证明左右特征向量正交

Let xxx be a (right) eigenvector of AAA corresponding to an eigenvalue λλλ and let yyy be a left eigenvector of A corresponding to a different eigenvalue µµµ, where λ≠µλ ≠ µλ=µ. Show that xTyx^TyxTy = 0. Hint : Ax=λxAx = λxAx=λx and yTA=µyTy^TA = µy^TyTA=µyT

Step 1) Ax=λxAx=λxAx=λx
Step 2) yTAx=λyTxy^TAx=λy^TxyTAx=λyTx
Step 3) yTAx−λyTx=0y^TAx-λy^Tx=0yTAx−λyTx=0
Step 4) (yTA−λyT)x=0(y^TA-λy^T)x=0(yTA−λyT)x=0
Step 5) (µyT−λyT)x=0(µy^T-λy^T)x=0(µyT−λyT)x=0
Step 6) (µ−λ)yTx=0(µ-λ)y^Tx=0(µ−λ)yTx=0
How: µ≠λ−>µ−λ≠0µ ≠ λ -> µ-λ ≠ 0µ=λ−>µ−λ=0
This way: yTx=0y^Tx=0yTx=0

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