luogu3830 [SHOI2012]随机树
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题目大意:对于一个只有一个节点的二叉树,一次操作随机将这棵树的叶节点的下方增加两个节点。$n-1$次操作后变为$n$个叶节点的二叉树。求:(1)叶节点平均深度的期望值(2)树深度的数学期望值
数据范围:$2\leq n\leq 100$
首先看第(1)问
设$f_i$为$i$个叶节点的二叉树的叶节点平均深度的期望值。
每次选择一个叶节点,扩展出两个新的叶节点,所以总的深度增加$f_{i-1}+2$
则$f_i=\frac{(i-1)*f_{i-1}+f_{i-1}+2}{i}=f_{i-1}+\frac{2}{i}$
所以
$$Ans=\sum_{i=2}^n\frac{2}{i}$$
然后是第(2)问,这个难度要稍微大一点。
我们发现这求的是$n$个数的最大值的期望,而第(1)问的是和的期望,而期望可加,却不能$\max$,就非常不好办了。
这时我们就需要用一个式子
$$E[X]=\sum_{i=1}^{n-1}P(X\geq i)$$
然后就可以转化为其中一个数$\geq i$的概率。
就很容易想到$dp[i][j]$表示$i$个叶节点的二叉树中深度$\geq j$,则左子树深度$\geq j-1$或右子树深度$\geq j-1$
所以
$$dp[i][j]=\frac{\sum_{k=1}^{i-1}(dp[k][j-1]+dp[i-k][j-1]-dp[k][j-1]*dp[i-k][j-1])}{i-1}$$
$$Ans=\sum_{i=1}^{n-1}dp[n][i]$$
然后就做完了。
1 #include<cstdio> 2 #define Rint register int 3 using namespace std; 4 const int N = 103; 5 int q, n; 6 double dp[N][N], ans; 7 int main(){ 8 scanf("%d%d", &q, &n); 9 if(q == 1) 10 for(Rint i = 2;i <= n;i ++) ans += 2.0 / i; 11 else { 12 for(Rint i = 1;i <= n;i ++) dp[i][0] = 1; 13 for(Rint i = 2;i <= n;i ++){ 14 for(Rint j = 1;j < n;j ++){ 15 for(Rint k = 1;k < i;k ++) 16 dp[i][j] += dp[k][j - 1] + dp[i - k][j - 1] - dp[k][j - 1] * dp[i - k][j - 1]; 17 dp[i][j] /= i - 1; 18 } 19 } 20 for(Rint i = 1;i < n;i ++) ans += dp[n][i]; 21 } 22 printf("%.6f", ans); 23 }
Luogu3830
转载于:https://www.cnblogs.com/AThousandMoons/p/10595583.html
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