【计算机组成原理】定点数的表示和运算

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定点数表示
定点数的运算

定点数表示

无符号数和有符号数
无符号数和有符号数都是机器数
1）无符号数
指整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。
若机器字长为8位，则数的表示范围为0~2⁸-1，即0 ~255。
2)有符号数
在机器中，数的“正”，“负”号是无法识别的，有符号数用“0”表示“正”号，用“1”表示“负"号，从而将符号也数值化，并通常约定二进制数的最高位为符号位，即将符号位放在有效数字的前面，组成有符号数。
有符号数的机器表示有原码、补码、反码和移码。
为了能正确区别真值和各种机器数，约定用X表示真值

[X]_原 表示原码
[X]_补 表示补码
[X]_反 表示反码
[X]_移 表示移码

机器数的定点表示
根据小数点的位置是否固定，在计算机中有两种数据格式:
定点表示和浮点表示
定点表示即约定机器数中的小数点位置是固定不变的，小数点不再使用“.”表示，而是约定它的位置。理论上，小数点位置固定在哪位都可以，但在计算机中通常采用两种简单的约定:
将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。

1）定点小数
定点小数是纯小数，约定小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。若数据X的形式为X = x₀ . x₁……x_n,(其中x₀为符号位，x₁——x_n是数值的有效部分，也称尾数，x₁为最高有效位)，则在计算机中的表示形式如图所示(设机器字长n+1位)。

①当x₀=0，x₁——x_n均为1时，x为其所能表示的最大正数，真值等于1 - 2^-n.

②当x₀=1，x₁——x_n均为1时，X为其(原码)所能表示的最小负数，真值等于2^-n - 1。

2)定点整数

定点整数是纯整数，约定小数点位置在有效数值部分最低位之后。若数据X的形式为X = x₀x₁……x_n
(其中x₀为符号位，x₁——x_n是尾数，x_n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式如图所示：

①当x₀ = 0, x₁——x_n均为1时，x为其所能表示的最大正数，真值等于2ⁿ-1。

②当x₀ = 1, x₁——x_n均为1时， X为其(原码)所能表示的最小负数，真值等于1 - 2ⁿ。

原码，补码、反码、移码
1)原码表示法
原码是一种比较简单、直观的机器数表示法，用机器数的最高位表示该数的符号，其余的各位表示数的绝对值。原码的定义如下：

纯小数的原码定义

如果字长为n+1，则原码小数的表示范围为：2^-n-1 ≤ x ≤ 1-2^-n
纯整数原码定义

如果字长为n+1，则原码小数的表示范围为：1 - 2ⁿ ≤ x ≤ 2ⁿ - 1

2)补码表示法
加减法采用统一的加法操作

纯小数的补码定义

如果字长为n+1，则原码小数的表示范围为：-1 ≤ x ≤ 1 - 2ⁿ
纯整数的补码定义

如果字长为n+1，则原码小数的表示范围为：- 2ⁿ ≤ x ≤ 2ⁿ - 1

0的补码、移码唯一，原码、反码不唯一

定点数的运算

定点数移位运算
移位运算根据操作对象的不同分为算术移位和逻辑移位。
有符号数的移位称为算术移位，逻辑移位的操作对象是逻辑代码，可视为无符号数。
1)算术移位
算术移位的对象是有符号数，在移位过程中符号位保持不变。
对于正数，移位后出现的空位均以0添之。
对于负数，由于原码、补码、反码的表示形式不同，因此当机器数移位时，对其空位的添补规则也不同。
注意:不论是正数还是负数，移位后其符号位均不变，且移位后都相当于对真值补0，根据补码、反码的特性，所以在负数时填补代码有区别。
对于原码，左移位若不产生溢出，相当于乘以2(与十进制的左移一位相当于乘以10类似），右移一位，若不考虑因移出而舍去的末位尾数，相当于除以2。

正数的原码、补码与反码都相同，因此移位后出现的空位均以0添之。
对于负数，由于原码、补码和反码的表示形式不同，因此当机器数移位时，对其空位的添补规则也不同。

①负数的原码数值部分与真值相同，因此在移位时只要使符号位不变，其空位均添0.
②负数的反码各位除符号位外与负数的原码正好相反，因此移位后所添的代码应与原码相反，即全部添1。

③分析由原码得到补码的过程发现，当对其由低位向高位找到第一一个“1”时，在此“1”左边的各位均与对应的反码相同，而在此“1”右边的各位(包括此“1”在内)均与对应的原码相同。因此负数的补码左移时，因空位出现在低位，则添补的代码与原码相同，即添0;右移时因空位出现在高位，则添补的代码应与反码相同，即添1.

(2)逻辑移位

逻辑移位将操作数视为无符号数，移位规则:

逻辑左移时，高位移丢，低位添0;
逻辑右移时，低位移丢，高位添0。

注意:逻辑移位不管是左移还是右移，都添0.

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