证明：矩阵不同特征值对应的特征向量之间线性无关

前言

学习矩阵对角化（diagonalization）时需要了解一个定理：不同特征值对应的特征向量线性无关。我们知道，一个 n 维矩阵是否可以对角化取决于其是否具有 n 个线性无关的特征向量。所以，在上面的定理的基础上可以得出结论：一个具有 n 个相互不同的特征值的 n 维矩阵必可对角化。

本文的中心便是要证明该定理——不同特征值对应的特征向量线性无关。

证明

给定一个 n 维矩阵 A ，其具有 n 个不等的特征值，分别为 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn，而 x 1 , . . . , x 2 x_1,...,x_2 x1,...,x2 为分别对应 n 个不等特征值的特征向量。我们需要证明这些特征向量线性无关。

先假设这些特征向量线性相关，则存在 n 个不全为零的常数（ c i c_i ci）使得如下式子成立：
c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n = 0 (1) c_1x_1 + c_2x_2 +...+c_nx_n = 0 \tag{1} c1x1+c2x2+...+cnxn=0(1)
用矩阵 A 左乘式 ( 1 ) (1) (1) ，根据 A x i = λ i x i Ax_i = \lambda_i x_i Axi=λixi 得：
c 1 λ 1 x 1 + c 2 λ 2 x 2 + . . . + c n λ n x n = 0 (2) c_1\lambda_1x_1 + c_2\lambda_2x_2 +...+c_n\lambda_nx_n = 0 \tag{2} c1λ1x1+c2λ2x2+...+cnλnxn=0(2)
再用式 ( 2 ) (2) (2) 减去 λ n ∗ ( 1 ) \lambda_n * (1) λn∗(1) ，得：
c 1 ( λ 1 − λ n ) x 1 + c 2 ( λ 2 − λ n ) x 2 + . . . + c n − 1 ( λ n − 1 − λ n ) x n − 1 = 0 (3) c_1(\lambda_1-\lambda_n)x_1 + c_2(\lambda_2-\lambda_n)x_2 + ... + c_{n-1}(\lambda_{n-1}-\lambda_n)x_{n-1} = 0 \tag{3} c1(λ1−λn)x1+c2(λ2−λn)x2+...+cn−1(λn−1−λn)xn−1=0(3)
接下来，可将 x i x_i xi 前面的系数 c i ( λ i − λ n ) c_i(\lambda_i-\lambda_n) ci(λi−λn) 用常数 d i d_i di 代替，则式 ( 3 ) (3) (3) 可写成：
d 1 x 1 + d 2 x 2 + . . . + d n − 1 x n − 1 = 0 (4) d_1x_1 + d_2x_2 +...+d_{n-1}x_{n-1} = 0 \tag{4} d1x1+d2x2+...+dn−1xn−1=0(4)
式 ( 4 ) (4) (4) 是不是与式 ( 1 ) (1) (1) 形式一样？只是少了一个 x n x_n xn。那么对式 ( 4 ) (4) (4) 也进行类似式 ( 1 ) (1) (1) 的处理，可得：
d 1 ( λ 1 − λ n − 1 ) x 1 + d 2 ( λ 2 − λ n − 1 ) x 2 + . . . + d n − 2 ( λ n − 2 − λ n − 1 ) x n − 2 = 0 (5) d_1(\lambda_1-\lambda_{n-1})x_1 + d_2(\lambda_2-\lambda_{n-1})x_2 + ... + d_{n-2}(\lambda_{n-2}-\lambda_{n-1})x_{n-2} = 0 \tag{5} d1(λ1−λn−1)x1+d2(λ2−λn−1)x2+...+dn−2(λn−2−λn−1)xn−2=0(5)

若是按照前面的步骤（式 ( 1 ) (1) (1) 至式 ( 3 ) (3) (3)）重复进行 n − 2 n - 2 n−2 次（每次都用一个不同的单个字符代替 x i x_i xi 前面的系数）后，可得：
m 1 ( λ 1 − λ 3 ) x 1 + m 2 ( λ 2 − λ 3 ) x 2 = 0 (6) m_1(\lambda_1-\lambda_3)x_1 + m_2(\lambda_2-\lambda_3)x_2 = 0 \tag{6} m1(λ1−λ3)x1+m2(λ2−λ3)x2=0(6)

用 n i n_i ni 代替式 ( 6 ) (6) (6) 中 x i x_i xi 的系数，即令 n 1 = m 1 ( λ 1 − λ 3 ) n_1 = m_1(\lambda_1-\lambda_3) n1=m1(λ1−λ3)， n 2 = m 2 ( λ 2 − λ 3 ) n_2 = m_2(\lambda_2-\lambda_3) n2=m2(λ2−λ3)。

再按照前面的步骤（式 ( 1 ) (1) (1) 至式 ( 3 ) (3) (3)）进行一次处理，可得 n 1 ( λ 1 − λ 2 ) x 1 = 0 n_1(\lambda_1-\lambda_2)x_1=0 n1(λ1−λ2)x1=0（ n 1 n_1 n1 为常数），由于特征向量不为零且各特征值都不相等，所以只能是 n 1 = 0 n_1 = 0 n1=0，又因为 n 1 = m 1 ( λ 1 − λ 3 ) n_1 = m_1(\lambda_1-\lambda_3) n1=m1(λ1−λ3)，所以 m 1 = 0 m_1=0 m1=0，带入到式 ( 6 ) (6) (6) 中可得 m 2 = 0 m_2=0 m2=0，如此往后迭代最终可得：
c i = 0 for i = 1 , 2 , . . . , n c_i=0 \quad \text{for i } = 1,2,...,n ci=0for i =1,2,...,n
则说明前面的假设（n 个特征向量 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn 是线性相关）是错误的，故 矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关 得证。

参考源

《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang 著

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