Holt-Winters模型

a基本原理：

该方法有点类似于MA（移动平均）的思路，是对MA的优化。主要因为MA的参数数量过多时，计算时间慢，且计算复杂。Holt-Winters利用三次指数平滑法，将历史时序数据输入三个递推序列，再由三个序列的递推值来推算出预测数据的值。该模型的目的是训练出三次指数平滑法三个因数的最有效的取值，之后就可以继续预测了。

该方法可以有效的预测有线性趋势和周期波动的非平稳序列。

b模型原理：

简单指数平滑：

二次指数平滑：

三次指数平滑：

在二次指数平滑的基础上加入了季节性（周期性）特征指数平滑队列。

季节性被定义为时间序列数据的趋势，它表现出每一个周期重复自身的行为，就像任何周期函数一样。

在自然界中有两种不同类型的三次指数平滑，它们是“累加性”三次指数平滑和“累乘性”三次指数平滑。

c算法入口：

scipy.optimize.fmin_l_bfgs_b(func,x0,args=(),bounds=None, *args)

fmin_l_bfgs_b函数是用来进行L-BFGS优化的,利用最小二乘法来优化参数

func为原函数

x0为模型的初始参数

args为传入func的参数

bounds为模型参数的取值范围

d实例参考：

'''Holt-Winters模型模板使用最小二乘法来找出最优alpha,beta,Gamma
'''from sys import exit
from math import sqrt
from numpy import array
from scipy.optimize import fmin_l_bfgs_b# 均方根误差函数(最小二乘法)
def RMSE(params, *args):  # args=[X,type,(m)]X = args[0]type = args[1]if type == 'linear':  # 若趋势是线性的（非周期）try:  # 设定参数初始化值和S0、B0、F0值alpha, beta = paramss = [X[0]]b = [X[1] - X[0]]f = [s[0] + b[0]]# 利用历史数据递推迭代for i in range(len(X)):s.append(alpha * X[i] + (1 - alpha) * (s[i] + b[i]))b.append(beta * (s[i + 1] - s[i]) + (1 - beta) * b[i])f.append(s[i + 1] + b[i + 1])except:  # 参数有误print('params error')else:  # 趋势非线性（周期）try:  # 设定参数初始化值和S0、B0值，m为需要预测的时间长度alpha, beta, gamma = paramsm = args[2]s = [sum(X[0:m]) / float(m)]b = [(sum(X[m:2 * m]) - sum(X[0:m])) / m ** 2]if type == 'additive':  # 加法性# 设定c0、F0值c = [X[i] - s[0] for i in range(m)]f = [s[0] + b[0] + c[0]]# 利用历史数据递推迭代for i in range(len(X)):s.append(alpha * (X[i] - s[i]) + (1 - alpha) * (s[i] + b[i]))b.append(beta * (s[i + 1] - s[i]) + (1 - beta) * b[i])c.append(gamma * (X[i] - s[i] - b[i]) + (1 - gamma) * c[i])f.append(c[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])elif type == 'multiplicative':  # 乘法性# 设定c0、F0值c = [X[i] / s[0] for i in range(m)]f = [(s[0] + b[0]) * c[0]]# 利用历史数据递推迭代for i in range(len(X)):s.append(alpha * (X[i] / c[i]) + (1 - alpha) * (s[i] + b[i]))b.append(beta * (s[i + 1] - s[i]) + (1 - beta) * b[i])s.append(gamma * (X[i] / (s[i] + b[i])) + (1 - gamma) * c[i])f.append((c[i + 1] + b[i + 1]) * s[i + 1])else:  # type类型有误exit('Type must be either linear, additive or multiplicative')except:  # 参数或args有误print('params or args error')# 计算均方根误差rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2 for m, n in zip(X, f[:-1])]) / len(X))return rmsedef linear(x, fc, alpha=None, beta=None):  # 趋势线性,fc为要预测数据的数量X = x[:]if (alpha == None or beta == None):initial_values = array([0.3, 0.1])  # 如果alpha或beta存在None，那重新一个随机值boundaries = [(0, 1), (0, 1)]  # alpha和beta的取值范围type = 'linear'parameters = fmin_l_bfgs_b(RMSE, x0=initial_values, args=(X, type), bounds=boundaries, approx_grad=True)alpha, beta = parameters[0]  # 获得最优的alpha和beta# 初始化s,b,f队列，准备预测[len(X)+1,len(X)+fc]这一段数据s = [X[0]]b = [X[1] - X[0]]f = [s[0] + b[0]]for i in range(len(X) + fc):if i == len(X):  # 如果历史数据已用完，则添加最近的预测数据的xX.append(s[-1] + b[-1])s.append(alpha * X[i] + (1 - alpha) * (s[i] + b[i]))b.append(beta * (s[i + 1] - s[i]) + (1 - beta) * b[i])f.append(s[i + 1] + b[i + 1])rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2 for m, n in zip(X[:-fc], X[:-fc - 1])]) / len(X[:-fc]))return X[-fc:], alpha, beta, rmse  # 输出预测值,alpha,beta,最小均方根误差def additive(x, m, fc, alpha=None, beta=None, gamma=None):  # 累加性X = x[:]if (alpha == None or beta == None or gamma == None):initial_values = array([0.3, 0.1, 0.1])  # 如果alpha或beta存在None，那重新一个随机值boundaries = [(0, 1), (0, 1), (0, 1)]  # alpha和beta、gamma的取值范围type = 'additive'parameters = fmin_l_bfgs_b(RMSE, x0=initial_values, args=(X, type, m), bounds=boundaries, approx_grad=True)alpha, beta, gamma = parameters[0]  # 获得最优的alpha和beta、gamma# 初始化s,b,c,f队列，准备预测[len(X)+1,len(X)+fc]这一段数据s = [sum(X[0:m]) / float(m)]b = [(sum(X[m:2 * m]) - sum(X[0:m])) / m ** 2]c = [X[i] - s[0] for i in range(m)]f = [s[0] + b[0] + c[0]]for i in range(len(X) + fc):if i == len(X):  # 如果历史数据已用完，则添加最近的预测数据的xX.append(s[-1] + b[-1] + c[-m])s.append(alpha * (X[i] - c[i]) + (1 - alpha) * (s[i] + b[i]))b.append(beta * (s[i + 1] - s[i]) + (1 - beta) * b[i])c.append(gamma * (X[i] - s[i] - b[i]) + (1 - gamma) * c[i])f.append(c[i + 1] + b[i + 1] + s[i + 1])rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2 for m, n in zip(X[:-fc], f[:-fc - 1])]) / len(X[:-fc]))return X[-fc:], alpha, beta, gamma, rmse  # 输出预测值,alpha,beta,gamma最小均方根误差def multiplicative(x, m, fc, alpha=None, beta=None, gamma=None):  # 累乘性X = x[:]if (alpha == None or beta == None or gamma == None):initial_values = array([0.0, 1.0, 0.0])  # 如果alpha或beta存在None，那重新一个随机值boundaries = [(0, 1), (0, 1), (0, 1)]  # alpha和beta、gamma的取值范围type = 'multiplicative'parameters = fmin_l_bfgs_b(RMSE, x0=initial_values, args=(X, type, m), bounds=boundaries, approx_grad=True)alpha, beta, gamma = parameters[0]  # 获得最优的alpha和beta、gamma# 初始化s,b,c,f队列，准备预测[len(X)+1,len(X)+fc]这一段数据s = [sum(X[0:m]) / float(m)]b = [(sum(X[m:2 * m]) - sum(X[0:m])) / m ** 2]c = [X[i] / s[0] for i in range(m)]f = [(s[0] + b[0]) * c[0]]for i in range(len(X) + fc):if i == len(X):  # 如果历史数据已用完，则添加最近的预测数据的xX.append((s[-1] + b[-1]) * c[-m])s.append(alpha * (X[i] / c[i]) + (1 - alpha) * (s[i] + b[i]))b.append(beta * (s[i + 1] - s[i]) + (1 - beta) * b[i])c.append(gamma * (X[i] / (s[i] + b[i])) + (1 - gamma) * c[i])f.append((s[i + 1] + b[i + 1]) * c[i + 1])rmse = sqrt(sum([(m - n) ** 2 for m, n in zip(X[:-fc], f[:-fc - 1])]) / len(X[:-fc]))return X[-fc:], alpha, beta, gamma, rmse  # 输出预测值,alpha,beta,gamma最小均方根误差

e参考文献：

Holt-Winters模型原理分析及代码实现（python) https://blog.csdn.net/u010665216/article/details/78051192

Holt-Winters与时间序列预测 https://www.jianshu.com/p/fcd20a048adb

时间序列分析之指数平滑法（holt-winters及代码）https://zhuanlan.zhihu.com/p/43353740

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