C++ P1082 同余方程

题目：P1082 同余方程

哎，搞了半天的欧几里得扩展，写了两页的草稿，终于。。。弄懂了大半。（就是烧脑-.-）

做了一下欧几里得扩展裸题，NOIP2012 day2

求：关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

下面证明中“→”表示等价于，“≡”表示同余，“/”表示向下取整。

∵ Ax ≡ 1 (mod m) → Ax mod m = 1 mod m

∴ 可表示 Ax = By + 1 → Ax - By = 1 即求解x?

根据欧几里得扩展：

Ax + By = C = gcd(A, B)

∵ gcd(A, B) = gcd(B, A mod B)

∵ Bx’ + (A mod B)y’ = gcd(B, A mod B)

∴ Bx’ + (A mod B)y’ = gcd(A, B)

∴ Bx’ + (A - A/B * B)y’ = gcd(A, B)

→ Bx’ + Ay’ - B*(A/B)y’ = gcd(A, B)

→ Ay’ + B(x’ - (A/B)*y’) = gcd(A, B)

∴ x = y’, y = x’ -(A/B)*y’

前提是： Ax + By = gcd(A, B) 中，当B = 0 时，有x = 1,y = 0成立，证毕！

# include <iostream>
using namespace std;
int extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {if(b == 0) {x = 1; y = 0;return a;} else {int r = extend_gcd(b, a%b, x, y);int t = x - a / b * y;x = y; y = t;return r;}
}
int main() {int a, b, x, y;cin >> a >> b;extend_gcd(a, b, x, y);while(x < 0) x = x + b; // 如果 x < 0,则 x = x + b,下面证明。cout << x;return 0;
}

∵ Ax + By = C

当 x = x’ + B, 且 y = y’ - A

A(x’ + B) + B(y’ - A) = C

→ Ax’ + A*B + By’ - A*B = C

→ Ax’ + By’ = C

∴ 得出，原式不变。

搞好了，不过深层次还没搞，最近赶时间，NOIP完后再来拓展。

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