二自由度车辆的运动学模型和动力学模型

最近刚接触自动驾驶相关的知识，得知像LQR、MPC这类基于模型的控制器，若想有不错的控制器性能，那么必须有比较精确的被控对象的数学模型。对于车辆这类被控对象的模型，经过一系列简化和在一些假设的情况下，可以将车辆简化成一个二自由度的模型，如下图所示是一个二自由度汽车模型，根据此模型建立其运行学和动力学模型。

二自由度车辆的运动学模型

首先建立运动学模型：
其中vvv是小车的实际速度将其沿着x,yx,yx,y轴进行分解，即将车体坐标系下的速度分解到笛卡尔坐标系下。
运用三角函数以及线速度和角速度的关系建立如下的运动学模型，
x˙=vcos(β+φ)y˙=sin(β+φ)ω=vR\dot{x} = vcos(\beta+\varphi) \\ \dot{y}=sin(\beta+\varphi) \\ \omega = \frac{v}{R} x˙=vcos(β+φ)y˙=sin(β+φ)ω=Rv
后轮到中心的距离为a,前轮到中心的距离为b且a+b=la+b=la+b=l,根据三角函数中的正弦定理可知:
Rsin(π2−δr)=asin(δr+β)Rsin(π2−δf)=bsin(δf−β)\frac{R}{sin(\frac{\pi}{2}-\delta_r)} = \frac{a}{sin(\delta_r+\beta)} \\ \frac{R}{sin(\frac{\pi}{2}-\delta_f)} = \frac{b}{sin(\delta_f-\beta)} sin(2π−δr)R=sin(δr+β)asin(2π−δf)R=sin(δf−β)b
考虑在低速的情况下，车不会发生侧向滑动，后轮不发生转向即δr=0,β=0\delta_r =0,\beta =0δr=0,β=0
则得到
R=ltan(δf)R = \frac{l}{tan(\delta_f)}R=tan(δf)l
最终得到二自由度车辆的运动学模型
x˙=vcos(φ)y˙=sin(φ)ω=v.tan(δf)l\dot{x} = vcos(\varphi) \\ \dot{y}=sin(\varphi) \\ \omega = \frac{v.tan(\delta_f)}{l} x˙=vcos(φ)y˙=sin(φ)ω=lv.tan(δf)

二自由度车辆的动力学模型

根据上图的二自由度车辆的模型从力以及转矩方面进行分解
在x,y,zx,y,zx,y,z轴进行分析
m(x¨−vyφ˙)=Fxr+Fxfcos(δ)−Fyfsin(δ)m(y¨+vxφ˙)=Fyr+Fyfcos(δ)+Fxfsin(δ)Iφ¨=(Fyfcos(δ)+Fxfsin(δ)).b−Fyr.am(\ddot{x} -v_y\dot{\varphi})=F_{xr}+F_{xf}cos(\delta)-F_{yf}sin(\delta) \\ m(\ddot{y} +v_x\dot{\varphi})=F_{yr}+F_{yf}cos(\delta)+F_{xf}sin(\delta) \\ I \ddot{\varphi} = (F_{yf}cos(\delta)+F_{xf}sin(\delta)).b-F_{yr}.a \\ m(x¨−vyφ˙)=Fxr+Fxfcos(δ)−Fyfsin(δ)m(y¨+vxφ˙)=Fyr+Fyfcos(δ)+Fxfsin(δ)Iφ¨=(Fyfcos(δ)+Fxfsin(δ)).b−Fyr.a
其中Fyr=Cr.δrF_{yr} = C_r.\delta_rFyr=Cr.δr,Fyf=Cf.δfF_{yf} = C_f.\delta_fFyf=Cf.δf，而Cr,CfC_r,C_fCr,Cf代表侧偏刚度。
下面将对δr以及δf\delta_r以及\delta_fδr以及δf进行计算
tan(δr)=φ˙a−vyvxtan(δ−δf)=φ˙b+vyvxtan(\delta_r) = \frac{\dot{\varphi}a-v_y}{v_x} \\ tan(\delta-\delta_f ) = \frac{\dot{\varphi}b+v_y}{v_x}tan(δr)=vxφ˙a−vytan(δ−δf)=vxφ˙b+vy
忽略前轮驱动力FxfF_{xf}Fxf对横摆运动的影响Fxfsin(δ)=0F_{xf}sin(\delta)=0Fxfsin(δ)=0，当以前轮驱动的车辆作为研究目标时，后轮驱动力Fxr=0F_{xr} =0Fxr=0.
最终写成状态空间方程的形式

至此，关于二自由度车辆的运动学模型和动力学模型推导完毕，下面将讲解控制器的设计。

主要参考忠厚老实的老王王老师的相关推导