伽马函数公式 ∫x^ne^{-x}dx=n!

由展开 e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! . . . 1 e = 1 + 1 1 ! − 1 2 ! − 1 3 ! . . . e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}...\\ \\\frac1 e=1+\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}... e=1+1!1+2!1+3!1...e1=1+1!1−2!1−3!1...
数学神仙欧拉借助极限 lim ⁡ x → ∞ x ! ( x + 1 ) n ( x + n ) ! = 1 \lim_{x \to \infty }\frac{x!(x+1)^ n}{(x+n)!}=1 x→∞lim(x+n)!x!(x+1)n=1写出来如下积分，伽马函数: Γ ( n ) = ∫ 0 ∞ x n − 1 e − x d x \Gamma(n)=\int _ 0 ^ \infty \mathrm x^{ n-1}{ e } ^ { -x } \,\mathrm { d } x Γ(n)=∫0∞xn−1e−xdx
其存在如下规律:
Γ ( 1 ) = 1 Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(1)=1\\ \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\\ \Gamma(n)=(n-1)! Γ(1)=1Γ(n+1)=nΓ(n)Γ(n)=(n−1)!
因此伽玛函数公式有：
Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ x n e − x d x = n ! \Gamma(n+1)=\int _ 0 ^ \infty \mathrm x^{ n}{ e } ^ { -x } \,\mathrm { d } x = n! Γ(n+1)=∫0∞xne−xdx=n!

其按照阶乘的方式发展，结果的简单推导如下： Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ x n e − x d x = [ − x n e − x ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ n x n − 1 e − x d x = lim ⁡ x → ∞ ( − x n e − x ) − ( 0 e − 0 ) + n ∫ 0 ∞ x n − 1 e − x d x = n ∫ 0 ∞ x n − 1 e − x d x = n Γ ( n ) \begin{aligned} \Gamma(n+1) &=\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-x} d x \\ &=\left[-x^{n} e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} n x^{n-1} e^{-x} d x \\ &=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(-x^{n} e^{-x}\right)-\left(0 e^{-0}\right)+n \int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x} d x \\ &=n\int _ 0 ^ \infty \mathrm x^{n-1}{ e } ^ { -x } \,\mathrm { d } x\\ &=n\Gamma(n) \end{aligned} Γ(n+1)=∫0∞xne−xdx=[−xne−x]0∞+∫0∞nxn−1e−xdx=x→∞lim(−xne−x)−(0e−0)+n∫0∞xn−1e−xdx=n∫0∞xn−1e−xdx=nΓ(n)

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