极限

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1.数列极限

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1.1 数列

1.2 数列极限

1.3 单调收敛原理

{xn}\{x_n\}{xn}单调递增且{xn}\{x_n\}{xn}有上界（可以找到实数M使{xn}\{x_n\}{xn}中任意一项小于M），{xn}\{x_n\}{xn}收敛（存在象限a）（单调递减同理）

2.函数极限

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2.1 定义

（a的去心邻域：(a−δ,a)∪(a,a+δ)(a-\delta,a) \cup (a,a + \delta)(a−δ,a)∪(a,a+δ)）
（a的左邻域：(a−δ,a)(a-\delta,a)(a−δ,a)）
（a的右邻域：(a,a+δ)(a,a + \delta)(a,a+δ)）

2.2 函数的单侧极限

设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的左邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ϵ\epsilonϵ，总存在正数δ\deltaδ，使得当xxx从左侧趋于x0x_0x0时，也即xxx满足的不等式为0<x0−x<δ0<x_0-x<\delta0<x0−x<δ时，函数值f(x)f(x)f(x)都满足不等式

∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|<\epsilon∣f(x)−A∣<ϵ,

则常数A就叫做函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的左极限，记作

lim⁡x→x0−f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=Ax→x0−limf(x)=A

同样地，设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的右邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ϵ\epsilonϵ，总存在正数δ\deltaδ，使得当xxx从右侧趋于x0x_0x0时，也即xxx满足的不等式为0<x−x0<δ0<x-x_0<\delta0<x−x0<δ时，函数值f(x)f(x)f(x)都满足不等式

∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|<\epsilon∣f(x)−A∣<ϵ,

则常数A就叫做函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的右极限，记作

lim⁡x→x0+f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=Ax→x0+limf(x)=A

2.3 函数在无穷远处的极限

设函数f(x)f(x)f(x)在(t,+∞)(t,+\infty)(t,+∞)内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ϵ\epsilonϵ，总存在正数MMM，使得当xxx满足不等式x>Mx>Mx>M时，函数值f(x)f(x)f(x)都满足不等式

∣f(x)−A∣<ϵ|f(x)-A|<\epsilon∣f(x)−A∣<ϵ,

则常数A就叫做函数f(x)f(x)f(x)在x→+∞x\to+\inftyx→+∞时的极限，记作

lim⁡x→+∞f(x)=A\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=Ax→+∞limf(x)=A

类似的，可以定义函数在负无穷远处的极限

2.4 两个基本极限

lim⁡x→0sinxx=1\lim\limits_{x\to0}\frac{sin\space x}{x}=1x→0limxsin x=1
lim⁡n→+∞(1+1n)n=e\lim\limits_{n\to+\infty}(1+\frac{1}{n})^n=en→+∞lim(1+n1)n=e

2.5 运算法则

2.6 连续函数

导数

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1.定义

2.几何意义

3.导函数

4.常见导数公式

(C)′=0(C为常数)(C)^\prime=0(C为常数)(C)′=0(C为常数)
(xa)′=axa−1(a为任意实数)(x^a)^\prime=ax^{a-1}(a为任意实数)(xa)′=axa−1(a为任意实数)
(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx(sin\space x)^\prime=cos\space x,(cos\space x)^\prime=-sin\space x(sin x)′=cos x,(cos x)′=−sin x
(ax)′=axlna,(ex)′=ex(a^x)^\prime=a^xln\space a,(e^x)^\prime=e^x(ax)′=axln a,(ex)′=ex
(logax)′=1xlna,(lnx)′=1x(log_ax)^\prime=\frac{1}{x\space ln\space a},(ln\space x)^\prime=\frac{1}{x}(logax)′=x ln a1,(ln x)′=x1
(tanx)′=1cos2x,(cotx)′=−1sin2x,(ln∣x∣)′=1x(tan\space x)^\prime=\frac{1}{cos^2x},(cot\space x)^\prime=-\frac{1}{sin^2x},(ln|x|)^\prime=\frac{1}{x}(tan x)′=cos2x1,(cot x)′=−sin2x1,(ln∣x∣)′=x1
(arcsinx)′=11−x2,(arccosx)′=−11−x2,(arctanx)′=11+x2(arcsin\space x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(arccos\space x)^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(arctan\space x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}(arcsin x)′=1−x21,(arccos x)′=−1−x21,(arctan x)′=1+x21

5.求导法则

5.1 导数的四则运算法则

[(f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)[(f(x)\pm g(x)]^\prime=f^\prime(x)\pm g^\prime(x)[(f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
[f(x)⋅g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)[f(x)\cdot g(x)]^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)[f(x)⋅g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
推论：
若函数f1(x),f2(x),...,fn(x)f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)f1(x),f2(x),...,fn(x)都可导，其中n≥2,n∈Nn\geq2,n\in Nn≥2,n∈N，那么(f1f2...fn)′=f1′f2...fn−1fn+f1f2′...fn−1fn+...+f1f2...fn−1fn′(f_1f_2...f_n)^\prime=f_1^\prime f_2...f_{n-1}f_n+f_1f_2^\prime...f_{n-1}f_n+...+f_1f_2...f_{n-1}f_n^\prime(f1f2...fn)′=f1′f2...fn−1fn+f1f2′...fn−1fn+...+f1f2...fn−1fn′
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)[\frac{f(x)}{g(x)}]^\prime=\frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g^2(x)}[g(x)f(x)]′=g2(x)f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
推论：
若函数f(x)f(x)f(x)可导，且f(x)≠0f(x)\ne0f(x)=0，则[1f(x)]′=−f′(x)f2(x)[\frac{1}{f(x)}]^\prime=-\frac{f^\prime(x)}{f^2(x)}[f(x)1]′=−f2(x)f′(x)

5.2 复合函数求导法则

若函数u=g(x)u=g(x)u=g(x)与函数y=f(u)y=f(u)y=f(u)均可导，则复合函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]y=f[g(x)]可导，且[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)，或记成dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}dxdy=dudy⋅dxdu

定积分

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1.定积分的几何意义

1.1 黎曼和

1.2 曲边梯形的面积

设λ=max{△x1,△x2,…,△xn}λ=max\{△x_1, △x_2, …, △x_n\}λ=max{△x1,△x2,…,△xn}，如果当λ→0λ\to 0λ→0时，黎曼和的极限存在，那么就定义这个极限为曲边梯形的面积

1.3 定积分定义

2.定积分的计算

2.1 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）

设f∈C[a,b]f\in C[a,b]f∈C[a,b]，如果F(x)F(x)F(x)是f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上的一个原函数，即F′(x)=f(x)F^\prime(x)=f(x)F′(x)=f(x)，那么

2.2 定积分的运算性质

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高等数学超入门学习笔记

极限

1.数列极限

1.1 数列

1.2 数列极限

1.3 单调收敛原理

2.函数极限

2.1 定义

2.2 函数的单侧极限

2.3 函数在无穷远处的极限

2.4 两个基本极限

2.5 运算法则

2.6 连续函数

导数

1.定义

2.几何意义

3.导函数

4.常见导数公式

5.求导法则

5.1 导数的四则运算法则

5.2 复合函数求导法则

定积分

1.定积分的几何意义

1.1 黎曼和

1.2 曲边梯形的面积

1.3 定积分定义

2.定积分的计算

2.1 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）

2.2 定积分的运算性质

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