【牛客 - 370B】Rinne Loves Graph（分层图最短路或最短路dp）

题干：

Island 发生了一场暴乱！现在 Rinne 要和 Setsuna 立马到地上世界去。

众所周知：Island 是有一些奇怪的城镇和道路构成的（题目需要，游戏党勿喷），有些城镇之间用双向道路连接起来了，且每条道路有它自己的距离。但是有一些城镇已经被派兵戒严，虽然主角可以逆天改命强闯，但是为了体验该游戏的平衡性，他们只能穿过不超过 K 次被戒严的城镇。

定义“穿过”：从一个戒严的点出发到达任意一个点，都会使得次数加1

现在他们想从 1 号城镇最快的走到 n 号城镇（即出口），现在他们想让你告诉他们最短需要走多少路。

输入描述:

第一行三个整数 n,m,k，分别表示城镇数量，边数量和最多能闯过被戒严的城市的次数。
接下来 n 行，每行一个整数 1 或 0，如果为 1 则表示该城市已被戒严，0 则表示相反。
接下来 m 行，每行三个数 u,v,w，表示在 u 城镇和 v 城镇之间有一条长度为 w 的双向道路。

输出描述:

输出一行一个数字，表示从 1 到 n 的最短路径，如果到达不了的话，请输出 -1。

示例1

输入

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输出

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备注:

2≤n≤800,1≤m≤4000,1≤k≤10,1≤w≤1062≤n≤800,1≤m≤4000,1≤k≤10,1≤w≤106

保证没有多条道路连接同一对城市，也没有一条道路连向自己。

解题报告：

这题可以dp，dp[i][j]表示从1到 i ，穿过j次戒烟戒严城镇，的最短路。（最近这种题见了三道了。）。也可以k - 分层图。（下面有好几个分层图代码，建图方式和做法有所不同）。也可以直接类似bfs的Dijkstra。。

AC代码1：（分层图）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
const int MAX = 800 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int tot;
int n,m,k;
int a[MAX];
int dis[MAX*15],head[MAX*15];
bool vis[MAX*15];
struct Edge {int to,ne;int w;
} e[8005*15];
struct Point {int id;int c;Point() {}Point(int id,int c):id(id),c(c) {}bool operator <(const Point & b) const {return c>b.c;}
};
void add(int u,int v,int w) {e[++tot].to = v;e[tot].w = w;e[tot].ne = head[u];head[u] = tot;
}
void Dijkstra() {memset(dis,INF,sizeof dis);dis[1] = 0;priority_queue<Point> pq;pq.push(Point(1,0));while(pq.size()) {Point cur = pq.top(); pq.pop();
//        if(vis[cur.id]) continue;这两句加不加都可以AC
//        vis[cur.id] = 1;for(int i = head[cur.id]; i!=-1; i = e[i].ne) {if(dis[e[i].to]>e[i].w+cur.c) {dis[e[i].to]=e[i].w+cur.c;pq.push(Point(e[i].to,dis[e[i].to]));}}}
}int main()
{memset(head,-1,sizeof head);scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);for (int i=1; i<=m; i++) {int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);if(!a[x]) {for(int j = 0; j<=k; j++) add(x+n*j,y+n*j,w);}if(!a[y]) {for(int j = 0; j<=k; j++) add(y+n*j,x+n*j,w);}if(a[x]) {for(int j = 0; j<k; j++) add(x+n*j,y+n*(j+1),w);}if(a[y]) {for(int j = 0; j<k; j++) add(y+n*j,x+n*(j+1),w);}      }if (k<0) {printf("-1\n");return 0;}Dijkstra();int ans = INF;for (int i = 1; i<=k+1; i++) ans=min(ans,dis[i*n]);if (ans == INF) ans = -1;printf("%d\n",ans);return 0 ;
}

一个大佬的分层图：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int a[N],he[N*10],t[N*20],ne[N*20],d[N*400],vis[N*10],tot=0;
long long dis[N],cc[N*20];
void link(int x,int y,long long z)
{tot++;ne[tot]=he[x];he[x]=tot;t[tot]=y;cc[tot]=z;
}
int main()
{int n,m,k;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);if (a[1]) k--;if (a[n]) k++;for (int i=1;i<=m;i++){int x,y;long long z;scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);for (int j=0;j<=k;j++){if (!a[x]) link(y+n*j,x+n*j,z);if (!a[y]) link(x+n*j,y+n*j,z);}for (int j=0;j<k;j++){if (a[x]) link(y+n*j,x+n*(j+1),z);if (a[y]) link(x+n*j,y+n*(j+1),z);}}if (k<0){printf("-1\n");return 0;}int i=0,kk=1;d[1]=1;dis[1]=0;for (int i=2;i<=n*(k+1);i++) dis[i]=(long long)m*40000000;i=0;while (i<kk){i++;int u=d[i];for (int j=he[u];j;j=ne[j]){if (dis[u]+cc[j]<dis[t[j]]){dis[t[j]]=dis[u]+cc[j];kk++;d[kk]=t[j];}}}long long ans=(long long)m*40000000;for (int i=1;i<=k+1;i++) ans=min(ans,dis[i*n]);if (ans==(long long)m*40000000) ans=-1;printf("%lld\n",ans);

分层图标程：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define LL long longconst int MAXN = 800 + 5;
const int MAXM = 4000 + 5;
const int MAXK = 10 + 5;int N,M,K;
using std::queue;struct Node{struct Edge *firstEdge;LL dist;bool inQueue,die;
}node[MAXN * MAXN + 2];struct Edge{Node *s,*t;LL w;Edge *next;
}pool[MAXM * MAXK * 2],*frog = pool;Edge *New(Node *s,Node *t,LL w){Edge *ret = ++frog;ret->s = s;ret->t = t;ret->w = w;ret->next = s->firstEdge;return ret;
}inline void add(int u,int v,LL w){node[u].firstEdge = New(&node[u],&node[v],w);//node[v].firstEdge = New(&node[v],&node[u],w);
}LL SPFA(int s,int t,int n){for(int i = 1;i <= n;i++){node[i].dist = LLONG_MAX;node[i].inQueue = false;}queue<Node *> q;q.push(&node[s]);node[s].inQueue = true;node[s].dist = 0;while(!q.empty()){Node *v = q.front();q.pop();v->inQueue = false;for(Edge *e = v->firstEdge;e;e = e->next){if(e->t->dist > v->dist + e->w){e->t->dist = v->dist + e->w;if(!e->t->inQueue){e->t->inQueue = true;q.push(e->t);}}}}return node[t].dist;
}int main(){scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);for(int x,i = 1;i <= N;i++)scanf("%d",&node[i].die);int s = 0,t = N + N * K + 1;for(int u,v,i = 1;i <= M;i++){LL w;scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);if(!node[u].die)for(int i = 0;i <= K;i++)add(u + N * i,v + N * i,w);if(!node[v].die)for(int i = 0;i <= K;i++)add(v + N * i,u + N * i,w);if(node[u].die)for(int i = 0;i < K;i++)add(u + N * i,v + N * (i + 1),w);if(node[v].die)for(int i = 0;i < K;i++)add(v + N * i,u + N * (i + 1),w);}add(s,1,0);for(int i = 0;i <= K;i++)add(N + (N * i),t,0);LL ans = SPFA(s,t,N*(1 + K) + 2);printf("%lld\n",(ans == LLONG_MAX) ? -1 : ans);//getchar();getchar();return 0;
}

AC代码3：（最短路dp）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
const int MAX = 800 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int tot;
int n,m,k;
int a[MAX];
int dis[MAX][15],head[MAX];//dis[i][j]表示从1到 i ，穿过j次戒烟戒严城镇，的最短路。
struct Edge {int to,ne;int w;
} e[4005*2];
struct Point {int id;int c,jy;Point() {}Point(int id,int c,int jy):id(id),c(c),jy(jy) {}bool operator <(const Point & b) const {return c>b.c;}
};
void add(int u,int v,int w) {e[++tot].to = v;e[tot].w = w;e[tot].ne = head[u];head[u] = tot;
}
void Dijkstra() {memset(dis,INF,sizeof dis);dis[1][0] = 0;priority_queue<Point> pq;pq.push(Point(1,0,0));while(pq.size()) {Point cur = pq.top();pq.pop();for(int i = head[cur.id]; i!=-1; i = e[i].ne) {int nowjy = a[cur.id] + cur.jy;if( nowjy > k) continue;if(dis[e[i].to][nowjy]>e[i].w+cur.c) {dis[e[i].to][nowjy]=e[i].w+cur.c;pq.push(Point(e[i].to,dis[e[i].to][nowjy],nowjy));}}}}
int main() {cin>>n>>m>>k;for(int i = 1; i<=n; i++) scanf("%d",a+i);memset(head,-1,sizeof head);for(int x,y,w,i = 1; i<=m; i++) {scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);add(x,y,w);add(y,x,w);}Dijkstra();int ans = INF;for(int i=0; i<=k; i++) {ans=min(ans,dis[n][i]);}if(ans==INF) puts("-1");else printf("%d\n",ans);return 0 ;
}

当然你如果认准了那道“小明的贪心题”，加上这个判断也无妨（为了避免同一元素多次入队）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
const int MAX = 800 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int tot;
int n,m,k;
int a[MAX];
int dis[MAX][15],head[MAX];
struct Edge {int to,ne;int w;
} e[8005];
struct Point {int id;int c,jy;Point() {}Point(int id,int c,int jy):id(id),c(c),jy(jy) {}bool operator <(const Point & b) const {return c>b.c;}
};
void add(int u,int v,int w) {e[++tot].to = v;e[tot].w = w;e[tot].ne = head[u];head[u] = tot;
}
void Dijkstra() {memset(dis,INF,sizeof dis);dis[1][0] = 0;priority_queue<Point> pq;pq.push(Point(1,0,0));while(pq.size()) {Point cur = pq.top();pq.pop();if(cur.c > dis[cur.id][cur.jy]) continue;for(int i = head[cur.id]; i!=-1; i = e[i].ne) {int nowjy = a[cur.id] + cur.jy;if( nowjy > k) continue;if(dis[e[i].to][nowjy]>e[i].w+cur.c) {dis[e[i].to][nowjy]=e[i].w+cur.c;pq.push(Point(e[i].to,dis[e[i].to][nowjy],nowjy));}}}}
int main() {cin>>n>>m>>k;for(int i = 1; i<=n; i++) scanf("%d",a+i);memset(head,-1,sizeof head);for(int x,y,w,i = 1; i<=m; i++) {scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);add(x,y,w);add(y,x,w);}Dijkstra();int ans = INF;for(int i=0; i<=k; i++) {ans=min(ans,dis[n][i]);}if(ans==INF) puts("-1");else printf("%d\n",ans);return 0 ;
}

还可以这么写最短路这题（看起来不像是Dijkstra反倒像是bfs，但又不是bfs）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge {int to, next, w;
} e[8100];
struct node {int u, k, d;node() {}node(int u, int k, int d) : u(u), k(k), d(d) {}bool operator < (const node &a) const {return d > a.d;}
};
int head[888], num;
int jy[888];
int n, m, k;
void add(int u, int v, int w) {e[num].to = v;e[num].next = head[u];e[num].w = w;head[u] = num++;
}
int d[888];
void Dijkstra() {//bfsmemset(d, -1, sizeof d);d[1] = 0;priority_queue<node> q;q.push(node(1, 0, 0));while(!q.empty()) {node cur = q.top();q.pop();if(cur.u == n) {printf("%d\n", d[n]);return;}for(int i=head[cur.u]; i!=-1; i=e[i].next) {int v = e[i].to;if(jy[cur.u] && cur.k == k) continue;if(d[v]==-1|| d[v] > cur.d+e[i].w) {d[v] = cur.d+e[i].w;q.push(node(v,cur.k+jy[cur.u],d[v]));}}}puts("-1");return;
}
int main() {memset(head, -1, sizeof head);num = 0;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i=1; i<=n; i++) {scanf("%d", &jy[i]);}for(int i=0; i<m; i++) {int u, v, w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);add(u,v,w);add(v,u,w);}Dijkstra();
}