矩形介质柱的kkk空间相对介电常数计算：

α(G)={αAf+αB(1−f),G=0(αA−αB)P(G),G≠0\alpha(G)=\left\{\begin{array}{l} \alpha_{\mathrm{A}} f+\alpha_{\mathrm{B}}(1-f), G=0 \\ \left(\alpha_{\mathrm{A}}-\alpha_{\mathrm{B}}\right) P(G), \quad G \neq 0 \end{array}\right. α(G)={αAf+αB(1−f),G=0(αA−αB)P(G),G=0
其中，fff是填充率，等于介质柱横截面积/二维正格子原胞面积，αA\alpha_{\mathrm{A}}αA是背景的相对介电常数，αB\alpha_{\mathrm{B}}αB是介质的相对介电常数，GGG在这里是指倒格矢，但在编程中不是完全套倒格矢进去，P(G)P(G)P(G)在这里叫结构因子，对于矩形介质柱，它指代如下：
P(G)=fsin⁡(G~xlx)G~xlxsin⁡(G~yly)G~ylyP(\boldsymbol{G})=f \frac{\sin \left(\tilde{G}_{x} l_{x}\right)}{\tilde{G}_{x} l_{x}} \frac{\sin \left(\tilde{G}_{y} l_{y}\right)}{\tilde{G}_{y} l_{y}} P(G)=fG~xlxsin(G~xlx)G~ylysin(G~yly)
其中，2lx2 l_{x}2lx和2ly2 l_{y}2ly分别是矩形柱子的长度和宽度，fff是填充率，其中还有：
{G~x=Gxcos⁡θ+Gysin⁡θG~y=−Gxsin⁡θ+Gycos⁡θ\left\{\begin{array}{l} \tilde{G}_{x}=G_{x} \cos \theta+G_{y} \sin \theta \\ \tilde{G}_{y}=-G_{x} \sin \theta+G_{y} \cos \theta \end{array}\right. {G~x=Gxcosθ+GysinθG~y=−Gxsinθ+Gycosθ
其中θ\thetaθ是我的另一篇博文里说的输入的参数之一，代表的意义如下：

这个是正空间里的图像。

正六边形介质柱的kkk空间相对介电常数计算：

同上面一样，有：
α(G)={αAf+αB(1−f),G=0(αA−αB)P(G),G≠0\alpha(G)=\left\{\begin{array}{l} \alpha_{\mathrm{A}} f+\alpha_{\mathrm{B}}(1-f), G=0 \\ \left(\alpha_{\mathrm{A}}-\alpha_{\mathrm{B}}\right) P(G), \quad G \neq 0 \end{array}\right. α(G)={αAf+αB(1−f),G=0(αA−αB)P(G),G=0
其中各参数和上面意义相同，结构因子为：

P(G)={2f3Gxb[sin⁡(G~xb)+1−cos⁡(G~xb)G~xb],G~x≠0,G~y=0f3Gxb[1−cos⁡(2G~xb)2G~xb+sin⁡(2G~xb)],∣G~x∣=∣G~y∣/3,G~y≠0,fGyb[cos⁡(G~yb3−G~xb)−cos⁡(2G~yb3)(G~y+3G~x)b+cos⁡(G~yb3+G~xb)−cos⁡(2G~yb3)(G~y−3G~x)b],∣G~x∣≠∣G~y∣/3,G~y≠0P(G)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2 f}{3 G_{x} b}\left[\sin \left(\tilde{G}_{x} b\right)+\frac{1-\cos \left(\tilde{G}_{x} b\right)}{\tilde{G}_{x} b}\right], & \tilde{G}_{x} \neq 0, \tilde{G}_{y}=0 \\ \frac{f}{3 G_{x} b}\left[\frac{1-\cos \left(2 \tilde{G}_{x} b\right)}{2 \tilde{G}_{x} b}+\sin \left(2 \tilde{G}_{x} b\right)\right], & \left|\tilde{G}_{x}\right|=\left|\tilde{G}_{y}\right| / \sqrt{3}, \tilde{G}_{y} \neq 0, \\ \frac{f}{G_{y} b}\left[\frac{\cos \left(\frac{\tilde{G}_{y} b}{\sqrt{3}}-\tilde{G}_{x} b\right)-\cos \left(\frac{2 \tilde{G}_{y} b}{\sqrt{3}}\right)}{\left(\tilde{G}_{y}+\sqrt{3} \tilde{G}_{x}\right) b}+\frac{\cos \left(\frac{\tilde{G}_{y} b}{\sqrt{3}}+\tilde{G}_{x} b\right)-\cos \left(\frac{2 \tilde{G}_{y} b}{\sqrt{3}}\right)}{\left(\tilde{G}_{y}-\sqrt{3} \tilde{G}_{x}\right) b}\right],\left|\tilde{G}_{x}\right| \neq\left|\tilde{G}_{y}\right| / \sqrt{3}, \tilde{G}_{y} \neq 0 \end{array}\right. P(G)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧3Gxb2f[sin(G~xb)+G~xb1−cos(G~xb)],3Gxbf[2G~xb1−cos(2G~xb)+sin(2G~xb)],Gybf⎣⎡(G~y+3G~x)bcos(3G~yb−G~xb)−cos(32G~yb)+(G~y−3G~x)bcos(3G~yb+G~xb)−cos(32G~yb)⎦⎤,∣∣∣G~x∣∣∣=∣∣∣G~y∣∣∣/3,G~y=0G~x=0,G~y=0∣∣∣G~x∣∣∣=∣∣∣G~y∣∣∣/3,G~y=0,
其中，b是六边形的六个边宽度。而且也有：
{G~x=Gxcos⁡θ+Gysin⁡θG~y=−Gxsin⁡θ+Gycos⁡θ\left\{\begin{array}{l} \tilde{G}_{x}=G_{x} \cos \theta+G_{y} \sin \theta \\ \tilde{G}_{y}=-G_{x} \sin \theta+G_{y} \cos \theta \end{array}\right. {G~x=Gxcosθ+GysinθG~y=−Gxsinθ+Gycosθ
其中θ\thetaθ是我的另一篇博文里说的输入的参数之一，代表的意义如下：

对于填充率：
f=4lxly/a2and f=33b2/2a2f=4 l_{x} l_{y} / a^{2} \text { and } f=3 \sqrt{3} b^{2} / 2 a^{2} f=4lxly/a2 and f=33b2/2a2
参考文献：
Hui Y , Guo-Hong Y , Yong-Jun C . Effects of rotating noncircular scatterers on spin-wave band gaps of two-dimensional magnonic crystals[J]. Chinese Physics B, 2014(9):423-427.

正三角形介质柱的kkk空间相对介电常数计算：

ε−1(G−G′)\varepsilon^{-1}\left(\mathbf{G}-\mathbf{G}^{\prime}\right)ε−1(G−G′) represents the inverse of the matrix ε(G−G′).\varepsilon\left(\mathbf{G}-\mathbf{G}^{\prime}\right) .ε(G−G′).
同时也有：
ε(G)={f⋅εA+(1−f)εBG=0(εA−εB)I(G)G≠0\varepsilon(\mathbf{G})=\left\{\begin{array}{ll} f \cdot \varepsilon_{\mathrm{A}}+(1-f) \varepsilon_{\mathrm{B}} & \mathbf{G}=0 \\ \left(\varepsilon_{\mathrm{A}}-\varepsilon_{\mathrm{B}}\right) I(\mathbf{G}) & \mathbf{G} \neq 0 \end{array}\right. ε(G)={f⋅εA+(1−f)εB(εA−εB)I(G)G=0G=0
其中，其中，fff是填充率，等于介质柱横截面积/二维正格子原胞面积，εA\varepsilon_{\mathrm{A}}εA是背景的相对介电常数，εB\varepsilon_{\mathrm{B}}εB是介质的相对介电常数，其中I(G)I(\mathbf{G})I(G)等于：
I(G)=1s∫sre−iG⋅rdrI(\mathbf{G})=\frac{1}{s} \int_{s_{\mathrm{r}}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} G \cdot \mathrm{r}} \mathrm{d} \mathbf{r} I(G)=s1∫sre−iG⋅rdr
这是一个普遍适用的积分。这个积分是很重要的，它的积分区域是在一个单元中棒的横截面积上积分，sss是代表正格子原胞面积。它是面积积分。
对于正三角形：

其中，lll是三角形每条边的长度。GxG_{x}Gx和GyG_{y}Gy是倒格矢GGG的xxx和yyy分量，而且有：

(G^xG^y)=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)(GxGy)\left(\begin{array}{l} \hat{G}_{x} \\ \hat{G}_{y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} G_{x} \\ G_{y} \end{array}\right) (G^xG^y)=(cosθ−sinθsinθcosθ)(GxGy)
θ\thetaθ代表的意义如下：

参考文献：
Kuang W , Hou Z , Liu Y , et al. The bandgap of a photonic crystal with triangular dielectric rods in a honeycomb lattice[J]. Journal of Optics A Pure & Applied Optics, 2005, 7(10):525.

椭圆形介质柱的kkk空间相对介电常数计算：

同样有：
ε(G)={f⋅εA+(1−f)εBG=0(εA−εB)P(G)G≠0\varepsilon(\mathbf{G})=\left\{\begin{array}{ll} f \cdot \varepsilon_{\mathrm{A}}+(1-f) \varepsilon_{\mathrm{B}} & \mathbf{G}=0 \\ \left(\varepsilon_{\mathrm{A}}-\varepsilon_{\mathrm{B}}\right) P(\mathbf{G}) & \mathbf{G} \neq 0 \end{array}\right. ε(G)={f⋅εA+(1−f)εB(εA−εB)P(G)G=0G=0
各参数代表的含义和上述相同。
P(G⃗)=2FdJ1((LxGx′)2+(LyGy′)2)(LxGx′)2+(LyGy′)2where (Gx′Gy′)=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)(GxGy)\begin{aligned} &P(\vec{G})=\frac{2 F_{d} J_{1}\left(\sqrt{\left(L_{x} G_{x}^{\prime}\right)^{2}+\left(L_{y} G_{y}^{\prime}\right)^{2}}\right)}{\sqrt{\left(L_{x} G_{x}^{\prime}\right)^{2}+\left(L_{y} G_{y}^{\prime}\right)^{2}}}\\ &\text { where }\\ &\left(\begin{array}{l} G_{x}^{\prime} \\ G_{y}^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} G_{x} \\ G_{y} \end{array}\right) \end{aligned} P(G)=(LxGx′)2+(LyGy′)22FdJ1((LxGx′)2+(LyGy′)2) where (Gx′Gy′)=(cosθ−sinθsinθcosθ)(GxGy)
其中，其中Lx是椭圆沿x方向的半轴，Ly是椭圆沿y方向的半轴，θ\thetaθ是椭圆的夹角。J1J_{1}J1是一阶贝塞尔函数，Fd=F_{d}=Fd= πLxLy/Scell \pi L_{x} L_{y} / S_{\text {cell }}πLxLy/Scell ，Scell S_{\text {cell }}Scell 是正格子原胞面积。

参考文献：
Feng Y , Wu F , Zhong H , et al. Defect modes created by an elliptic defect in two-dimensional triangular photonic crystals[J]. Solid State Communications, 2007, 142(4):223-227.

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光子晶体介质柱的讨论

矩形介质柱的kkk空间相对介电常数计算：

正六边形介质柱的kkk空间相对介电常数计算：

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