用==结果为false
- 百度Java面试题前200页。