牛客多校5 - Graph(字典树+分治求最小生成树)

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题目大意：给出一棵树，每条边都有一个权值，每次操作可以删除任意一条边或者增加任意权值的一条边，现在可以执行数次操作，不过任何时间都要满足以下两个条件：

n 个点互相连通
所有环的权值异或和为 0

求数次操作后图上边权之和的最小值

题目分析：将题意转换一下就可以转换为经典问题：完全图上的最小生成树，给出 n 个点，每个点都有权值 a[ i ] ，每条边的权值为 a[ i ] ^ a[ j ] 现在需要求最小生成树

这个题目只需要 dfs 跑一遍就可以转换为上述问题了，这里不多赘述，那么将问题转换后，该如何求解呢

有个 boruvka 算法也是求解最小生成树问题的，只不过是克鲁斯卡尔算法和普雷姆算法的结合版本，具体就是维护图中的所有连通块，然后贪心去找每一个连通块和其余所有的连通块之间的最小边权，将其合并为一个连通块，如此往复

那么和这个题目有什么联系呢？首先抛出一个问题：把当前图的点集随意划分成两半，递归两半后选出连接两个点集的边中权值最小的一条，得到最后的最小生成树。

乍一看没什么问题，但仔细想一下就会发现这个策略其实是错误的，因为最终的最小生成树中可能有两条连接当前层两个点集的边

但是对于本题而言，我们可以借助01字典树划分点集，借一下图：https://www.cnblogs.com/qieqiemin/p/13381095.html

当我们在字典树上从最高位到最低位维护每一个数字后，显然每一个节点的左右两个儿子，就已经将所有的点划分为两个集合了

以上图中的划分方法为例，假设两个集合是从第 deep 层的高度分开，显然两个集合中 deep 往上的位置在二进制下都是相同的，不同的只是 deep - 1 及往下的位置，所以合并上图中两个绿色集合中的点集所需要的最小代价就是：(1<<deep)+找到两个点 i 和 j ，满足点 i 属于左边的点集，j 属于右边的点集，同时 a[ i ] ^ a[ j ] 是最小的

这样贪心由下往上去合并的话，上面那个错误的策略，在这个题目中的正确性得到了保证

综上所述，总结一下本题的求解方法，在计算出每个点的权值后，将其放入01字典树中，然后对于每一层深度分治即可，需要注意的几个地方就是，这个题目每个点的范围是 0 ~ n-1 ，而不是 1 ~ n，还有就是对于点权相同的点来说，我们可以想象在其之间建立一条边，因为花费为 0 ，所以不会对答案造成影响，故在处理时，对点权去重一下可以减少时间复杂度

至于实现，对于每次左右子树中的两个连通块，我是vector暴力维护的点集（向上传递完毕后不要忘记及时初始化，防止爆内存），然后遍历点集数更小的连通块，在另一个连通块中找异或值最小的答案，这个就是01字典树的基本应用了，所以字典树在本题中共有两个用途，一个是基本应用，也就是贪心去查找异或值最小的答案，另一个是结合最小生成树的贪心策略，将其分块处理

时间复杂度的话，因为字典树的高度为30，所以分治+vector暴力维护点集的时间复杂度为 nlogn，加上需要在字典树上查找异或的最小值，需要多加一个log，总的时间复杂度也就是 nlognlogn 了

代码打注释了，有不理解的地方看看代码应该就明白了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e5+100;struct Node
{int to,w;Node(int to,int w):to(to),w(w){}
};vector<Node>node[N];vector<int>p[N*32],a;int trie[N*32][2],cnt=1;int newnode()//动态初始化
{cnt++;trie[cnt][0]=trie[cnt][1]=0;return cnt;
}void insert(int x)//字典树的插入
{int pos=1;for(int i=30;i>=0;i--){int to=(x>>i)&1;if(!trie[pos][to])trie[pos][to]=newnode();pos=trie[pos][to];}p[pos].push_back(x);
}int search(int x,int pos,int deep)//字典树的查询，x:需要查询的值，pos:当前根节点，deep:深度
{int ans=0;for(int i=deep;i>=0;i--){int to=(x>>i)&1;if(trie[pos][to])pos=trie[pos][to];else{pos=trie[pos][!to];ans|=(1<<i);}}return ans;
}void dfs(int u,int fa,int val)
{a.push_back(val);for(auto it:node[u]){int v=it.to,w=it.w;if(v==fa)continue;dfs(v,u,val^w);}
}int query(int ls,int rs,int deep)//在ls的子树和rs的子树中找到权值最小的边
{int ans=INT_MAX;if(ls>rs)swap(ls,rs);for(int i=0;i<p[ls].size();i++)//暴力枚举大小较小的一个点集，logn去另一个点集中查询ans=min(ans,search(p[ls][i],rs,deep-1));return ans;
}LL solve(int rt,int deep)//分治，rt:根节点，deep:深度
{LL ans=0;int ls=trie[rt][0],rs=trie[rt][1];if(ls)//记录左子树中连通块的答案ans+=solve(ls,deep-1);if(rs)//记录右子树中连通块的答案ans+=solve(rs,deep-1);if(ls&&rs)//如果需要合并，找到异或和最小的边进行连接ans+=query(ls,rs,deep)+(1<<deep);p[rt].insert(p[rt].end(),p[ls].begin(),p[ls].end());//暴力维护点集p[rt].insert(p[rt].end(),p[rs].begin(),p[rs].end());p[ls].resize(0),p[rs].resize(0);//别忘了重置return ans;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false); int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<n;i++){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);u++,v++;node[u].push_back(Node(v,w));node[v].push_back(Node(u,w));}dfs(1,-1,0);//将边权转换为点权sort(a.begin(),a.end());a.erase(unique(a.begin(),a.end()),a.end());//离散化去重for(auto v:a)//将不同的点插入到字典树中insert(v);printf("%lld\n",solve(1,30));return 0;
}

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