百分比收益率和对数收益率

股市中常用的收益率是百分比收益率，而对数收益率在金融理论中用的较多。
百分比收益率定义：Rb=(s2−s1)/s1=s2/s1−1R_b=(s_2-s_1)/s_1=s_2/s_1-1Rb=(s2−s1)/s1=s2/s1−1
对数收益率定义：Rd=ln(s2/s1)R_d=ln(s_2/s_1)Rd=ln(s2/s1)
其中，s1,s2s_1,s_2s1,s2为连续各期的股价。
显然，Rd=ln(Rb+1)R_d=ln(R_b+1)Rd=ln(Rb+1)
(1)不对称性
比如股价s从50升到100再跌回50，股价的变化是0。
对于RbR_bRb:
Rb1=100/50−1=100%R_{b_1}=100/50-1=100\%Rb1=100/50−1=100%
Rb2=50/100−1=−50%R_{b_2}=50/100-1=-50\%Rb2=50/100−1=−50%
也即股价s对称地上升和下降同样的数字，其百分比收益率绝对值是不同的，也即是不对称的。
对于RbR_bRb:
Rd1=ln(100/50)=69%R_{d_1}=ln(100/50)=69\%Rd1=ln(100/50)=69%
Rd1=ln(50/100)=−69%R_{d_1}=ln(50/100)=-69\%Rd1=ln(50/100)=−69%
ln(x/y)=−ln(y/x)ln(x/y)=-ln(y/x)ln(x/y)=−ln(y/x)
因此对数收益率是对称的。
本质上log return是复利期趋向无限时的期限收益率。
(2)解释
如果我们考察单一投资品在总共 T 期内的表现，那应该用对数收益率，而非算术收益率。算术平均值不能正确的反应一个投资品的收益率。
比如一个投资品今年涨了 50%，明年跌了 50%，它的算术平均收益率为 0；但事实上，两年后该投资品亏损了最初资金的 25%。
1元涨50%变为1*（1+50%）=1.5元，算术收益率=（1.5-1）/1=50%
1.5元跌50%变为1.5*（1-50%）=0.75元，算术收益率=（0.75-1.5）/0.75=-50%
算术平均收益率=（50%-50%）/2=0
但是，从1元变成0.75元，亏了（1-0.75）/1=25%
这两年的对数收益率分别为：
ln(1.5/1)= 40.5465% 和 ln(0.75/1.5)=-69.3147%，
-69.3147%+40.5465% = -28.7682%（加和的原因是我们是考察在总共T期内的表现），
转换为百分比亏损就是 exp{-28.7682%} - 1 = -25%。
对数收益率的最大好处是它的可加性，把单期的对数收益率相加就得到整体的对数收益率。并且对数收益率可以假设服从正态分布，这是simple return做不到的。
ln(st/s0)=ln(st/st−1∗st−1/st−1∗⋯∗s1/s0)⇒ln(st/s0)=ln(st/st−1)+ln(st−1/st−1)+⋯+ln(s1/s0)ln(s_t/s_0)=ln(s_t/s_{t-1}*s_{t-1}/s_{t-1}*\cdots*s_1/s_0)\\ \Rightarrow ln(s_t/s_0)=ln(s_t/s_{t-1})+ln(s_{t-1}/s_{t-1})+\cdots+ln(s_1/s_0) ln(st/s0)=ln(st/st−1∗st−1/st−1∗⋯∗s1/s0)⇒ln(st/s0)=ln(st/st−1)+ln(st−1/st−1)+⋯+ln(s1/s0)

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